2.6 应用一元二次方程 同步练习（含答案）

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6 应用一元二次方程
一、单选题
1．（2024八下·临平期中）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现要在尽量优惠顾客情况下，同时获利6120元，每件商品应降价（　　）元．
A．3 B．2.5 C．2 D．2或3
2．（2024九下·福山期中）辽南是“中国苹果之乡”，某超市将进价为每千克元的苹果按每千克元卖出，平均一天能卖出千克，为了尽快减少库存，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降元时，其日销售量就增加千克，设售价下降元，超市每天销售苹果的利润为元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020九上·霸州期末）某产品成本价为100万元，由于改进技术，成本连续降低，每次降低 %，连续两次降低后成本为64万元，则 的值为（　　）
A．10 B．15 C．18 D．20
4．（2025九上·张家口期末）我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　）
A．剩余椽的数量 B．这批椽的数量
C．剩余椽的运费 D．每株椽的价钱
5．（2023九上·浏阳期中）如图，在一块长为，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·杭州期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为10，故得的正数解为．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2018九上·安陆月考）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019年“竹文化”旅游输入将达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　）
A．2％ B．4.4 ％ C．20％ D．44％
8．（2021九上·津南期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（2020九上·平山期中）《代数学》中记载，形如 的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 的矩形，得到大正方形的面积为 ，则该方程的正数解为 ．”小聪按此方法解关于 的方程 时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（　　）
A．6 B． C． D．
10．（2024·苏州模拟）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（　　）
A．50 B．40 C．30 D．20
二、填空题
11．（2024九上·南昌月考）如图，某学校要在长为，宽为的矩形空地上建造一个劳动实践基地，使该基地四周小路的宽度相等，且该基地所占面积为空地面积的．设小路宽为，则根据题意可列方程　 　．
12．（2023九下·长白期中）1275年，我国南宋数学家杨辉提出这样一个问题：直田积六百五十步，只云阔不及长一步，问阔及长各几步，意思如下：矩形面积650平方步，宽比长少1步，问宽和长各几步？若设长为x步，则根据题意可列方程为　 　．
13．（2024九上·海淀期中）某工厂年生产吨某产品的成本是元，由于原料价格上涨，两年后，年生产吨该产品的成本是元，求该种产品成本的年平均增长率．设年平均增长率为，则所列的方程应为　 　．
14．（2020九上·营口月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了　 　人．
15．（2021九上·丹徒月考）某品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元，则平均每月降价的百分率是　 　.
16．（2023八下·锡山期中）如图，在四边形中，，，，E是中点，且，则线段的长度是　 　．
三、计算题
17．（2024九上·凉州期中）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
18．（2024九上·即墨月考）[问题提出]：如图1，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？
[问题探究]：我们先从较为简单的情形入手．
（1）如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×1＝3个长方体．
（2）如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2＝＝3条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×1＝9个长方体．
（3）如图4，由2×2×2个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2＝＝3条线段，所以图中共有 　 　个长方体．
（4）由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽共有 　 　条线段，高共有 　 　条线段，所以图中共有 　 　个长方体．
[问题解决]
（5）由n×n×n个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有 　 　线段，所以图中共有 　 　个长方体．
[结论应用]
（6）如果由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
四、解答题
19．（2023九上·甘州月考）某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，请回答：
（1）当商场日销售量为80件时，商场日盈利可达到多少元．
（2）为了尽量减少库存，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？
20．（2024九上·南康期中）某种服装，平均每天可销售件，每件盈利元，若每件降价元，每天可多卖件，如果每天要盈利元，每件应降价多少元？
21．（2023九上·禅城月考）某电子器件厂生产一种电脑显卡，2021年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2022年，2023年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2023年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件.
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率.
（2）2023年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个.为了尽快减少库存，商场决定降价销售.经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
22．（2023九上·青白江期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
5．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
10．【答案】B
【知识点】二次根式的应用；三角形全等及其性质；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
12．【答案】x（x-1）=650
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
14．【答案】12
【知识点】一元二次方程的其他应用
15．【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
17．【答案】减去的小正方形的边长为
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
18．【答案】（3）27；（4）21，378；（5），；（6）组成这个正方体的小立方块的个数是125个
【知识点】探索图形规律；一元二次方程的应用-几何问题
19．【答案】（1）7200
（2）每件商品降价40元，商场日盈利可8400元；
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
20．【答案】每件应降价或元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
21．【答案】（1）解：设平均下降率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）
答：平均下降率为10%；
（2）解：设单价应降低元，
则每个的销售利润为元，
每天可售出个，
依题意得：，
解得：，，
∵为了减少库存，∴，
答：单价应降低15元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
22．【答案】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC＝ab＝1．
【知识点】一元二次方程的其他应用
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