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专题02 函数的概念、性质与基本初等函数Ⅰ
知识点一 函数值
1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
1．（2024·上海·高考真题）已知则 ．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
1．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
2．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ；
知识点二 函数图像
1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
知识点三 函数的基本性质（无参数）
1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
知识点四 函数基本性质求参数
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 .
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
4．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
知识点五 比较大小
1．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
知识点六 零点或交点
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
4．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
知识点七 函数在实际生活的应用
1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ．
知识点一 函数值
1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2（2025·云南丽江·三模）已知函数，则的值为（ ）
A．24 B．4 C．12 D．8
3．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数则 .
4．（2025·天津红桥·模拟预测）函数，当时，则的值为 .
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，则 .
知识点二 函数图像
1．（2025·河北邢台·三模）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·辽宁盘锦·三模）函数在上的大致图象为（ ）
A． B．
C．D．
知识点三 函数的基本性质（无参数）
1．（2025·天津红桥·模拟预测）下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·北京·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期
C． D．
5．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·河北邢台·三模）已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于中心对称
B．的周期为8
C．
D．当时，，则的值为
知识点四 函数基本性质求参数
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知是奇函数，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ．
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是奇函数，则 ．
知识点五 比较大小
1．（2025·天津红桥·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·河南许昌·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·海南·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（ ）
A． B．
C． D．
知识点六 零点或交点
1．（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，存在实数b，使得方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2025·四川成都·模拟预测）函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ．
5．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ．
6．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
知识点七 函数在实际生活的应用
1．（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：）
A．87 B．88 C．89 D．90
2（2025·甘肃）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
3（2025安徽）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数的次方是个位数，那么根据，取常用对数得到，即可得到，由下面的对数表可知这个数是，已知某个正整数的次方是个位数，则该正整数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北秦皇岛·二模）科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震，释放出来的能量为，2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震，释放出来的能量为，则（ ）
A．10 B．4.05 C． D．
5．（2025·广东深圳·模拟预测）为了给地球减负，提高资源利用率，2025年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚。某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（ ）（参考数据：，）
A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年
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专题02 函数的概念、性质与基本初等函数Ⅰ
知识点一 函数值
1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知对一切成立，
于是.故选：A
2（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
【答案】
【解析】设，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
故的最小值为.故答案为：
1．（2024·上海·高考真题）已知则 ．
【答案】
【解析】因为故，故答案为：.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
【答案】64
【解析】由题，整理得，
或，又，所以，故
故答案为：64
1．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【解析】函数，所以.故答案为：1
2．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ；
【答案】
【解析】】当 时, 根据指数函数的图象与性质知，
当 时, . 综上: 的值域为 .故答案为：.
知识点二 函数图像
1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D
1．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.故选：B.
1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
知识点三 函数的基本性质（无参数）
1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
【答案】ABD
【解析】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
对B，当时，，则，故B正确；
对C，， 故C错误；
对D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故选：ABD.
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，，
，则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，
因为，且不恒为0，
则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值点，故D错误.故选：.
知识点四 函数基本性质求参数
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.
2．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 .
【答案】0
【解析】是奇函数，则恒成立，所以，解得故答案为：0．
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
4．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.
知识点五 比较大小
1．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
1．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：D
2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
1．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由在R上递增，则，由在上递增，则.
所以.故选：D
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.故选：A.
知识点六 零点或交点
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
4．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，即，
由题可得，
当时，，有，则，不符合要求，舍去；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，或（正值舍去），
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递减，
故有，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
2．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
知识点七 函数在实际生活的应用
1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
【答案】B
【解析】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意，，
，
，
因为，所以，
所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
2．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ．
【答案】
【解析】方法1：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
求导得，由，得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
方法2：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
由，得，即，其中锐角由确定，
显然，而，则，当且仅当，即时取等号，
此时，即，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
故答案为：
知识点一 函数值
1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】由，则.故选：D.
2（2025·云南丽江·三模）已知函数，则的值为（ ）
A．24 B．4 C．12 D．8
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以.故选：A.
3．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数则 .
【答案】
【解析】因为，，所以.
故答案为：.
4．（2025·天津红桥·模拟预测）函数，当时，则的值为 .
【答案】或0
【解析】由，则，
当时，，即；
当时，，即或（舍去）.
综上所述，或.
故答案为：或0.
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，则 .
【答案】
【解析】由题，，则.
故答案为：
知识点二 函数图像
1．（2025·河北邢台·三模）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解法一：因为函数的定义域为，故排除A；
，，所以，，
故非奇非偶函数，故排除B，D.
解法二： 由题可知，
当或时，，则在，上单调递增，故ABD错误；
故选：C
2．（2025·辽宁盘锦·三模）函数在上的大致图象为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【解析】对于，当时，，因和在上都是减函数，
故在上单调递减，故排除C，D；
当时，，，
因，
则在上单调递增，排除B．
故选：A.
知识点三 函数的基本性质（无参数）
1．（2025·天津红桥·模拟预测）下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为偶函数，为非奇非偶函数，
为奇函数，为非奇非偶函数.
故选：A.
2．（2025·北京·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，若，函数定义域为，，即函数不是奇函数，故A错误；
对于B，的定义域为，关于原点对称，但，
故函数不是奇函数，即B错误；
对于C，函数的定义域为，但，
故函数不是奇函数，即C错误；
对于D，的定义域为，且，即函数是奇函数，
且因，函数在上单调递增，故D正确.
故选：D.
3．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是；
对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是；
对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是；
对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是.
故选：A
4．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，又因为，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确；
又因为，所以，所以，即，
所以，所以，故B正确；
在中，令，得，所以，故C错误；
因为，所以，所以，所以，，
故，故D正确．
故选：C
5．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，
所以，即得，
即，故函数是以4为周期的周期函数，
对于，令，则，
对于，令，则，B正确；
由题意可知，无法推出，A错误，
又，，而是否为0不确定，故CD错误，
故选：B
6．（2025·河北邢台·三模）已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于中心对称
B．的周期为8
C．
D．当时，，则的值为
【答案】D
【解析】因为，所以的图象关于中心对称，故A正确；
因为为偶函数，所以
所以，又因为，
所以，所以，
所以，所以的一个周期为8，故B正确；
，故C正确；
由，得，
又当时，，所以，即，故D错误.
故选：D
知识点四 函数基本性质求参数
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为时，单调递减，
又在上单调递减，所以时，单调递减，则只需满足解得.
故选：B.
2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知是奇函数，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】由，可得，所以，
所以的定义域为，
因为是奇函数，所以，
又，，
所以，解得.
当时，，
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，所以此时是奇函数
故选：D.
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意有：当时，，所以，
所以，当时，，所以，所以，
又在上单调递减，所以，解得，所以，
故选：C.
4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数在上单调递增，
可得在上单调递增，
且在上恒成立，故需满足，解得.
故选：B.
5．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由是R上的单调递增函数，可得：，解得：，
所以实数a的取值范围为，故答案为：
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是奇函数，则 ．
【答案】
【解析】当时，，所以，即
则，．
故答案为：
知识点五 比较大小
1．（2025·天津红桥·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，，
所以.
故选：B.
2．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由幂函数为增函数，得；
由指数函数为减函数，得；
由对数函数为减函数，得.
所以.
故选：A.
3．（2025·河南许昌·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，
又函数在上单调递增，而3.4，即，
又在上单调递增，所以，即.
故选:D.
4．（2025·海南·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由指数函数的单调性可知，
由对数函数的单调性可知．
又，所以，即．
故选:D．
5．（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，代入得 ，解得，可得，，
令，，
可知在上，，在上单调递增，
在上，，在上单调递减，在处取得最大值，，
所以在上，则，所以在上单调递减，
设，可知，
则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以，
令，则，
令，则，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，
由可知，当时，，即，所以在上单调递增，得，即，
综上可知，，由在上单调递减得.
故选：D.
知识点六 零点或交点
1．（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的图象对称轴，，
函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，
在单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，
令，则函数的图象与直线有4个交点，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，
观察图象，得，，由，得，
由，得，则，
函数在上单调递减，，因此，
所以的取值范围为.
故选：C
2．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，存在实数b，使得方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，存在实数，使得有3个不同的实数解，
即二次函数在区间不单调，所以；
且二次函数的最小值要小于一次函数的上确界，
即，解得，综上得．
故选：C.
3．（2025·四川成都·模拟预测）函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，得到，则，显然，
得到，令，
则，
因为恒成立，
所以当时，，当时，，
即区间上单调递减，在区间和上单调递增，
又时，，，从左边趋近于时，，
从右边趋近于时，，时，，其图象如图，
由题知恰有一个零点，则与有且仅有一个交点，
由图知，，解得，
故选：C.
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ．
【答案】2
【解析】因为为奇函数，
所以，
联立解得：，经验证符合题意，
所以，，
令，
当时，得：，解得：，
当时，得：，解得：，
所以函数的零点个数为2.
故答案为：2.
5．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】易知为的零点，当时，令，得，
令，可得到，作出的图像，
如下图，依题意，只需与有两个交点即可.
由图可得.
故答案为：
6．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，求导得，
所以在上单调递增，最大值为.
当时，.
当时，；当时，，
画出的图象如下：
因为存在实数使得函数恰有3个零点，这个问题可以转化为函数与直线有三个交点的问题.
由图可知时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意.
当时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意.
当时，由图可以知道，存在实数使得函数与直线恰有3个交点，符合题意.
故答案为：.
知识点七 函数在实际生活的应用
1．（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：）
A．87 B．88 C．89 D．90
【答案】
【解析】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级.
因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为，
所以，
且，
所以，
根据精确度要求精确到1，所以，
故选：C.
2（2025·甘肃）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
【答案】B
【解析】当时，；
当时，.
所以增大的百分比为：.
故选：B.
3（2025安徽）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数的次方是个位数，那么根据，取常用对数得到，即可得到，由下面的对数表可知这个数是，已知某个正整数的次方是个位数，则该正整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设这个正整数为，因为的次方是个位数，所以，即，则，结合表中数据易知，.
故选：B.
4．（2025·河北秦皇岛·二模）科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震，释放出来的能量为，2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震，释放出来的能量为，则（ ）
A．10 B．4.05 C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，，两式相减，得，
因此，.
故选：D
5．（2025·广东深圳·模拟预测）为了给地球减负，提高资源利用率，2025年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚。某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（ ）（参考数据：，）
A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年
【答案】D
【解析】设2025年后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元，
则，即，
则，
即.
所以，即2031年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.
故选：D.
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