2.2 向心力 学案

2.2 向心力 学案
课前自主预习
1．向心力：
（1）做匀速圆周运动的物体，会受到指向 的合外力作用 ，这个合力叫做向心力。
（2）向心力总是指向 ，始终与线速度垂直，只改变速度的方向而不改变 。
（3）向心力是根据力的 命名，可以是各种性质的力，也可以是它们的 ，还可以是某个力的分力。
（4）如果物体做匀速圆周运动，向心力就是物体受到的 ；如果物体做非匀速圆周运动（线速度大小时刻改变），向心力并非是物体受到的合外力。
（5）向心力的公式 或 。
2．向心加速度：
（1）定义: 做匀速圆周运动的物体,在向心力作用下必然产生一个 ,这个加速度的方向与向心力的方向相同,我们称之为向心加速度。
（2）向心加速度的大小：a = 或= 。
（3）方向：指向 ，匀速圆周运动是向心加速方向不断改变的 。
3．（单选）关于向心力的说法中正确的是（ ）
A．物体由于做圆周运动而产生向心力
B．向心力不改变圆周运动物体的速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．做圆周运动的物体所受到的合外力一定是向心力
4．（单选）关于向心加速度的意义，下列说法正确的是( )
A．它描述的是线速度大小变化的快慢
B．它描述的是线速度方向变化的快慢
C．它描述的是向心力变化的快慢
D．它描述的是角速度变化的快慢
课前自主预习答案：
1.（1）圆心.（2）圆心，大小.（3）效果，合力.（4）合外力.（5），.
2.（1）加速度.（2），.（3）圆心，变加速曲线运动.
3．B． 4．B
课堂互动探究
知识点1：向心力的理解
新知探究
在图2－2－1的圆周运动中，感受……
(1)小球做圆周运动时，你牵绳的手感觉到 。
(2)如果突然松手，将会发生的现象是 。
(3)在小球质量m和旋转半径r不变的条件下，角速度ω越大，手的拉力 ；
(4在小球质量m和角速度ω不变的条件下，旋转半径r越大，手的拉力 ；
(5)在旋转半径r和角速度ω不变的条件下，小球质量m越大，手的拉力 ；
答案：(1)受到绳的拉力；(2)球沿切线飞出去；(3)越大；(4)越大；(5)越大。
重点归纳
1. 向心力公式：F＝ma＝m＝mω2r＝mr
2．向心力的性质
(1)向心力是效果力．
向心力因其方向时刻指向圆心而得名，故它为效果力．向心力的作用效果是只改变速度的方向而不改变速度的大小．它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不分析向心力．
(2)向心力是变力．
向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力是变力．
3. 向心力的来源
(1)在匀速圆周运动中，合外力一定是向心力；非匀速圆周运动中，合外力沿半径方向的分力提供向心力．
(2)向心力是按力的作用效果来命名的，充当向心力的力可以是重力、弹力和摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力．
4．向心力与质量、角速度、线速度和半径的关系
(1)当质量和角速度一定时，向心力与半径成正比．
(2)当质量和线速度一定时，向心力与半径成反比．
(3)当质量和半径一定时，向心力与角速度(或线速度)的二次方成正比．
(4)当角速度(或线速度)和半径一定时，向心力与质量成正比．
【例1】两个质量分别是m1和m2的光滑小球套在光滑水平杆上，用长为L的细线连接，水平杆随框架以角速度ω做匀速转动，两球在杆上相对静止，如图2－2－2所示．求两球离转动中心的距离R1和R2及细线的拉力．
图2－2－2
解：绳对m1和m2的拉力是它们做圆周运动的向心力，根据题意得
R1＋R2＝L，R2＝L－R1
对m1有F＝m1ω2R1
对m2有F＝m2ω2R2＝m2ω2(L－R1)
所以m1ω2R1＝m2ω2(L－R1)
解得R1＝，R2＝
F＝.

知识点2： 向心加速度的理解
新知探究
问题1：什么是匀速圆周运动?“匀速”的含义是什么？
问题2：物体所受的外力有何特点？加速度又怎样呢？
探究1：变速曲线运动 → 运动状态改变 → 一定受到外力 → 一定存在加速度
探究2：由牛顿第二定律知F=ma，a与F方向一致，物体做匀速圆周运动时，有指向圆心的向心力，所以匀速圆周运动物体的加速度方向指向 ；又由F＝ma＝mω2r这个加速度的大小是
答案：圆心、ω2r
重点归纳
1．向心加速度的定义：做匀速圆周运动的物体具有沿半径指向圆心的加速度，叫做向心加速度．
2．向心加速度的方向：时刻与物体的速度方向垂直且指向圆心．
3．向心加速度的大小：a＝＝ω2r＝r＝4π2f2r＝ωv.
4．向心加速度与角速度、线速度和半径的关系
(1)当线速度大小一定时，向心加速度与轨道半径成反比．
(2)当角速度一定时，向心加速度与轨道半径成正比．
(3)当半径一定时，向心加速度与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．
5．向心加速度的实质：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，其方向时刻发生变化，且总是沿着轨迹半径指向圆心的方向，所以匀速圆周运动是变加速运动．
【例2】如图2－2－4所示为一皮带传动装置，传动时不打滑，O1轮的半径为O2轮半径的两倍，O1轮缘和O2轮缘上分别有B点和C点，在O1轮上有一点A，且O1A＝O1B，在匀速传动过程中A、B、C三点的向心加速度分别为aA、aB、aC，则(　B　)
图2－2－4
A．aA∶aB∶aC＝1∶2∶1 B．aA∶aB∶aC＝1∶2∶4
C．aA∶aB∶aC＝2∶1∶2 D．aA∶aB∶aC＝1∶2∶2
解析：设A、B、C三点的线速度、角速度和半径分别为vA、vB、vC，ωA、ωB、ωC，rA、rB、rC.
则ωA＝ωB，vB＝vC，rA＝rC＝
由a＝＝ω2r得
当ω一定时，有a∝r，即aA∶aB＝1∶2
当v一定时，有a∝，即aB∶aC＝1∶2
故aA∶aB∶aC＝1∶2∶4.
答案：B
触类旁通
1．关于质点的匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．由可知，a与r成反比
B．由可知，a与r成正比
C．由可知，ω与r成反比，v与r成正比
D．由可知，ω与T成反比
解析：由 ，当v一定时， a与r成反比，当ω一定时，v与r成正比，所以A、B错误。对于v=ωr,当v一定时，ω与r成反比，ω一定时，v与r成正比。
答案：D
点评：本题考察学生对匀速圆周运动向心加速度表达式的全面理解应用。
知识点3：生活中的向心力
新知探究
探究1：汽车转弯
图2－2－5
(1)汽车在水平路面上转弯:向心力的来源是
(2)汽车在倾斜路面上转弯:向心力的来源是
探究2：火车转弯
火车在水平轨道上转弯：向心力的来源是
(2)火车在倾斜轨道上转弯：向心力的来源是
图2－2－6
探究3：汽车过弧形桥
图2－2－7
汽车通过桥的最高点时，向心力的来源是 。
答案：1.(1)地面对车产生指向内侧的静摩擦力；(2)重力与支持力的合力。2.(1)外轨作用在火车轮缘上的力F；(2)重力与支持力的合力。3.重力与支持力的合力。
重点归纳
向心力的来源：向心力可以是某一个力（重力、弹力、摩擦力）或几个力的合力，也可以是某个力的分力。向心力是按力的作用效果来命名的，受力分析时,不能多出一个向心力。
【例3】有一辆质量为1.2t的小汽车驶上半径为50m的圆弧形拱桥，如图2－2－8所示．求：
(1)汽车到达桥顶的速度为10 m/s时对桥的压力有多大？
(2)汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？
(3)设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度要多大？(重力加速度g取10 m/s2，地球半径R取6.4×106 m)
图2－2－8
解：(1)设汽车受到的支持力为FN，根据牛顿第二定律有
mg－FN＝m
代入数据解得FN＝mg－m＝9.6×103 N
根据牛顿第三定律，可得汽车对桥的压力
F′N＝FN＝9.6×103 N.
(2)对桥没有压力，即FN＝FN′＝0时，根据牛顿第二定律有
mg＝m
代入数据解得v2＝＝10  m/s(或22.4 m/s)．
(3)当r＝R时，根据牛顿第二定律有
mg＝m
代入数据解得v3＝＝8×103 m/s.
触类旁通
2．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？(取g＝10 m/s2)
解：(1)v＝108 km/h＝30 m/s
由静摩擦力提供向心力得
f＝μN＝μmg＝m
解得R＝＝ m＝150 m
即弯道的最小半径为150 m.
(2)当仅由重力提供向心力时
mg＝m
解得R′＝＝ m＝90 m
即这个圆弧拱桥的半径至少是90 m.
方法技巧易错易混实验透视
方法技巧
解决圆周运动问题的主要步骤：
(1)审清题意，确定研究对象；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等．
(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；
(4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程；
(5)求解、讨论．
【例4】高速公路转弯处，其弯道半径R为100 m，若路面向着圆心处是倾斜的，要求汽车在该处转弯时沿倾斜路面没有上、下滑动的趋势，在车速v＝15 m/s的情况下，路面的倾角应多大？(g取10 N/kg)
解：由于汽车在转弯时沿倾斜路面没有上、下滑动的趋势．所以路面的支持力和重力的合力提供向心力，受力分析如答图2－2－2所示，
答图2－2－2
由牛顿第二定律：
mgtan θ＝m
即tan θ＝
将R＝100 m，v＝15 m/s，g＝10 m/s2代入，求得θ＝13°.
触类旁通
3．长度为L＝1.0 m的绳，系一个小球在竖直面内做圆周运动，小球的质量为m＝5 kg，小球半径不计，小球在通过最低点时的速度大小为v＝20 m/s，试求：
(1)小球在最低点时所受到绳的拉力；
(2)小球在最低点时的向心加速度．(g取9.8 m/s2)
解：(1)根据题意，在最低点时有T－mg＝m
推导可得T＝mg＋m＝2049N
(2)根据向心加速度公式得a＝＝400m/s2.
随堂练习
一、单项选择题
1．关于向心加速度，以下说法正确的是( C )
A．它描述了角速度变化的快慢
B．它描述了线速度大小变化的快慢
C．它描述了线速度方向变化的快慢
D．公式a＝只适用于匀速圆周运动
解析：由于向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，选项C正确；公式a＝不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动，选项D错误．
2．关于向心力的公式F＝mω2r和F＝，下列说法正确的是( C )
A．对于一个做匀速圆周运动的物体，线速度越大，向心力越大
B．向心力公式只适用于匀速圆周运动
C．由F＝mω2·r，可知当m、r一定时，ω越大，向心力越大
D．由于向心力是物体所受到的合外力，因此F与m、ω、r均无关
解析：由F＝mω2r＝m，可知选项C对，A错；不管做匀速圆周运动还是变速圆周运动，F＝mω2r＝m均可适用，选项B错；向心力由物体所受的合外力提供，物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力，物体做变速圆周运动时，向心力为所受合外力指向圆心方向的分力，且向心力F与m、ω、r均有关，选项D错．
3．如图2－2－9所示，小篮中放一小物块，用细绳挂于O点，现让物块随小篮一起绕O点在竖直平面内做圆周运动，设线的拉力为F，物块对篮底的压力为FN，小篮行至最高点时，物块恰好不掉落，则下列说法正确的是( C )
图2－2－9
A．此时F≠0，FN＝0
B．此时F＝0，FN≠0
C．此时F＝0，FN＝0
D．此时F≠0，FN≠0
解析：由题意可知物块恰好不掉下来，v＝，由FN′＋mg＝，F＋Mg＝M，可知 FN′＝0，F＝0，由牛顿第三定律可知选项C对．
二、双项选择题
4．关于做匀速圆周运动的物体所受的合外力，下列说法正确的是( AD )
A．合外力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合外力的大小和方向时刻改变
C．合外力的作用效果既改变速度的大小，又改变速度的方向
D．合外力的作用效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
解析：做匀速圆周运动的物体所受的合外力提供向心力，因此大小不变，方向总是指向圆心，且只改变速度的方向，不改变速度大小，故选项A、D正确．
5．小球的质量为m，绕半径为R的圆周轨道做匀速圆周运动，向心加速度为a，则下列的说法正确的是( AC )
A．小球受到的合外力大小为ma
B．小球的角速度为ω＝
C．小球的线速度大小为v＝
D．小球运动的周期为T＝2π
解析：匀速圆周运动的加速度大小为向心加速度，故F合＝ma，选项A对；由a＝，a＝ω2R及a＝（2π/T）2R，可得选项C对，B、D错．
6．在光滑的水平面上，长为L的细线拴一质量为m的小球，以线速度v做匀速圆周运动，下列说法正确的是( AC )
A．当L、v不变时，m越大，线越容易拉断
B．当m、v不变时，L越长，线越容易拉断
C．当m、L不变时，v越大，线越容易拉断
D．当m不变时，v增大1倍，L减半，线的拉力不变
解析：由F＝，可知选项A、C正确．