4.5 相似三角形判定定理的证明 同步练习（含答案）

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5 相似三角形判定定理的证明
一、单选题
1．（2024九上·杭州月考）如图，下列条件不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·荔城期末）如图，在中，为上一点，若，则（　　）
A．～ B．～
C．～ D．无法判断
3．（2021九上·滨海月考）下列命题中，错误的是（　　）
A．所有的正多边形都相似
B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似
C．全等的三角形一定相似
D．所有的等边三角形都相似
4．（2023九上·东昌府月考）如图，在中，点D、E分别在边上，与边不平行，那么下列条件中，能判定是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九下·浦北月考）如图，下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·呼和浩特）如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（　　）
A． B． C． D．
7．（2019九上·南关期中）如图，在 中， ，将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2016九上·蓬江期末）如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
9．如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中与△ABC相似的三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024九下·温州模拟）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．（2023·金华模拟）如图，点P在△ABC的边AC上，请添加一个条件　 　，使△ABP∽△ACB，
12．（2024九上·杭州期中）如图，、交于点，连接、，若要使，可以添加条件　 　．(只需写出一个条件即可)
13．（2023九上·鄞州月考）如图，已知，请添加一个条件　 　（只需填写一个即可），使得．
14．（2016九上·北京期中）如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是　 　（注：只需写出一个正确答案即可）．
15．如图，在矩形ABCD中，AB= 4，AD= 8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE= 3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A' 恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B' ，则线段BF的长为　 　；
第二步，分别在EF，AB' '上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为　 　．
16．（2025九下·江海模拟）如图是一张矩形纸片，点是中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为，的延长线经过点，与相交于点．若，且点平分，则的长为　 　．
三、计算题
17．（2024九上·苏州期末）如图，在菱形中，过D作交的延长线于点E，过E作交于点F．
（1）求证；
（2）若，求的长．
四、解答题
18．（2024九上·定州期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D，E分别是边AB、AC上的点，且AD＝4，∠BDE+∠C＝180°，求AE的长．
19．已知一个三角形三边的长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形三边的长分别为8cm，10cm，12cm．试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．
20．已知：如图，∠DAB=∠EAC，∠ADE=∠ABC．求证：
（1）△ADE∽△ABC．
（2）△ADB∽△AEC．
21．（2025九下·南山期中）问题提出
（1）如图，在中，，的面积为在内作一个正方形，使正方形一边落在边上，另外两个顶点，分别落在边，上，该正方形的面积大小为 ▲ ．
问题解决
（2）某市进行绿化改造，美化生态环境如图，现有一块四边形的空地计划改造成公园，经测量，，，，且按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点，均在边上，顶点，分别在边，上为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其他区域种植花卉已知花卉每平方米元，草坪每平方米元，则绿化改造所需费用至少为多少元？结果保留整数，参考数据
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
3．【答案】A
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
11．【答案】∠C=∠ABP（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
12．【答案】(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
13．【答案】或或（其中任何一个条件即可）
【知识点】相似三角形的判定
14．【答案】∠B=∠D
【知识点】相似三角形的判定
15．【答案】1；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
17．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
18．【答案】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴AE的长为5．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
19．【答案】解：相似，
∵，，，
即，
∴这两个三角形相似．
【知识点】相似三角形的判定
20．【答案】（1）解：由∠DAB=∠EAC，得∠DAE=∠BAC．
∵∠ADE=∠ABC，
∴△ADE∽△ABC．
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴，即
∵∠DAB=∠EAC，
∴△ADB∽△AEC．
【知识点】相似三角形的判定
21．【答案】（1）；
（2）解：如图所示：
四边形是矩形，
，，
，
≌（AAS），
，，
设，则，
，
，
，
，
当点与点重合时，则，
，
要使绿化改造所需费用最少，则需满足矩形的面积最大，
当时，矩形的面积最大，最大值为，如图，
，
过点作于点，
，
，
，
，
，
四边形的面积为，
种植花卉的面积为，
所需费用最少为元；
答：绿化改造所需费用至少为元．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
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