3.5 认识二元一次方程组 课件(共35张PPT)

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3.5 认识二元一次方程组
第3章 一次方程（组）
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.5 认识二元一次方程组
在前面的学习中，我们已经掌握了一元一次方程及其应用，能够解决许多实际问题。但在实际生活里，有些问题仅用一个未知数难以描述和解决，这时就需要引入多个未知数，从而引出了二元一次方程组。接下来，我们就深入认识一下二元一次方程组。
一、二元一次方程的概念
（一）定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是\(1\)的整式方程叫做二元一次方程 。例如\(x + y = 8\)，方程中含有\(x\)和\(y\)两个未知数，\(x\)和\(y\)的次数都是\(1\)，且等号两边都是整式，所以它是二元一次方程；再如\(2x - 3y = 1\)，同样满足含有两个未知数、未知数项次数为\(1\)以及整式方程这几个条件，也属于二元一次方程。
（二）一般形式
二元一次方程的一般形式为\(ax + by = c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数，\(a 0\)，\(b 0\)） 。这里\(a\)、\(b\)分别是\(x\)、\(y\)的系数，\(c\)是常数项。例如在方程\(3x + 2y = 5\)中，\(a = 3\)，\(b = 2\)，\(c = 5\) 。
（三）解的概念
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 。二元一次方程的解通常用大括号联立表示，如对于方程\(x + y = 5\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\)就是它的一组解，因为把\(x = 2\)，\(y = 3\)代入方程左边得到\(2 + 3 = 5\)，与右边相等；同时\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 4 \end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 5 \end{cases}\)等也都是该方程的解 。不同于一元一次方程一般只有一个解，二元一次方程有无数组解，因为只要满足方程等式关系的两个未知数的值都可以作为它的解 。
二、二元一次方程组的概念
（一）定义
由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组 。例如\(\begin{cases}x + y = 7 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)，这个方程组由两个二元一次方程构成，所以是二元一次方程组；再如\(\begin{cases}3x + 2y = 10 \\ x = 2y \end{cases}\)，其中\(x = 2y\)可变形为\(x - 2y = 0\)，也满足两个二元一次方程的条件，同样是二元一次方程组 。需要注意的是，方程组中两个方程的未知数必须是相同的 。
（二）解的概念
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 。也就是说，这个解既要满足方程组中的第一个方程，又要满足第二个方程 。例如对于方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\)就是它的解，因为把\(x = 2\)，\(y = 3\)代入\(x + y = 5\)中，\(2 + 3 = 5\)成立；代入\(2x - y = 1\)中，\(2 2 - 3 = 1\)也成立 。二元一次方程组一般有唯一一组解，但在特殊情况下，也可能无解或有无数组解 。
三、二元一次方程与二元一次方程组的区别和联系
（一）区别
方程个数：二元一次方程是单个方程，而二元一次方程组是由两个方程组成 。
解的个数：二元一次方程有无数组解，二元一次方程组一般有唯一一组解（特殊情况除外） 。
（二）联系
二元一次方程组中的每个方程都是二元一次方程；二元一次方程组的解同时是组成该方程组的两个二元一次方程的解 。
四、列二元一次方程组解决实际问题
（一）解题步骤
审题：仔细阅读题目，理解题意，找出题目中的已知条件和所求问题 。
设未知数：设出两个未知数，一般用\(x\)、\(y\)表示 。
找等量关系：根据题目中的条件，找出两个不同的等量关系 。
列方程组：依据等量关系，列出两个二元一次方程，组成二元一次方程组 。
求解方程组：后续会学习具体的求解方法（如代入消元法、加减消元法等）。
检验作答：将求出的解代入原方程组，检验是否满足两个方程，然后根据实际问题作答 。
（二）示例讲解
例：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得\(2\)分，负一场得\(1\)分。某队为了争取较好名次，想在全部\(22\)场比赛中得到\(40\)分，那么这个队胜负场数应分别是多少？
分析：设这个队胜\(x\)场，负\(y\)场。题目中的等量关系为：胜的场数 + 负的场数 = 总场数\(22\)场；胜场得分 + 负场得分 = 总得分\(40\)分 。
列方程组：根据等量关系可列出\(\begin{cases}x + y = 22 \\ 2x + y = 40 \end{cases}\) 。
通过以上对二元一次方程组的学习，我们了解了它的相关概念、与二元一次方程的关系以及列方程组解决实际问题的基本步骤。后续我们还会深入学习二元一次方程组的求解方法，从而更好地运用它解决各种实际问题。如果在学习过程中有任何疑问，欢迎随时交流探讨。
这份内容系统介绍了二元一次方程组相关知识。若你觉得某些概念讲解不够清晰，或想增加更多实例，欢迎随时提出，我们共同优化。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 某队在某次比赛中共踢14场球，负了5场，共得19分. 问：该队共胜多少场？
解：设该队共胜x场，则平了(14-5-x) 场.
根据题意，得 3x+(14-5-x)=19
解得 x=5
于是，平了 14-5-5=4 (场)
假设剩下的场次全踢平
14-5=9(场) 19-9=10(分)
胜了：10÷(3-1)=5（场）
平了：14-5-5=4(场)
方法一：
方法二:
探索新知
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.
思 考
解：设兔有x 只，则鸡有(35－ x)只.
根据题意，得
4x + 2(35－x) = 94
兔的只数＋鸡的只数＝35
兔的脚数＋鸡的脚数＝94
等量关系：
解得 x=12
于是，鸡有 35-12=23(只)
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.
兔的只数＋鸡的只数＝35
兔的脚数＋鸡的脚数＝94
若设兔有x只，鸡有y只.
你能根据两个等量关系列出两个方程吗？
x+y=35 ，
4x+2y=94 .
x+y=35 ，
4x+2y=94 .
列出的两个方程还是一元一次方程吗？
x+y=35 ，
4x+2y=94 .
含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程.
这两个方程和一元一次方程有什么不同吗？
注意
“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数；
方程的左右两边都是整式.
练一练
1.判断下列方程是不是二元一次方程？
(1) x+y=11
(2) m+1=2
(3) x2+y=5
(4) 3x-π=11
(5) -5x=4y+2
(6)7+a=2b+11c
(7) 7x+ =13
(8) 4xy+5=0
2.若x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，则m=________, n=________.
1
1
只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组.
未知数x，y必须同时满足上述两个方程，于是将两个方程联立，得
①
②
练一练
①
②
③
④
下列方程组属于二元一次方程组的有_______.(填序号)
x
y
(1) 把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表：
如果不考虑实际意义，x，y还能取什么值满足方程①？
1
34
2
33
3
32
4
31
5
30
6
29
7
28
8
27
为什么代入的都是整数？
···
···
x=-1，y=36 /x=0.5，y=34.5 /···
9
26
10
25
11
24
12
23
13
22
做一做
一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
一般地，一个二元一次方程有无数组解.
(2)上表中存在哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ···
y 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 ···
x=12，y=23既满足满足方程①，又满足方程②.
x=12，y=23是方程①与方程②的公共解.
写成(12，23)的形式
，它就是上述方程组一个解.
一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2)叫作这个方程组的一个解.
习惯上记作
求解方程组的解的过程叫作解方程组.
C
练一练
的解是( )
A.
B.
C.
D. 有无数个
例
小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，
试列出相应的二元一次方程组.
分析：本题等量关系：
购买练习本所花的钱+购买圆珠笔所花的钱=17元，
购买练习本所花的钱-购买圆珠笔所花的钱=1元.
例
解：(1) 根据等量关系，得
①
②
设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，
试列出相应的二元一次方程组.
小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
例
①
②
(2) 是列出的二元一次方程组的一个解吗？
解：把x用3，y用4分别代入方程①②可得：
方程①左边的值是3×3+2×4=17，方程①右边的值也是17；
方程②左边的值为3×3-2×4=1，方程②右边的值也是 1.
因此，列出的二元一次方程组的一个解.
小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
课堂练习
1.一艘轮船顺流航行的速度为24km/h，逆流航行的速度为18 km/h. 它在静水中的速度为x km/h，水的流速为y km/h，请列出相应的二元一次方程组.
解：根据题意，得
分析：
静水中的速度+水流的速度=顺流航行的速度；
静水中的速度－水流的速度=逆流航行的速度.
【课本P119 练习 第1题】
2.若一个二元一次方程组的解为则这个方程
组可以是_________ （只要求写一个）.
【课本P119 练习 第2题】
3. 是二元一次方程组的解吗？
解：
方程①左边的值是3×2-4×1=2，方程①右边的值也是2；
方程②左边的值是4×2-3×1=5，方程②右边的值是 6.
因此，该二元一次方程组的一个解.
把x用2，y用1分别代入方程①②可得：
①
②
左边=右边.
左边≠右边.
【课本P119 练习 第3题】
1. 有下列方程：;; ;
;;; .
其中，二元一次方程有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
2. ［2025邵阳月考］若方程组 是二元一次方程组，
则“…”可以是( )
A. B.
C. D.
A
返回
3. 嫦娥六号成功着陆在月球背面南极-艾特
肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的
样品采集任务.嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样
品约1 935克，表取比钻取的4倍还多310克.若设钻取样品 克，
表取样品 克，则可列方程组为( )
B
A. B.
C. D.
返回
4. 如果是关于， 的二元一
次方程，则 的值为____.
5. 写出二元一次方程 的一组整
数解：_ _____________________.
（答案不唯一）
返回
6.已知是方程的解，则式子 的
值为___.
1
【点拨】将代入，可得 ,则
.
返回
7. 已知方程组
（1）分别取, ,0,2,填写下表：
0 2
___ ___ ____ ____
0 2
_ _ ___ _ _ ___
8
2
2
4
（2）根据（1）中的数据写出方程组的解.
【解】方程组的解为
返回
8. 如果方程组的解为 那么被“★”“|”遮住
的两个数分别为( )
C
A. 3，10 B. 4，10 C. 10，4 D. 10，3
【点拨】将
代入，得 ，解得 ，即 .将
代入★，得★，所以★ .所以被“★”
“ ”遮住的两个数分别为10，4.
返回
9. 我国古代《四元玉鉴》中记载了“二果问
价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦
果共一千个，若 ，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果
个，买苦果 个，可列出符合题意的二元一次方程组
根据已有信息，题中用“…”表示的缺失的
条件应为( )
A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
√
返回
10. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主
题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出
的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）.其中
笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则购买方案
共有( )
B
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
课堂小结
一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2)叫作这个方程组的一个解.
习惯上记作
求解方程组的解的过程叫作解方程组.
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