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专题01 集合与常用逻辑用语
知识点一 集合的交并补运算
1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，故选：D.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故，故选：D.
3（2025·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则，集合，故故选：D.
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，且注意到，从而.故选：A.
2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得.故选：C.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是.故选：C
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，则， 故选：D
5．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合，，所以，故选：B
1．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，，
根据交集的运算可知，.故选：A
2．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则.故选：A.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为全集，集合，所以，又，所以，故选：A.
4．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，而，所以.故选：A
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：因为，而，所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．
知识点二 元素与集合关系、集合与集合的关系
1．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【】解析因为整数集，，所以，．故选：A．
知识点三 元素个数与（真）子集个数
1．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【解析】因为，所以， 中的元素个数为，故选：C．
知识点四 含参集合
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.故选：B
知识点五 充分、必要条件
1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，则“”是“”的充分条件；
又当时，，可知，
故“”不是“”的必要条件，
综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
1．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
因为，且，所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.故选：C
知识点一 集合的交并补运算
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，又，所以.故选：C.
2．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】B
【解析】在集合中，因为，所以，则，解得，所以，因为，故.故选：B．
3．（2025·辽宁盘锦·三模）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，，故．
故选：B.
4．（2025·天津武清·模拟预测）全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为全集，集合，，则，
所以，故选：C
5．（2025·天津·二模）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，，所以，
故选：C
知识点二 元素与集合关系、集合与集合的关系
1．（2025·江苏·模拟预测）已知集合满足，若，则必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以必有，且，
又，则和4均仅是集合A中元素或仅是集合B中元素.
若，则必有.
故选：C
2．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合,，则.故选：B
3．（2025·山东·模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意得，，所以.
均不成立，,ABC错误
故选：D.
4．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合，
，故，
故选：B
5．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，因为，，所以，故A不正确；
对于B选项，因为，但，得，故B不正确；
对于C选项，由，，则或，
所以，故C正确；
对于D选项，由，得，
又，所以，故D不正确.
故选：C.
知识点三 元素个数与（真）子集个数
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则的子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】B
【解析】因为集合，所以，所以的子集个数为.
故选：B.
2．（2025·山东青岛·三模）已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】已知，解得，又，则，集合中只有一个元素，有个子集.故选：C.
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知集合，则集合A的真子集个数是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由可得，故，
则集合的真子集个数是.故选：C.
4．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】依题意，集合可以为：，所以集合C的个数为4.故选：D
知识点四 含参集合
1．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．1
【答案】B
【解析】由题意得，则且.
若，解得，不合题意，舍去.
若，解得（舍去）或，则.
此时，，符合题意，故.
故选：B.
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则实数（ ）．
A．0或1或2 B．1或2 C．0或1 D．1
【答案】A
【解析】由，可得.
若，则成立；
若，又，则或，则或.
综上可得或或.
故选：A
3（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即.
故选：D
4．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以解得，即a的取值范围是.故选：D.
5．（2025·江西·三模）已知集合.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，解得，所以，
因为，所以，所以.所以的取值范围为.故选：A.
6．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知全集，集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，，或，
由，得，解得，所以a的取值范围是.故选：B
7．（2025·江西萍乡·三模）已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素，
故且，则，解得且.故选：C
知识点五 充分、必要条件
1．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，，
所以，即是的充分不必要条件.故选：A
2．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，
判断充分性：
当时，，满足，所以由“”可以推出“”，充分性成立．
判断必要性：
若，因为，，所以的值可以为，也可以是其他值如，
即由“”不能推出“”，必要性不成立．所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
3．（2025·北京·模拟预测）“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题知，圆的圆心为，半径为1，
设圆心到直线的距离为则，解得：.
而为的真子集，故“”是“”的必要不充分条件，
即“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件，故选：B
4．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分又不必要
【答案】A
【解析】若，则直线，直线，此时平行，
若平行，则即，
当时，平行，
当时，直线，直线，此时也平行，
故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件，故选：A.
5．（2025·北京海淀·三模）在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在中，，
因此是钝角，是锐角，没有条件判断都是锐角，则不能确定为锐角三角形；
反之，为锐角三角形，则是锐角，是钝角，成立，
所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件.
故选：B
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专题01 集合与常用逻辑用语
知识点一 集合的交并补运算
1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（ ）
A． B． C． D．
3（2025·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点二 元素与集合关系、集合与集合的关系
1．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
知识点三 元素个数与（真）子集个数
1．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
知识点四 含参集合
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
知识点五 充分、必要条件
1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
知识点一 集合的交并补运算
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．或 B．
C． D．或
3．（2025·辽宁盘锦·三模）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·天津武清·模拟预测）全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·天津·二模）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点二 元素与集合关系、集合与集合的关系
1．（2025·江苏·模拟预测）已知集合满足，若，则必有（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东·模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
知识点三 元素个数与（真）子集个数
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则的子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
2．（2025·山东青岛·三模）已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知集合，则集合A的真子集个数是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
4．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点四 含参集合
1．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．1
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则实数（ ）．
A．0或1或2 B．1或2 C．0或1 D．1
3（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江西·三模）已知集合.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知全集，集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·江西萍乡·三模）已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
知识点五 充分、必要条件
1．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025·北京·模拟预测）“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分又不必要
5．（2025·北京海淀·三模）在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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