2.2 向心力 习题（含解析）

2.2 向心力 作业
一、选择题
1.如图所示，竖直放置的螺旋形光滑轨道是圆形光滑轨道相切而成的，P、Q为对应的轨道最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能过轨道最高点P，则下列说法中正确的是(　　)
A．轨道对小球不做功，小球通过P点的角速度小于通过Q点的角速度
B．轨道对小球做正功，小球通过P点的线速度大于通过Q点的线速度
C．小球通过P点时的向心加速度大于通过Q点时的向心加速度
D．小球通过P点时对轨道的压力大于通过Q点时对轨道的压力
解析　由于轨道对小球的弹力始终垂直速度方向，所以轨道对小球不做功，选项B错误；从P到Q重力做正功，vQ>vP，又因为ω＝v/r，rQωP，选项A正确；向心加速度a＝v2/r，选项C错误；在最高点时有FN＋mg＝m，可知FN＝m－mg，因vQ>vP，rQFNP，根据牛顿第三定律可知，小球通过P点时对轨道的压力小于通过Q点时对轨道的压力，选项D错误．答案　A
2.如图所示，质量为m的物体，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是(　　)
A．受到的向心力为mg＋m
B．受到的摩擦力为μm
C．受到的摩擦力为μ
D．受到的合力方向斜向左上方
解析　物体在最低点做圆周运动，则有FN－mg＝m，解得FN＝mg＋m，故物体受到的滑动摩擦力为Ff＝μFN＝μ，选项A、B错误，选项C正确．水平方向受到向左的摩擦力，竖直方向受到的合力向上，故物体所受到的合力斜向左上方，选项D正确．答案　CD
3.如图所示的皮带传动装置，主动轮1的半径与从动轮2的半径之比R1：R2＝2：1，A、B分别是两轮边缘上的点，假设皮带不打滑，则下列说法正确的是(　　)
A．A、B两点的线速度之比为vA：vB＝1：2
B．A、B两点的角速度之比为ωA：ωB＝2：1
C．A、B两点的加速度之比为aA：aB＝1：2
D．A、B两点的加速度之比为aA：aB＝2：1
解析　皮带不打滑时，A、B两点的线速度相等，选项A错误；当线速度v相等时，ω＝∝，a＝∝，所以ωA：ωB＝R2：R1＝1：2，aA：aB＝R2：R1＝1：2，选项C正确，B、D错误．答案　C
4.如图所示，内壁光滑的半球形容器固定放置，其圆形顶面水平．两个完全相同的小球a、b分别沿容器内壁，在不同的水平面内做匀速圆周运动．下列判断正确的是(　　)
A．a对内壁的压力小于b对内壁的压力
B．a的周期小于b的周期
C．a的角速度小于b的角速度
D．a的向心加速度与b的向心加速度大小相等
解析　小球在半球形容器内做匀速圆周运动，圆心在水平面内，受到自身重力mg和内壁的弹力N方向指向半球形的球心．受力如下图，有几何关系可知N＝，设球体半径为R，则圆周运动的半径Rsinθ，向心力mgtanθ＝mRsinθω2＝ma，得到角速度
ω＝ ，向心加速度a＝gtanθ.小球a的弹力和竖直方向夹角θ大，所以a对内壁的压力大，答案A错．a的角速度大答案C错，周期T＝a的周期小答案B对．a的向心加速度大答案D错．答案　B
5.如图所示，质量为m的小球置于立方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间的作用力恰为mg，则(　　)
A．该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于π 
B．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于π 
C．在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于3mg
D．在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能大于3mg
解析　要使在最高点时盒子与小球之间的作用力恰好为mg，则盒子顶部对小球必然有向下的弹力mg，则有mg＋mg＝，解得该盒子做匀速圆周运动的速度v＝，该盒子做匀速圆周运动的周期为T＝＝π ，A错误、B正确；在最低点时，盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力，由F－mg＝，解得F＝3mg，C、D错误．答案　B
6.如图所示，在光滑的水平面上固定两个直立的小铁钉，相距l，长为3l不可伸长的轻质细线一端固定在右侧铁钉上，另一端拴着一个小钢珠，将细线拉直，使小钢珠与两铁钉位于同一直线上．小钢珠以一定的初速度垂直于纸面从图示位置开始运动并开始计时，在小钢珠与铁钉碰撞前，细线拉力F随时间t的变化图象应是(　　)
解析　小钢珠刚开始做圆周运动时，半径为3l，向心力大小为F1＝，运动时间为t1＝；细线第一次碰到铁钉后，半径变为2l，线速度大小保持不变，向心力大小为F2＝，运动时间为t2＝；细线第二次碰到铁钉后，半径变为l，线速度大小保持不变，向心力大小为F3＝，运动时间为t3＝；从而可知拉力之比F1：F2：F3＝2：3：6，运动时间之比t1：t2：t3＝3：2：1，从而可知选项B正确．
7.一轻杆下端固定一质量为m的小球，上端连在光滑水平轴上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动(不计空气阻力)，如图所示．当小球在最低点时给它一个水平初速度v0，小球刚好能做完整的圆周运动．若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则下列判断正确的是(　　)
A．小球能做完整的圆周运动，经过最高点的最小速度为
B．小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大
C．小球在最低点对轻杆的作用力先增大后减小
D．小球在运动过程中所受合外力的方向始终指向圆心
解析　小球做完整的圆周运动经过最高点时，对小球，由牛顿第二定律得mg－F＝m，当轻杆对小球的作用力大小F＝mg时，小球的速度最小，最小值为零，所以A错．由mg－F＝m可得在最高点轻杆对小球的作用力F＝mg－m，若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，小球经过最高点时的速度v也逐渐增大，所以轻杆对小球的作用力F先减小后增大(先为支持力后为拉力)，由牛顿第三定律可得小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大，因此B正确．在最低点，由F－mg＝m可得轻杆对小球的作用力(拉力)F＝mg＋m，若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则轻杆对小球的作用力(拉力)一直增大，C错．轻杆绕水平轴在竖直平面内运动，小球不是做匀速圆周运动，所以合外力的方向不是始终指向圆心，只有在最低点和最高点合外力的方向才指向圆心，D错．答案　B
8.公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处(　　)
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
解析　根据题意可知，汽车在拐弯处恰好不受摩擦力作用，受力情况如图所示，重力和支持力的合力刚好可以提供向心力，即mgtanθ＝m，路面外侧高于内侧，A项正确；当车速低于vc时，汽车有向内侧滑动的趋势，此时汽车可以受到向外的摩擦力，只有摩擦力等于滑动摩擦力时，汽车才会向内侧滑动，B项错误；当车速高于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，此时汽车受到向里的摩擦力，只有摩擦力等于滑动摩擦力时，汽车才会向外侧滑动，C项正确；由mgtanθ＝m可知，当路面结冰时，vc的值不变，D项错误．答案　AC
9.如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°，在距转动中心r＝0.1 m处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为μ＝0.8，木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同．若要保持小木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值为(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(　　)
A．8 rad/s B．2 rad/s
C. rad/s D. rad/s
解析　木块与圆盘的最大静摩擦力出现在最低点，此时最大静摩擦力指向圆心，最大静摩擦力与重力沿圆盘的分力的合力，提供木块做圆周运动的向心力，即μmgcosθ－mgsinθ＝mrω2，解得最大角速度为ω＝2 rad/s，选项B正确．
10.一中空圆筒长l＝200 cm，其两端以纸封闭，使筒绕其中心轴线OO′匀速转动，一子弹沿与OO′平行的方向以v＝400 m/s的速度匀速穿过圆筒，在圆筒两端面分别留下弹孔A和B，如图所示．今测得A和轴线所在平面与B和轴线所在平面的夹角为120°，此圆筒的转速为(　　)
A. r/s
B. r/s
C．200r/s(n＝0、1、2、3……)
D．200r/s(n＝0、1、2、3……)
解析　子弹在圆筒内做匀速直线运动，在它由圆筒的一端运动到另一端的时间里，由题图可知圆筒转过的角度可能为θ＝2πn＋(n＝0、1、2、3…)．由角速度的定义式及其与转速N的关系即可求出圆筒每秒钟转过的圈数．子弹穿过圆筒的时间t＝＝＝ s．由ω＝及N＝得，转速N＝200 r/s(n＝0、1、2、3……)，选项C正确．
二、非选择题
11．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力．
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.
(2)问绳能承受的最大拉力多大？
解析　(1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，
竖直方向d－d＝gt2，水平方向d＝v1t联立解得v1＝
由机械能守恒定律，有mv＝mv＋mg 解得v2＝ .
(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小．
球做圆周运动的半径为R＝d
由圆周运动向心力公式，在其圆周运动的最低点，有FT－mg＝
联立解得FT＝mg
由牛顿第三定律知绳能承受的最大拉力为mg.
12.在一根竖直硬质细杆的顶端O用铰链连接两根轻杆，轻杆的下端分别固定两个金属小球．当发动机带动竖直硬质细杆运动时，两个金属球可在水平面上做匀速圆周运动，如图所示，设与金属球连接的两轻杆的长度均为l，两金属球的质量均为m.各杆的质量均可忽略不计．当发动机加速运转时，轻杆与竖直杆的夹角从30°增加到60°，忽略各处的摩擦和阻力，求这一过程中速度变为原来的多少倍．
解析　由题意，当轻杆与竖直杆夹角为30°时，
金属球做圆周运动，有：mgtan30°＝m，R1＝lsin30°，
所以v1＝ 
同理，当轻杆与竖直杆夹角为60°时，有：mgtan60°＝m，R2＝lsin60°，
所以v2＝  故＝
13如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g.
(1)若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
(2)若ω＝(1±k)ω0，且0解析　(1)物块在弹力和重力的作用下做圆周运动，弹力的竖直分力与重力平衡，弹力的水平分力提供向心力，所以有FNcosθ＝mg，FNsinθ＝mωRsinθ，得ω0＝ .
(2)当ω＝(1＋k)ω0时，滑块有沿斜面向上滑的趋势，摩擦力沿罐壁切线向下，受力分析如图甲，
竖直方向：FNcosθ－fsinθ－mg＝0，
水平方向：FNsinθ＋fcosθ＝mω2Rsinθ，
联立得f＝mg.
当ω＝(1－k)ω0时，滑块有沿斜面向下滑的趋势，摩擦力方向沿罐壁切线向上，受力分析如图乙，
竖直方向：FNcosθ＋fsinθ－mg＝0，
水平方向：FNsinθ－fcosθ＝mω2Rsinθ，联立得f＝mg.
(2)当ω＝(1＋k)ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，
大小为f＝mg
当ω＝(1－k)ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，
大小为f＝mg