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7 相似三角形的性质
一、单选题
1.(2022九上·平阴期中)若,其相似比为,则与的面积比为( )
A. B. C. D.
2.(2024九上·简阳期末)如图,已知,,,则的度数为( )
A. B. C. D.
3.(2021九上·阳山期末)如图,△ABO∽△CDO,若BO=8,DO=4,CD=3,则AB的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
4.(2023·泸县模拟)如图,,和分别是和的高,若,,则与的面积的比为( )
A. B. C. D.
5.(2023九上·株洲期末)如果两个相似三角形对应高的比是4:9,那么它们的面积比是( )
A.4:9 B.2:3 C.16:81 D.9:4
6.已知△ABC∽△DEF,且相似比为2:3,则△ABC与△DEF的对应高之比为( )
A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4
7.(2019九上·东河月考)下列结论正确的个数是( )
⑴一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形是六边形;(2)如果一个三角形的三边长分别为6、8、10,则最长边上的中线长为5;(3)若△ABC∽△DEF,相似比为1:4,则S△ABC:S△DEF=1:4;(4)若等腰三角形一个角为80°,则底角为80°或50°.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2023九上·青龙月考)如图,在等边中,点分别在边上,,若,则的长度为( )
A.1 B. C.2 D.
9.(2021·惠州模拟)已知 ,相似比为 ,则 与 的面积比为( )
A. B. C. D.
10.(2022·仁寿模拟)如图,在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得 ,连接BE并延长BE到F,使 ,BF与CD相交于点H,若 ,有下列结论:① ;② ;③ ;④ .则其中正确的结论有( )
A.①②③ B.①②③④ C.①②④ D.①③④
二、填空题
11.(2018·浦东模拟)已知△ABC∽△A1B1C1,△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是 ,BE、B1E1分别是它 们对应边上的中线,且BE=6,则B1E1= .
12.(2024九上·兰州期中)如图,,若,,则的长度是 .
13.(2022九上·沿河期中),且相似比是,的面积是,则的面积为 .
14.(2021九上·姜堰月考)如图,在矩形ABCD中, ,点E在直线AD上,且AE=3DE. 则m= 时,△ABC与△EAB相似.
15.将直角三角形的三条边都同时扩大m倍(m为正整数),得到的新三角形为 三角形.
16.(2024·河北)如图,△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点,点A,D1,D2是线段DD3的四等分点,点A是线段BB1的中点.
(1)△AC1D1的面积为 ;
(2)△B1C4D3的面积为 .
三、计算题
17.(2023八下·肥城期末)数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB.测量和计算的部分步骤如下:
①如图,树与地面垂直,在地面上的点C处放置一块镜子,小明站在BC的延长线上,当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时,测得小明到镜子的距离CD=2米,小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5米;
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处,小明向后移动到点H处时,小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A,这时测得小明到镜子的距离FH=3米;
③计算树的高度AB;
18.(2024八下·淮安月考)大雁塔位于唐长安城晋昌坊(今陕西省西安市南)的大慈恩寺内,又名“慈恩寺塔”,是国家级文物保护单位,西安市的标志性建筑之一,某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度,在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得米,将标杆向后平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,点G,点E,点C与塔底处的点A在同一直线上),这时测得米,米,请你根据以上数据,计算大雁塔的高度.
四、解答题
19.(2023九上·让胡路月考)如图,已知,,求x的值和的度数.
20.(2017九上·襄城期末)如图,在Rt△ABC中,∠A=90 ,AB=6,BC=10,D是AC上一点,CD=5,DE⊥BC于E.求线段DE的长.
21.(2025·长沙模拟)如图,在平行四边形中,连接,为边上一点,连接并延长交的延长线于点,交于点,过点作交于点,.
(1)若,求的长;
(2)若,求平行四边形的面积.
22.(2025·玉环二模)如图1,在中,是BC的中点,点,点分别在AB,AC上,连结DE,DF.
(1)若求证:.
(2)如图2,在(1)的条件下,连结EF,若,求DE的值.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
2.【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
3.【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
4.【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
5.【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
6.【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
7.【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质;多边形内角与外角;相似三角形的性质;直角三角形的性质
8.【答案】D
【知识点】等边三角形的性质;相似三角形的性质
9.【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
10.【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质;勾股定理;相似三角形的性质
11.【答案】4
【知识点】相似三角形的性质
12.【答案】9
【知识点】相似三角形的性质
13.【答案】
【知识点】相似三角形的性质
14.【答案】 或
【知识点】矩形的性质;相似三角形的性质
15.【答案】直角
【知识点】相似三角形的性质
16.【答案】(1)1
(2)7
【知识点】三角形的面积;三角形全等及其性质;三角形全等的判定;相似三角形的性质;相似三角形的判定
17.【答案】树的高度AB为15米
【知识点】相似三角形的性质;相似三角形的判定
18.【答案】64米
【知识点】相似三角形的性质
19.【答案】,
【知识点】三角形内角和定理;相似三角形的性质
20.【答案】解:∵∠C=∠C,∠A=∠DEC,∴△DEC∽△BAC, 则 解得:DE=3.
【知识点】相似三角形的性质;相似三角形的判定
21.【答案】(1)解:∵,
∴,
∵BG+DG=BD=20,
∴.
(2)解:∵四边形是平行四边形,
∴,,,
∴,,.
∵,可设DF=3x,FC=2x,
∴,
∵,
∴,即,
∴,.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴.
【知识点】平行四边形的性质;两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;相似三角形的判定;相似三角形的性质-对应边;相似三角形的性质-对应面积
22.【答案】(1)证明:
(2)解:由(1)得,
【知识点】相似三角形的性质;线段的中点;相似三角形的判定-AA;相似三角形的判定-SAS
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