专题02 函数的概念及基本初等函数I-【高考解密】3年(2023-2025)高考1年模拟数学真题分项汇编

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名称 专题02 函数的概念及基本初等函数I-【高考解密】3年(2023-2025)高考1年模拟数学真题分项汇编
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2025-07-08 14:12:45

文档简介

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专题02 函数的概念、性质与基本初等函数Ⅰ
知识点一 函数值
1.(2025·全国一卷·高考真题)设是定义在上且周期为2的偶函数,当时,,则( )
A. B. C. D.
2(2025·天津·高考真题)若,对,均有恒成立,则的最小值为
1.(2024·上海·高考真题)已知则 .
2.(2024·全国甲卷·高考真题)已知且,则 .
1.(2023·北京·高考真题)已知函数,则 .
2.(2023·上海·高考真题)已知,则的值域是 ;
知识点二 函数图像
1.(2025·天津·高考真题)已知函数的图象如下,则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
1.(2024·全国甲卷·高考真题)函数在区间的图象大致为( )
A.B.C.D.
1.(2023·天津·高考真题)已知函数的部分图象如下图所示,则的解析式可能为( )

A. B. C. D.
知识点三 函数的基本性质(无参数)
1.(2025·北京·高考真题)已知函数的定义域为D,则“的值域为”是“对任意,存在,使得”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(2025·全国二卷·高考真题)(多选)已知是定义在R上的奇函数,且当时,,则( )
A. B.当时,
C.当且仅当 D.是的极大值点
1.(2024·天津·高考真题)下列函数是偶函数的为( )
A. B. C. D.
2.(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知函数的定义域为R,,且当时 ,则下列结论中一定正确的是( )
A. B.
C. D.
3.(2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)(多选)对于函数和,下列说法中正确的有( )
A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值
C.与有相同的最小正周期 D.与的图象有相同的对称轴
1.(2023·北京·高考真题)下列函数中,在区间上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
2.(2023·全国乙卷·高考真题)已知是偶函数,则( )
A. B. C.1 D.2
3.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)(多选)已知函数的定义域为,,则( ).
A. B.
C.是偶函数 D.为的极小值点
知识点四 函数基本性质求参数
1.(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.(2024·上海·高考真题)若函数是奇函数,则实数 .
1.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)设函数在区间上单调递减,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.(2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)已知函数在区间上单调递增,则a的最小值为( ).
A. B.e C. D.
3.(2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)若为偶函数,则( ).
A. B.0 C. D.1
4.(2023·全国甲卷·高考真题)若为偶函数,则 .
5.(2023·全国乙卷·高考真题)设,若函数在上单调递增,则a的取值范围是 .
知识点五 比较大小
1.(2025·全国一卷·高考真题)若实数x,y,z满足,则x,y,z的大小关系不可能是( )
A. B.
C. D.
1.(2024·天津·高考真题)设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
2.(2024·北京·高考真题)已知,是函数的图象上两个不同的点,则( )
A. B.
C. D.
1.(2023·天津·高考真题)设,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
2.(2023·全国甲卷·高考真题)已知函数.记,则( )
A. B. C. D.
知识点六 零点或交点
1.(2025·天津·高考真题)函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
1.(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题)当时,曲线与的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
2.(2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)设函数,,当时,曲线与恰有一个交点,则( )
A. B. C.1 D.2
3.(2024·全国甲卷·高考真题)曲线与在上有两个不同的交点,则的取值范围为 .
4.(2024·天津·高考真题)设,函数.若恰有一个零点,则的取值范围为 .
1.(2023·全国乙卷·高考真题)函数存在3个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.(2023·天津·高考真题)设,函数,若恰有两个零点,则的取值范围为 .
3.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是 .
知识点七 函数在实际生活的应用
1.(2025·北京·高考真题)一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加20h;当训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加( )
A.2h B.4h C.20h D.40h
1.(2024·北京·高考真题)生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标,其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化,生物个体总数由变为,生物丰富度指数由提高到,则( )
A. B.
C. D.
1.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,则( ).
A. B.
C. D.
2.(2023·上海·高考真题)公园修建斜坡,假设斜坡起点在水平面上,斜坡与水平面的夹角为θ,斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米,游客每走一米消耗的体能为,要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少,则 .
知识点一 函数值
1.(2025·天津红桥·模拟预测)已知函数,则( )
A. B. C.1 D.2
2(2025·云南丽江·三模)已知函数,则的值为( )
A.24 B.4 C.12 D.8
3.(2025·广东惠州·模拟预测)已知函数则 .
4.(2025·天津红桥·模拟预测)函数,当时,则的值为 .
5.(2025·浙江杭州·模拟预测)已知函数,则 .
知识点二 函数图像
1.(2025·河北邢台·三模)函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
2.(2025·辽宁盘锦·三模)函数在上的大致图象为( )
A. B.
C.D.
知识点三 函数的基本性质(无参数)
1.(2025·天津红桥·模拟预测)下列函数中为偶函数的是( )
A. B. C. D.
2.(2025·北京·模拟预测)下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.(2025·广东·三模)下列函数中,既是奇函数又在单调递增的是( )
A. B.
C. D.
4.(2025·辽宁盘锦·三模)已知定义域均为的函数,满足,,,若,则下列说法错误的是( )
A.的图象关于y轴对称 B.为的一个周期
C. D.
5.(2025·广东惠州·模拟预测)已知函数的定义域为为偶函数,为奇函数,则( )
A. B.
C. D.
6.(2025·河北邢台·三模)已知定义在上的函数满足为偶函数,,则下列说法错误的是( )
A.的图象关于中心对称
B.的周期为8
C.
D.当时,,则的值为
知识点四 函数基本性质求参数
1.(2025·陕西咸阳·模拟预测)已知函数在上单调递减,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.(2025·四川泸州·模拟预测)已知是奇函数,则( )
A.2 B. C.1 D.
3.(2025·河北秦皇岛·模拟预测)已知函数在上单调递减,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.(2025·山东泰安·模拟预测)已知函数在上单调递增,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.(2025·甘肃白银·二模)已知是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为 .
6.(2025·甘肃白银·模拟预测)已知函数是奇函数,则 .
知识点五 比较大小
1.(2025·天津红桥·模拟预测)设,,,则( )
A. B. C. D.
2.(2025·山东泰安·模拟预测),则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
3.(2025·河南许昌·模拟预测)已知,,,则( )
A. B. C. D.
4.(2025·海南·模拟预测)若,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
5.(2025·海南·模拟预测)已知函数,设,则( )
A. B.
C. D.
知识点六 零点或交点
1.(2025·海南·模拟预测)已知函数,若存在不相等的实数,满足,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.(2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测)已知函数,存在实数b,使得方程有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为( ).
A. B.
C. D.
3.(2025·四川成都·模拟预测)函数恰有一个零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.(2025·新疆喀什·模拟预测)已知函数是奇函数,则函数的零点个数为 .
5.(2025·北京海淀·三模)已知函数,若函数有三个零点,则实数m的取值范围为 .
6.(2025·江苏·模拟预测)已知函数,若存在实数,使函数恰有个零点,则实数的取值范围是 .
知识点七 函数在实际生活的应用
1.(2025·北京海淀·三模)历史上,在5月27日曾有多次地震记录.例如:2006年5月27日,印尼爪哇发生里氏6.3级地震,2024年5月27日,四川木里县发生里氏5.0级地震,经过科学家的研究发现,地震时释放出来的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为.印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的( )倍.(精确到1.参考数据:)
A.87 B.88 C.89 D.90
2(2025·甘肃)中国的5G技术领先世界,5G技术极大地提高了数据传输速率,最大数据传输速率C取决于信道带宽W,经科学研究表明:C与W满足,其中S是信道内信号的平均功率,N是信道内部的高斯噪声功率,为信噪比.当信噪比比较大时,上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W,而将信噪比从1000提升至4000,则C大约增加了( )(附:)
A.10% B.20% C.30% D.40%
3(2025安徽)对数的应用很广泛,有些速算的原理来自对数,例如:如果正整数的次方是个位数,那么根据,取常用对数得到,即可得到,由下面的对数表可知这个数是,已知某个正整数的次方是个位数,则该正整数是( )
A. B. C. D.
4.(2025·河北秦皇岛·二模)科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出来的能量(单位:焦耳)与地震里氏震级之间的关系为.2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震,释放出来的能量为,2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震,释放出来的能量为,则( )
A.10 B.4.05 C. D.
5.(2025·广东深圳·模拟预测)为了给地球减负,提高资源利用率,2025年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚。某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是( )(参考数据:,)
A.2028年 B.2029年 C.2030年 D.2031年
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专题02 函数的概念、性质与基本初等函数Ⅰ
知识点一 函数值
1.(2025·全国一卷·高考真题)设是定义在上且周期为2的偶函数,当时,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知对一切成立,
于是.故选:A
2(2025·天津·高考真题)若,对,均有恒成立,则的最小值为
【答案】
【解析】设,原题转化为求的最小值,
原不等式可化为对任意的,,
不妨代入,得,得,
当时,原不等式可化为,即,
观察可知,当时,对一定成立,当且仅当取等号,
此时,,说明时,均可取到,满足题意,
故的最小值为.故答案为:
1.(2024·上海·高考真题)已知则 .
【答案】
【解析】因为故,故答案为:.
2.(2024·全国甲卷·高考真题)已知且,则 .
【答案】64
【解析】由题,整理得,
或,又,所以,故
故答案为:64
1.(2023·北京·高考真题)已知函数,则 .
【答案】1
【解析】函数,所以.故答案为:1
2.(2023·上海·高考真题)已知,则的值域是 ;
【答案】
【解析】】当 时, 根据指数函数的图象与性质知,
当 时, . 综上: 的值域为 .故答案为:.
知识点二 函数图像
1.(2025·天津·高考真题)已知函数的图象如下,则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图可知函数为偶函数,而函数和函数为奇函数,故排除选项AB;
又当时,此时,
由图可知当时,,故C不符合,D符合.
故选:D
1.(2024·全国甲卷·高考真题)函数在区间的图象大致为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】,
又函数定义域为,故该函数为偶函数,可排除A、C,
又,
故可排除D.故选:B.
1.(2023·天津·高考真题)已知函数的部分图象如下图所示,则的解析式可能为( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图知:函数图象关于y轴对称,其为偶函数,且,
由且定义域为R,即B中函数为奇函数,排除;
当时、,即A、C中上函数值为正,排除;
故选:D
知识点三 函数的基本性质(无参数)
1.(2025·北京·高考真题)已知函数的定义域为D,则“的值域为”是“对任意,存在,使得”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数的值域为,则对任意,一定存在,使得,
取,则,充分性成立;
取,,则对任意,一定存在,使得,
取,则,但此时函数的值域为,必要性不成立;
所以“的值域为”是“对任意,存在,使得”的充分不必要条件.
故选:A.
2.(2025·全国二卷·高考真题)(多选)已知是定义在R上的奇函数,且当时,,则( )
A. B.当时,
C.当且仅当 D.是的极大值点
【答案】ABD
【解析】对A,因为定义在上奇函数,则,故A正确;
对B,当时,,则,故B正确;
对C,, 故C错误;
对D,当时,,则,
令,解得或(舍去),
当时,,此时单调递增,
当时,,此时单调递减,
则是极大值点,故D正确;
故选:ABD.
1.(2024·天津·高考真题)下列函数是偶函数的为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对A,设,函数定义域为,但,,则,故A错误;
对B,设,函数定义域为,
且,则为偶函数,故B正确;
对C,设,,
,则不是偶函数,故C错误;
对D,设,函数定义域为,
因为,且不恒为0,
则不是偶函数,故D错误.
故选:B.
2.(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知函数的定义域为R,,且当时 ,则下列结论中一定正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为当时,所以,
又因为,
则,



,则依次下去可知,则B正确;
且无证据表明ACD一定正确.
故选:B.
3.(2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)(多选)对于函数和,下列说法中正确的有( )
A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值
C.与有相同的最小正周期 D.与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项,令,解得,即为零点,
令,解得,即为零点,
显然零点不同,A选项错误;
B选项,显然,B选项正确;
C选项,根据周期公式,的周期均为,C选项正确;
D选项,根据正弦函数的性质的对称轴满足,
的对称轴满足,
显然图像的对称轴不同,D选项错误.
故选:BC
1.(2023·北京·高考真题)下列函数中,在区间上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A,因为在上单调递增,在上单调递减,
所以在上单调递减,故A错误;
对于B,因为在上单调递增,在上单调递减,
所以在上单调递减,故B错误;
对于C,因为在上单调递减,在上单调递减,
所以在上单调递增,故C正确;
对于D,因为,,
显然在上不单调,D错误.
故选:C.
2.(2023·全国乙卷·高考真题)已知是偶函数,则( )
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【解析】因为为偶函数,则,
又因为不恒为0,可得,即,
则,即,解得.
故选:D.
3.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)(多选)已知函数的定义域为,,则( ).
A. B.
C.是偶函数 D.为的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一:
因为,
对于A,令,,故正确.
对于B,令,,则,故B正确.
对于C,令,,则,
令,
又函数的定义域为,所以为偶函数,故正确,
对于D,不妨令,显然符合题设条件,此时无极值,故错误.
方法二:
因为,
对于A,令,,故正确.
对于B,令,,则,故B正确.
对于C,令,,则,
令,
又函数的定义域为,所以为偶函数,故正确,
对于D,当时,对两边同时除以,得到,
故可以设,则,
当肘,,则,
令,得;令,得;
故在上单调递减,在上单调递增,
因为为偶函数,所以在上单调递增,在上单调递减,

显然,此时是的极大值点,故D错误.故选:.
知识点四 函数基本性质求参数
1.(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为在上单调递增,且时,单调递增,
则需满足,解得,即a的范围是.故选:B.
2.(2024·上海·高考真题)若函数是奇函数,则实数 .
【答案】0
【解析】是奇函数,则恒成立,所以,解得故答案为:0.
1.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)设函数在区间上单调递减,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增,而函数在区间上单调递减,
则有函数在区间上单调递减,因此,解得,
所以的取值范围是.
故选:D
2.(2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)已知函数在区间上单调递增,则a的最小值为( ).
A. B.e C. D.
【答案】C
【解析】依题可知,在上恒成立,显然,所以,
设,所以,所以在上单调递增,
,故,即,即a的最小值为.
故选:C.
3.(2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)若为偶函数,则( ).
A. B.0 C. D.1
【答案】B
【解析】因为 为偶函数,则 ,解得,
当时,,,解得或,
则其定义域为或,关于原点对称.

故此时为偶函数.
故选:B.
4.(2023·全国甲卷·高考真题)若为偶函数,则 .
【答案】2
【解析】因为为偶函数,定义域为,
所以,即,
则,故,
此时,
所以,
又定义域为,故为偶函数,
所以.
故答案为:2.
5.(2023·全国乙卷·高考真题)设,若函数在上单调递增,则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立,
则,即在区间上恒成立,
故,而,故,
故即,故,
结合题意可得实数的取值范围是.故答案为:.
知识点五 比较大小
1.(2025·全国一卷·高考真题)若实数x,y,z满足,则x,y,z的大小关系不可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】法一:设,所以
令,则,此时,A有可能;
令,则,此时,C有可能;
令,则,此时,D有可能;
故选:B.
法二:设,所以,
根据指数函数的单调性,易知各方程只有唯一的根,
作出函数的图象,以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标,如图所示:
易知,随着的变化可能出现:,,,,
故选:B.
1.(2024·天津·高考真题)设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在上递增,且,
所以,
所以,即,
因为在上递增,且,
所以,即,
所以,
故选:D
2.(2024·北京·高考真题)已知,是函数的图象上两个不同的点,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意不妨设,因为函数是增函数,所以,即,
对于选项AB:可得,即,
根据函数是增函数,所以,故B正确,A错误;
对于选项D:例如,则,
可得,即,故D错误;
对于选项C:例如,则,
可得,即,故C错误,
故选:B.
1.(2023·天津·高考真题)设,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由在R上递增,则,由在上递增,则.
所以.故选:D
2.(2023·全国甲卷·高考真题)已知函数.记,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令,则开口向下,对称轴为,
因为,而,
所以,即
由二次函数性质知,
因为,而,
即,所以,
综上,,
又为增函数,故,即.故选:A.
知识点六 零点或交点
1.(2025·天津·高考真题)函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知:在上单调递减,在单调递增,
所以在定义域上单调递减,
显然,
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选:B
1.(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题)当时,曲线与的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期为,
函数的最小正周期为,
所以在上函数有三个周期的图象,
在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示:
由图可知,两函数图象有6个交点.
故选:C
2.(2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)设函数,,当时,曲线与恰有一个交点,则( )
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【解析】解法一:令,即,可得,
令,
原题意等价于当时,曲线与恰有一个交点,
注意到均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,
可得,即,解得,
若,令,可得
因为,则,当且仅当时,等号成立,
可得,当且仅当时,等号成立,
则方程有且仅有一个实根0,即曲线与恰有一个交点,
所以符合题意;
综上所述:.
解法二:令,
原题意等价于有且仅有一个零点,
因为,
则为偶函数,
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0,
即,解得,
若,则,
又因为当且仅当时,等号成立,
可得,当且仅当时,等号成立,
即有且仅有一个零点0,所以符合题意;
故选:D.
3.(2024·全国甲卷·高考真题)曲线与在上有两个不同的交点,则的取值范围为 .
【答案】
【解析】令,即,令
则,令得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,,
因为曲线与在上有两个不同的交点,
所以等价于与有两个交点,所以.
故答案为:
4.(2024·天津·高考真题)设,函数.若恰有一个零点,则的取值范围为 .
【答案】
【解析】令,即,
由题可得,
当时,,有,则,不符合要求,舍去;
当时,则,
即函数与函数有唯一交点,
由,可得或,
当时,则,则,
即,整理得,
当时,即,即,
当,或(正值舍去),
当时,或,有两解,舍去,
即当时,在时有唯一解,
则当时,在时需无解,
当,且时,
由函数关于对称,令,可得或,
且函数在上单调递减,在上单调递增,
令,即,
故时,图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得,
由的渐近线方程为,
即部分的渐近线方程为,其斜率为,
又,即在时的斜率,
令,可得或(舍去),
且函数在上单调递增,
故有,解得,故符合要求;
当时,则,
即函数与函数有唯一交点,
由,可得或,
当时,则,则,
即,整理得,
当时,即,即,
当,(负值舍去)或,
当时,或,有两解,舍去,
即当时,在时有唯一解,
则当时,在时需无解,
当,且时,
由函数关于对称,令,可得或,
且函数在上单调递减,在上单调递增,
同理可得:时,图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得,
部分的渐近线方程为,其斜率为,
又,即在时的斜率,
令,可得或(舍去),
且函数在上单调递减,
故有,解得,故符合要求;
综上所述,.
故答案为:.
1.(2023·全国乙卷·高考真题)函数存在3个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,则,
若要存在3个零点,则要存在极大值和极小值,则,
令,解得或,
且当时,,
当,,
故的极大值为,极小值为,
若要存在3个零点,则,即,解得,
故选:B.
2.(2023·天津·高考真题)设,函数,若恰有两个零点,则的取值范围为 .
【答案】
【解析】(1)当时,,
即,
若时,,此时成立;
若时,或,
若方程有一根为,则,即且;
若方程有一根为,则,解得:且;
若时,,此时成立.
(2)当时,,
即,
若时,,显然不成立;
若时,或,
若方程有一根为,则,即;
若方程有一根为,则,解得:;
若时,,显然不成立;
综上,
当时,零点为,;
当时,零点为,;
当时,只有一个零点;
当时,零点为,;
当时,只有一个零点;
当时,零点为,;
当时,零点为.
所以,当函数有两个零点时,且.
故答案为:.
3.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为,所以,
令,则有3个根,
令,则有3个根,其中,
结合余弦函数的图像性质可得,故,
故答案为:.
知识点七 函数在实际生活的应用
1.(2025·北京·高考真题)一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加20h;当训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加( )
A.2h B.4h C.20h D.40h
【答案】B
【解析】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意,,


因为,所以,
所以,
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加4小时.
故选:B.
1.(2024·北京·高考真题)生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标,其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化,生物个体总数由变为,生物丰富度指数由提高到,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得,则,即,所以.
故选:D.
1.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,则( ).
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由题意可知:,
对于选项A:可得,
因为,则,即,
所以且,可得,故A正确;
对于选项B:可得,
因为,则,即,
所以且,可得,
当且仅当时,等号成立,故B错误;
对于选项C:因为,即,
可得,即,故C正确;
对于选项D:由选项A可知:,
且,则,
即,可得,且,所以,故D正确;
故选:ACD.
2.(2023·上海·高考真题)公园修建斜坡,假设斜坡起点在水平面上,斜坡与水平面的夹角为θ,斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米,游客每走一米消耗的体能为,要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少,则 .
【答案】
【解析】方法1:依题意,斜坡长度,
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力,
求导得,由,得,
当时,,当时,,
于是函数在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,人上坡消耗的总体力最小.
方法2:依题意,斜坡长度,
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力,
由,得,即,其中锐角由确定,
显然,而,则,当且仅当,即时取等号,
此时,即,
所以当时,人上坡消耗的总体力最小.
故答案为:
知识点一 函数值
1.(2025·天津红桥·模拟预测)已知函数,则( )
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【解析】由,则.故选:D.
2(2025·云南丽江·三模)已知函数,则的值为( )
A.24 B.4 C.12 D.8
【答案】A
【解析】因为,所以,
又,所以.故选:A.
3.(2025·广东惠州·模拟预测)已知函数则 .
【答案】
【解析】因为,,所以.
故答案为:.
4.(2025·天津红桥·模拟预测)函数,当时,则的值为 .
【答案】或0
【解析】由,则,
当时,,即;
当时,,即或(舍去).
综上所述,或.
故答案为:或0.
5.(2025·浙江杭州·模拟预测)已知函数,则 .
【答案】
【解析】由题,,则.
故答案为:
知识点二 函数图像
1.(2025·河北邢台·三模)函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解法一:因为函数的定义域为,故排除A;
,,所以,,
故非奇非偶函数,故排除B,D.
解法二: 由题可知,
当或时,,则在,上单调递增,故ABD错误;
故选:C
2.(2025·辽宁盘锦·三模)函数在上的大致图象为( )
A. B.
C.D.
【答案】A
【解析】对于,当时,,因和在上都是减函数,
故在上单调递减,故排除C,D;
当时,,,
因,
则在上单调递增,排除B.
故选:A.
知识点三 函数的基本性质(无参数)
1.(2025·天津红桥·模拟预测)下列函数中为偶函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】为偶函数,为非奇非偶函数,
为奇函数,为非奇非偶函数.
故选:A.
2.(2025·北京·模拟预测)下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A,若,函数定义域为,,即函数不是奇函数,故A错误;
对于B,的定义域为,关于原点对称,但,
故函数不是奇函数,即B错误;
对于C,函数的定义域为,但,
故函数不是奇函数,即C错误;
对于D,的定义域为,且,即函数是奇函数,
且因,函数在上单调递增,故D正确.
故选:D.
3.(2025·广东·三模)下列函数中,既是奇函数又在单调递增的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A,函数是奇函数,在上单调递增,A是;
对于B,函数是偶函数,不是奇函数,B不是;
对于C,函数是偶函数,不是奇函数,C不是;
对于D,函数是偶函数,不是奇函数,D不是.
故选:A
4.(2025·辽宁盘锦·三模)已知定义域均为的函数,满足,,,若,则下列说法错误的是( )
A.的图象关于y轴对称 B.为的一个周期
C. D.
【答案】C
【解析】因为,所以,又因为,所以,所以,所以的图象关于y轴对称,故A正确;
又因为,所以,所以,即,
所以,所以,故B正确;
在中,令,得,所以,故C错误;
因为,所以,所以,所以,,
故,故D正确.
故选:C
5.(2025·广东惠州·模拟预测)已知函数的定义域为为偶函数,为奇函数,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数,则,可得,
因为函数为奇函数,则,
所以,即得,
即,故函数是以4为周期的周期函数,
对于,令,则,
对于,令,则,B正确;
由题意可知,无法推出,A错误,
又,,而是否为0不确定,故CD错误,
故选:B
6.(2025·河北邢台·三模)已知定义在上的函数满足为偶函数,,则下列说法错误的是( )
A.的图象关于中心对称
B.的周期为8
C.
D.当时,,则的值为
【答案】D
【解析】因为,所以的图象关于中心对称,故A正确;
因为为偶函数,所以
所以,又因为,
所以,所以,
所以,所以的一个周期为8,故B正确;
,故C正确;
由,得,
又当时,,所以,即,故D错误.
故选:D
知识点四 函数基本性质求参数
1.(2025·陕西咸阳·模拟预测)已知函数在上单调递减,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为时,单调递减,
又在上单调递减,所以时,单调递减,则只需满足解得.
故选:B.
2.(2025·四川泸州·模拟预测)已知是奇函数,则( )
A.2 B. C.1 D.
【答案】D
【解析】由,可得,所以,
所以的定义域为,
因为是奇函数,所以,
又,,
所以,解得.
当时,,
函数的定义域为,定义域关于原点对称,
,所以此时是奇函数
故选:D.
3.(2025·河北秦皇岛·模拟预测)已知函数在上单调递减,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意有:当时,,所以,
所以,当时,,所以,所以,
又在上单调递减,所以,解得,所以,
故选:C.
4.(2025·山东泰安·模拟预测)已知函数在上单调递增,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数在上单调递增,
可得在上单调递增,
且在上恒成立,故需满足,解得.
故选:B.
5.(2025·甘肃白银·二模)已知是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】由是R上的单调递增函数,可得:,解得:,
所以实数a的取值范围为,故答案为:
6.(2025·甘肃白银·模拟预测)已知函数是奇函数,则 .
【答案】
【解析】当时,,所以,即
则,.
故答案为:
知识点五 比较大小
1.(2025·天津红桥·模拟预测)设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,,,
所以.
故选:B.
2.(2025·山东泰安·模拟预测),则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由幂函数为增函数,得;
由指数函数为减函数,得;
由对数函数为减函数,得.
所以.
故选:A.
3.(2025·河南许昌·模拟预测)已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知,,
又函数在上单调递增,而3.4,即,
又在上单调递增,所以,即.
故选:D.
4.(2025·海南·模拟预测)若,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由指数函数的单调性可知,
由对数函数的单调性可知.
又,所以,即.
故选:D.
5.(2025·海南·模拟预测)已知函数,设,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得,,代入得 ,解得,可得,,
令,,
可知在上,,在上单调递增,
在上,,在上单调递减,在处取得最大值,,
所以在上,则,所以在上单调递减,
设,可知,
则当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.
所以,所以,
令,则,
令,则,
当时,,在上单调递增,当时,,在上单调递减,
由可知,当时,,即,所以在上单调递增,得,即,
综上可知,,由在上单调递减得.
故选:D.
知识点六 零点或交点
1.(2025·海南·模拟预测)已知函数,若存在不相等的实数,满足,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的图象对称轴,,
函数在上单调递增,函数值集合为,在上单调递减,函数值集合为,
在单调递减,函数值集合为,在上单调递增,函数值集合为,
令,则函数的图象与直线有4个交点,
在同一坐标系内作出函数的图象与直线,
观察图象,得,,由,得,
由,得,则,
函数在上单调递减,,因此,
所以的取值范围为.
故选:C
2.(2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测)已知函数,存在实数b,使得方程有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意知,存在实数,使得有3个不同的实数解,
即二次函数在区间不单调,所以;
且二次函数的最小值要小于一次函数的上确界,
即,解得,综上得.
故选:C.
3.(2025·四川成都·模拟预测)函数恰有一个零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令,得到,则,显然,
得到,令,
则,
因为恒成立,
所以当时,,当时,,
即区间上单调递减,在区间和上单调递增,
又时,,,从左边趋近于时,,
从右边趋近于时,,时,,其图象如图,
由题知恰有一个零点,则与有且仅有一个交点,
由图知,,解得,
故选:C.
4.(2025·新疆喀什·模拟预测)已知函数是奇函数,则函数的零点个数为 .
【答案】2
【解析】因为为奇函数,
所以,
联立解得:,经验证符合题意,
所以,,
令,
当时,得:,解得:,
当时,得:,解得:,
所以函数的零点个数为2.
故答案为:2.
5.(2025·北京海淀·三模)已知函数,若函数有三个零点,则实数m的取值范围为 .
【答案】
【解析】易知为的零点,当时,令,得,
令,可得到,作出的图像,
如下图,依题意,只需与有两个交点即可.
由图可得.
故答案为:

6.(2025·江苏·模拟预测)已知函数,若存在实数,使函数恰有个零点,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时,,求导得,
所以在上单调递增,最大值为.
当时,.
当时,;当时,,
画出的图象如下:
因为存在实数使得函数恰有3个零点,这个问题可以转化为函数与直线有三个交点的问题.
由图可知时,存在实数使得函数与直线最多有2个交点,不合题意.
当时,存在实数使得函数与直线最多有2个交点,不合题意.
当时,由图可以知道,存在实数使得函数与直线恰有3个交点,符合题意.
故答案为:.
知识点七 函数在实际生活的应用
1.(2025·北京海淀·三模)历史上,在5月27日曾有多次地震记录.例如:2006年5月27日,印尼爪哇发生里氏6.3级地震,2024年5月27日,四川木里县发生里氏5.0级地震,经过科学家的研究发现,地震时释放出来的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为.印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的( )倍.(精确到1.参考数据:)
A.87 B.88 C.89 D.90
【答案】
【解析】设印尼地震的能量 ,震级,四川地震的能量 ,震级.
因为地震时释放出来的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为,
所以,
且,
所以,
根据精确度要求精确到1,所以,
故选:C.
2(2025·甘肃)中国的5G技术领先世界,5G技术极大地提高了数据传输速率,最大数据传输速率C取决于信道带宽W,经科学研究表明:C与W满足,其中S是信道内信号的平均功率,N是信道内部的高斯噪声功率,为信噪比.当信噪比比较大时,上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W,而将信噪比从1000提升至4000,则C大约增加了( )(附:)
A.10% B.20% C.30% D.40%
【答案】B
【解析】当时,;
当时,.
所以增大的百分比为:.
故选:B.
3(2025安徽)对数的应用很广泛,有些速算的原理来自对数,例如:如果正整数的次方是个位数,那么根据,取常用对数得到,即可得到,由下面的对数表可知这个数是,已知某个正整数的次方是个位数,则该正整数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设这个正整数为,因为的次方是个位数,所以,即,则,结合表中数据易知,.
故选:B.
4.(2025·河北秦皇岛·二模)科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出来的能量(单位:焦耳)与地震里氏震级之间的关系为.2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震,释放出来的能量为,2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震,释放出来的能量为,则( )
A.10 B.4.05 C. D.
【答案】D
【解析】依题意,,,两式相减,得,
因此,.
故选:D
5.(2025·广东深圳·模拟预测)为了给地球减负,提高资源利用率,2025年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚。某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是( )(参考数据:,)
A.2028年 B.2029年 C.2030年 D.2031年
【答案】D
【解析】设2025年后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元,
则,即,
则,
即.
所以,即2031年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.
故选:D.
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