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5 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1.(2024九上·滕州期中)若,是方程的两个根,则的值为( )
A. B. C. D.
2.(2024九上·河西期末)设,是方程的两个实数根,则的值为( )
A.2019 B.2020 C.2021 D.2022
3.(2023八下·赤坎期末)一元二次方程的两个根分别为,则的值为( )
A. B.5 C. D.1
4.已知1是关于x的方程的一个根,则另一个根为 ( )
A.3 B.2 C.-3 D.-2
5.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1、x2,则x1+x2-x1 x2的值为( )
A.-7 B.-3 C.7 D.3
6.(2022九上·汉阴月考)已知一元二次方程的两实数根分别为,,则的值为( )
A.-2 B.2 C. D.
7.(2020九上·麻城月考)已知a、b为一元二次方程 的两个根,那么 的值为( )
A.11 B.0 C.7 D.-7
8.(2022九上·鹤山期中)设一元二次方程的两根分别为、,则下列结论错误的是
A. B.
C. D.
9.(2018九上·阿荣旗月考)已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的两个根,则代数式x1+x2的值( )
A.5 B.﹣5 C.6 D.﹣6
10.(2024八下·安徽期末)若,是方程的两个实数根,则的值为
A.2015 B. C.2016 D.2019
二、填空题
11.(2023·榕城模拟)若m、n是方程的两个实数根,则m+n的值为 .
12.(2024九下·娄星模拟)关于x的一元二次方程的一个根为,则另一个根为 .
13.(2025·成都模拟)若关于的一元二次方程两根为、,且,则的值为 .
14.(2020九上·江阴月考)若一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1和x2,则x1+x2= .
15.(2024九上·高州月考)已知关于的一元二次方程的两个实根分别是,若,则的值为 .
16.(2018九上·福田月考)设a,b是方程x2+x-9=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为 .
三、计算题
17.(2024八下·杭州月考)已知关于的一元二次方程有实数根.
(1)求的取值范围;
(2)方程的两个实数根,满足,求实数的值.
18.(2020九上·武汉期中) 是关于 的一元二次方程 的两个实数根,求代数式 , 的值.
19.(2025七上·成都期末)如图,在中,,已知,.
(1)求的面积;
(2)点M为的中点,P、Q分别为上的动点,求的最小值.
四、解答题
20.(2023九上·曾都期末)已知关于x的一元二次方程有两个实数根,.
(1)求m的取值范围;
(2)当时,求另一个根的值.
21.(2024九上·连云港月考)已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2﹣3=0.
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)设x1、x2是方程的两根,且(x1+x2)2﹣(x1+x2)﹣12=0,求m的值.
22.(2024九上·泸县期中)已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为,且满足,求实数m的值
23.已知在关于 的分式方程 ① 和一元二次方程②中, 均为实数,方程①的根为非负数.
(1) 求 的取值范围.
(2) 当 为整数, 且 , 方程②有两个整数解 时, 求方程②的整数解.
(3) 当方程②有两个实数解 , 满足 ,且 为负整数时, 试判断 是否成立, 并说明理由.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
2.【答案】B
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
3.【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
4.【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
5.【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
6.【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
7.【答案】A
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
8.【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
9.【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
10.【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
11.【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
12.【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
13.【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
14.【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
15.【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用;一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
16.【答案】8
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
17.【答案】(1)且
(2)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
18.【答案】解∵ 是关于 的一元二次方程 的两个实数根
∴ ,
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
19.【答案】(1)120
(2)
【知识点】完全平方公式及运用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);勾股定理;轴对称的性质
20.【答案】(1)
(2)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
21.【答案】(1)m>-2 (2)m=1
【知识点】因式分解法解一元二次方程;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
22.【答案】(1)
(2)1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
23.【答案】(1)解:关于 的分式方程 的根为非负数,
∴X≥0,且x≠1,即,且,解得k≥-1且k≠1.
∵一元二次方程中2-k≠0,
∴k≠2,
综上所述,k≥-1且k≠1,k≠2.
(2)解:把k=m+2,n=1代入方程②得- mx2+ 3mx+(1- m)=0,即mx2- 3mx+m-1=0.
∵,即,且m≠0,解得m>0或m≤,
∵x1,x2是整数,k,m都是整数.
∴为整数,
∴m=1或-1.由(1)知k≠1,则m+2≠1,
∴.m≠-1,
∴m=1.把m=1代入方程mx2- 3mx+m-1=0,得x2- 3x+1-1=0,解得x1= 0, x2=3.
(3)解: 成立,理由如下,
由(1)知k≥-1,又∵k是负整数,
∴k= - 1.
∵(2- k)x2+ 3mx+(3- k)n= 0有两个实数解
整理得即
又
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量;一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
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