1.3 有理数的大小比较 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
1.3 有理数的大小比较
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1.3 有理数的大小比较教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够熟练掌握利用数轴比较有理数大小的方法，准确说出数轴上点的位置与对应有理数大小的关系。
深入理解并熟练运用绝对值比较两个负数大小的规则，能正确比较任意两个有理数的大小。
学会根据有理数的不同类型（正数、负数、零），灵活选择合适的方法进行大小比较，提高有理数运算和比较的准确性。
（二）过程与方法目标
通过观察数轴上点的分布规律，引导学生经历从直观图形到抽象数学结论的过程，培养学生的观察能力、抽象概括能力和数学思维能力。
在探究有理数大小比较方法的过程中，让学生体会数形结合、分类讨论的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
让学生感受数学知识的逻辑性和系统性，体会数学在解决实际问题中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣和热情。
通过小组合作学习和交流讨论，培养学生的团队合作精神和勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心和成就感。
二、教学重难点
（一）教学重点
熟练掌握利用数轴和绝对值比较有理数大小的方法。
能够准确、快速地比较不同类型有理数的大小，包括正数与正数、正数与负数、负数与负数、正数与零、负数与零之间的大小比较。
（二）教学难点
深入理解负数大小比较中 “绝对值大的反而小” 的原理，并能在实际比较中灵活运用。
综合运用多种方法，准确比较含有分数、小数等形式的有理数的大小，解决复杂的有理数大小比较问题。
三、教学方法
讲授法、直观演示法、小组合作探究法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习回顾，情境导入（5 分钟）
知识回顾：同学们，之前我们学习了数轴、相反数和绝对值的知识。谁能说一说数轴的三要素是什么？（原点、正方向、单位长度）互为相反数的两个数有什么特点？（只有符号不同，互为相反数的两个数的和为 0）绝对值的性质又有哪些呢？（绝对值表示数轴上点到原点的距离，具有非负性，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0）
情境导入：（展示温度计图片）在温度计上，我们可以看到不同的温度刻度，比如 -5℃和 -2℃，哪个温度更低呢？这其实就是在比较两个有理数的大小。在数学中，我们如何准确地比较有理数的大小呢？今天我们就一起来学习 “有理数的大小比较”。（板书课题：1.3 有理数的大小比较）
（二）新课讲授（20 分钟）
利用数轴比较有理数大小
规律探究：在黑板上画出数轴，标出一些有理数，如 -3、-1、0、2、4 。引导学生观察这些数在数轴上的位置，思考它们的大小关系。让学生小组讨论并总结规律：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
深入理解：通过举例说明，比如 -3 在 -1 的左边，所以 -3 <-1；0 在 -1 的右边，所以 0> -1 。强调数轴上的数从左到右逐渐增大，正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。
学生练习：给出一些有理数，如 -4、1、-0.5、3 ，让学生在数轴上表示出来，并比较它们的大小。教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。
利用绝对值比较两个负数大小
情境引入：我们知道，在冬天，气温 -10℃比 -5℃更冷，从数学角度看，如何比较 -10 和 -5 的大小呢？我们可以借助绝对值来进行比较。
原理讲解：先分别求出 -10 和 -5 的绝对值，\(\vert -10\vert = 10\)，\(\vert -5\vert = 5\) 。因为 10 > 5，而 -10 比 -5 小，由此得出结论：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
步骤总结：总结比较两个负数大小的步骤：第一步，分别求出两个负数的绝对值；第二步，比较两个绝对值的大小；第三步，根据 “绝对值大的反而小” 得出两个负数的大小关系。
举例巩固：比较 - \(\frac{3}{4}\)和 - \(\frac{2}{3}\)的大小。先求绝对值，\(\vert - \frac{3}{4}\vert = \frac{3}{4} = \frac{9}{12}\)，\(\vert - \frac{2}{3}\vert = \frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) 。因为 \(\frac{9}{12} > \frac{8}{12}\)，所以 - \(\frac{3}{4} < - \frac{2}{3}\) 。
有理数大小比较的综合方法
分类讨论：引导学生对有理数进行分类，分为正数、负数和零。总结不同类型有理数的大小比较方法：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
综合运用：通过一些综合性的例子，如比较 -2、0、1.5、 - \(\frac{5}{3}\) 的大小。先判断数的类型，再分别比较。 -2 和 - \(\frac{5}{3}\) 是负数，比较它们的绝对值，\(\vert -2\vert = 2 = \frac{6}{3}\)，\(\vert - \frac{5}{3}\vert = \frac{5}{3}\) ，因为 \(\frac{6}{3} > \frac{5}{3}\)，所以 -2 < - \(\frac{5}{3}\) 。又因为正数大于负数和 0，所以 1.5 > 0 > - \(\frac{5}{3} > -2\) 。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：比较下列各对数的大小：
（1） -3 和 -7；（2） 0 和 -2.5；（3） \(\frac{3}{4}\) 和 \(\frac{2}{3}\) 。
解：（1）因为 \(\vert -3\vert = 3\)，\(\vert -7\vert = 7\)，3 <7，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以 -3> -7 。
（2）因为 0 大于负数，所以 0 > -2.5 。
（3）先通分，\(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\)，\(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) ，因为 \(\frac{9}{12} > \frac{8}{12}\)，所以 \(\frac{3}{4} > \frac{2}{3}\) 。
例 2：将下列有理数按照从小到大的顺序排列： -1.5，0，3， - \(\frac{7}{2}\)，2.3 。
解：先比较负数的大小，\(\vert -1.5\vert = 1.5 = \frac{3}{2}\)，\(\vert - \frac{7}{2}\vert = \frac{7}{2}\) ，因为 \(\frac{3}{2} < \frac{7}{2}\)，所以 -1.5 > - \(\frac{7}{2}\) 。
所以从小到大的顺序为： - \(\frac{7}{2}\) < -1.5 < 0 < 2.3 < 3 。
通过这两个例题，进一步巩固有理数大小比较的方法，强调在比较过程中要注意数的类型和比较规则的正确运用，规范解题步骤。
（四）课堂练习（10 分钟）
比较下列各数的大小：
（1） -8 和 -6；（2） 0 和 0.01；（3） - \(\frac{4}{5}\) 和 - \(\frac{5}{6}\) 。
将下列有理数用 “<” 号连接起来： 2， -3，0， -1.5， \(\frac{3}{2}\) 。
已知\(\vert a\vert = 3\)，\(\vert b\vert = 2\)，且 a < b，求 a 和 b 的值。
教师巡视学生练习情况，及时发现学生存在的问题，进行个别指导和集中讲解，针对学生易错点进行重点强调，确保学生掌握有理数大小比较的方法。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容
利用数轴比较有理数大小的方法：数轴上右边的数总比左边的数大。
利用绝对值比较两个负数大小的规则：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数大小比较的综合方法：正数大于 0 和负数，0 大于负数，两个正数比较大小看绝对值，两个负数比较大小利用绝对值判断。
强调重点知识和易错点，如负数大小比较时绝对值与数本身大小关系的判断，不同类型有理数比较大小的方法选择等，帮助学生加深理解和记忆。
（六）作业布置（5 分钟）
书面作业：课本相关习题 [具体页码和题号]，要求学生认真书写，规范解题步骤，特别是在比较负数大小时要详细说明过程。
实践作业：让学生记录一周内每天的最低气温（用有理数表示），并将这些气温按照从低到高的顺序进行排列，下节课进行分享。
五、教学反思
在教学过程中，关注学生对有理数大小比较方法的掌握情况，分析学生在比较过程中出现错误的原因，如负数比较大小规则混淆、忽略数的类型直接比较等。思考在后续教学中如何通过更多的实例、针对性的练习和有效的辅导，帮助学生更好地掌握有理数大小比较的方法，提高学生的数学运算和逻辑思维能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
下图表示某一天我国五个城市的最低温度：
武汉5℃
北京－10℃
广州10℃
哈尔滨－20℃
上海0℃
问题 你能将上述五个城市的最低温度按从低到高的顺序依次排列吗？
根据地理位置，我们可以作如下猜测：
哈尔滨
－20℃
北京
－10℃
上海
0℃
武汉
5℃
广州
10℃
＜
＜
＜
＜
我们已经会比较正数的大小，例如：5>3，；并且还知道，5>0，，…，即正数都大于 0.
正数和负数比较，谁大？
探索新知
温度 -3℃ 与 2℃，哪个温度高？温度 0℃ 与 -3℃，哪个温度高？
说一说
2℃比－3℃高，因为我感觉温度在2℃时比－3℃时暖和.同样，0℃比－10℃高，也是因为我感觉温度在0℃时比－10℃时暖和.
正数大于负数，0大于负数.
温度 -10℃ 与 -3℃，哪个温度低？-10 的绝对值与 -3 的绝对值，哪个大？由此你能受到什么启发？
温度在－10℃时比－3℃时冷，于是－10℃比－3℃低.
但是，由于|－10|=10，|－3|=3，因此|－10|＞|－3|.
思考
两个负数，绝对值大的反而小
比较两个负数的大小的一般步骤:
(1)先求出两个负数的绝对值；
(2)比较两个绝对值的大小；
(3)根据“两个负数，绝对值大的反而小”确定原数的大小.
O
-1
0
1
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
A
B
如下图，在数轴上表示－10的点A在表示－3的点B的左边
越来越大
在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
在数轴上表示数－3，－5，4，0，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“<”号连接.
O
-1
0
1
2
-2
-3
-4
-5
3
4
5
解： －3， －5，4，0在数轴上表示如图：
将它们按从小到大的顺序排列为：
－5＜－3＜0＜ 4
比较下列各组数的大小：
（1）-6与-3； （2） 与
所以 -6 < -3；
解
（1）因为 | -6 | = 6，| -3 | = 3，
又 6 > 3,
（2） 因为 |- | = ，| - |= ，
又
所以
比较下列各组数的大小：
（3）- 与-| -2 |. （4）-(-0.3) 与| - |.
（3）因为 , -|-2|= -2 ,
所以
（4）因为-(-0.3)=0.3 , |- |= =0.25
又 0.3 > 0.25 ,
所以-(-0.3) > |- |.
你能借助数轴比较这四组数的大小吗？试一试.
课堂练习
1.比较下列各组数的大小：
（1）-896 < 0.01
解
（2）-1.5 < -1.4
（3）
（5）-5.5 < -|-4.5|
【课本P16 练习 第1题】
（1）-896 与 0.01 ； （2）-1.5 与 -1.4；
（3） 与 ； （4） 与 ；
（4）-5.5与 -|-4.5|； （6） 与|-0.6|.
（6） ＞ |-0.6|
（4）
在一条数轴上分别标出表示下列各数的点，并把这些数用“<”连接起来：
0，3，-4，-1.5
O
3
4
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-1.5
解
-4 < -1.5 < 0 < 3
【课本P16 练习 第2题】
3. 大于－4 且小于 3.2 的整数有____________________________.
-3 , -2 , -1 , 0 , 1, 2 , 3
4 下表记录了我国五个城市某天的平均气温.
10.7 > 0.8 > -2.2 > -5.6 > -18.8
将各城市按平均气温从高到低进行排列.
各城市按平均气温从高到低排列为:
广州、上海、西安、北京、哈尔滨.
5.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、 －a、－b的大小，正确的是( )
A. aB. b<－a<－bC. －aD. －b0
a
b
D
1. ［2024内江］下列四个数中，最大数是( )
D
A. B. 0 C. D. 3
2. 下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②有理数中存
在最大的数；③任何数都大于它的相反数；④最小的正整数
是1；⑤两个数中，较大的那个数的绝对值较大.正确的有
( )
A
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
3. 几种气体的固化温度（标准大气压下）
如下表：
气体 氧气 氮气 二氧化碳 氢气
固化温度/
其中固化温度最高的气体是( )
A. 氧气 B. 氮气
C. 二氧化碳 D. 氢气
4. ［2025岳阳月考］比 大的负整数有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
C
√
返回
5. 有理数， 在数轴上对应的点的位置如
图所示，下列结论正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
6. 下列四个式子： ；
； ；
.其中正确的是( )
D
A. ③④ B. ①③
C. ①② D. ②③
返回
7.母题教材P16练习 比较下列各组数的大小：
（1）___ ；
（2）___ ；
（3）___ .
8.数轴上的点,,,分别表示数,,,.已知点在点 的右
侧，点在点的左侧，点在点,之间，则,,, 的大小
关系是______________.（用“ ”连接）
返回
9.母题教材P16练习 点, 在数轴上的位置如图所示：
（1）点表示的数是____，点 表示的数是___.
1
（2）在数轴上标出表示下列各数的点：0，，， .
【解】如图所示.
（3）把中的六个有理数用“ ”连接起来.
.
返回
10. ［2025衡阳月考］若,为有理数，， ，且
，那么，，， 的大小关系是( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】因为，，且，所以 ，
，，，所以 .
返回
课堂小结
有理数的大小比较
代数比较法
绝对值比较法
数轴比较法
正数大于负数，0大于负数.
两个负数，绝对值大的反而小.
在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
谢谢观看！