2.2向心力 习题 （ 含答案解析 ）

2.2 向心力 作业
1．图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线．由图象可以知道(　　)
A．甲球运动时，线速度的大小保持不变
B．甲球运动时，角速度的大小保持不变
C．乙球运动时，线速度的大小保持不变
D．乙球运动时，角速度的大小保持不变
解析：对于甲球：a∝，而a＝，说明甲球线速度的大小保持不变；对于乙球：a∝r，而a＝ω2r，说明乙球角速度的大小保持不变．答案：AD
2．如图所示，将完全相同的两个小球A、B用长为L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右运动的小车顶部，两小球与小车前后竖直壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比FB∶FA为(g＝10 m/s2)(　　)
A．1∶1　　　　　　　B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：当车突然停下时，B不动，绳对B的拉力仍等于小球的重力；A向右摆动做圆周运动，则突然停止时，A球所处的位置为圆周运动的最低点，由此可以算出此时绳对A的拉力为FA＝mg＋m＝3mg，所以FB∶FA＝1∶3，C正确．
3．如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，杆随转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ是(　　)
A．sinθ＝ B．tanθ＝
C．sinθ＝ D．tanθ＝
解析：对小球分析受力，杆对球的作用力和小球重力的合力一定沿杆指向O，合力大小为mLω2，画出m受力的矢量图．由图中几何关系
可得sinθ＝，选项A正确．
4．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧要高一些，路面与水平面间的夹角为θ，设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于0，θ应等于(　　)
A．arcsin B．arctan
C.arcsin D．arccot
解析：如图所示，要使摩擦力为零，必使汽车所受重力与路面对它的支持力的合力提供向心力，则有m＝mgtanθ，所以θ＝arctan，B正确．
5．如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正方体物块，B、C处物块的质量相等且为m，A处物块的质量为2m，点A、B与轴O的距离相等且为r，点C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是(　　)
A．C处物块的向心加速度最大
B．A处物块受到的静摩擦力最小
C．当转速继续增大时，最后滑动起来的是A处的物块
D．当转速增大时，最先滑动起来的是C处的物块
解析：物块的向心加速度a＝ω2r，C处物块的轨道半径最大，向心加速度最大，A正确；物块受到的静摩擦力Ff＝mω2r，所以有FfA＝FfC＝2FfB，B错误；当转速增大时最先滑动的是C，A、B同时滑动，C错误，D正确．答案：AD
6．某机器内有两个围绕各自的固定轴匀速转动的铝盘A、B，A盘上有一个信号发射装置P，能发射水平红外线，P到圆心的距离为28 cm.B盘上有一个带窗口的红外线信号接受装置Q，Q到圆心的距离为16 cm.P、Q转动的线速度相同，都是4π m/s.当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，如图所示，则Q接收到的红外线信号的周期是(　　)
A．0.07 s
B．0.16 s
C．0.28 s
D．0.56 s
解析：P的周期TP＝＝0.14 s，Q的周期TQ＝＝0.08 s，因为经历的时间必须等于它们周期的整数倍，根据数学知识，0.14和0.08的最小公倍数为0.56，所以经历的时间最小为0.56 s．故A、B、C错误，D正确．
7．10只相同的轮子并排水平排列，圆心分别为O1、O2、O3…O10，已知O1O10＝3.6 m，水平转轴通过圆心，轮子均绕轴以n＝r/s的转速顺时针转动．现将一根长L＝0.8 m、质量为m＝2.0 kg的匀质木板平放在这些轮子的左端，木板左端恰好与O1竖直对齐(如图所示)，木板与轮缘间的动摩擦因数为μ＝0.16.则木板保持水平状态运动的总时间为(　　)
A．1.5s B．2 s
C．3 s D．2.5 s
解析：轮子的半径r＝＝0.2 m，角速度ω＝2πn＝8 rad/ s．边缘线速度与木板运动的最大速度相等，v＝ωr＝1.6 m/s，木板加速运动的时间和位移分别为t1＝＝1 s，x1＝＝0.8 m．匀速运动的位移x2＝O1O10－－x1＝2.4 m，匀速运动的时间t2＝＝1.5 s，则木板保持水平状态运动的总时间t＝t1＋t2＝2.5 s.答案：D
8．如图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚要发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是(　　)
A．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中
B．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中
C．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中
D．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中
解析：在松手前，甲、乙两小孩做圆周运动的向心力均由静摩擦力及拉力的合力提供，且静摩擦力均达到了最大静摩擦力．因为这两个小孩在同一个圆盘上转动，故角速度ω相同，设此时手中的拉力为FT，则对甲：Ffm－FT＝mω2R甲，对乙：FT＋Ffm＝mω2R乙．当松手时，FT＝0，乙所受的最大静摩擦力小于所需要的向心力，故乙做离心运动，然后落入水中．甲所受的静摩擦力变小，直至与它所需要的向心力相等，故甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，选项D正确．
9．如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向．在圆心O正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容器，从t＝0时刻开始随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为v.已知容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水．求：
(1)每一滴水经多长时间滴落到盘面上？
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直径上，圆盘转动的角速度ω应为多大？
(3)第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的最大距离x.
解析：(1)水滴在竖直方向的分运动为自由落体运动，有h＝gt2，得t1＝ .
(2)分析题意可知，在相邻两滴水的下落时间内，圆盘转过的角度应为nπ，所以角速度为ω＝＝nπ 　(n＝1,2,3…)．
(3)第二滴水落在圆盘上的水平位移为x2＝v·2t1＝2v ，
第三滴水落在圆盘上的水平位移为x3＝v·3t1＝3v .
当第二与第三滴水在盘面上的落点位于同一直径上圆心两侧时，两点间的距离最大，则x＝x2＋x3＝5v .
答案：(1) 　(2)nπ (n＝1,2,3…)　(3)5v 
10．如图，圆形玻璃平板半径为R，离水平地面的高度为h，可绕圆心O在水平面内自由转动，一质量为m的小木块放置在玻璃板的边缘．玻璃板匀速转动使木块随之做匀速圆周运动．
(1)若已知玻璃板匀速转动的周期为T，求木块所受摩擦力的大小．
(2)缓慢增大转速，木块随玻璃板缓慢加速，直到从玻璃板滑出．已知木块脱离时沿玻璃板边缘的切线方向水平飞出，落地点与通过圆心O的竖直线间的距离为s.木块抛出的初速度可认为等于木块做匀速圆周运动即将滑离玻璃板时的线速度，滑动摩擦力可认为等于最大静摩擦力，试求木块与玻璃板间的动摩擦因数μ.
解析：(1)木块所受摩擦力等于木块做匀速圆周运动的向心力f＝m2R
(2)木块做匀速圆周运动即将滑离玻璃板时，静摩擦力达到最大，有
fm＝μmg＝m
木块脱离玻璃板后在竖直方向上做自由落体运动，有h＝gt2
在水平方向上做匀速运动，水平位移x＝vmt
x与距离s、半径R的关系如图所示．
由图可得s2＝R2＋x2
由以上各式解得木块与玻璃板间的动摩擦因数μ＝.
答案：(1)m2R　(2)
11．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g.
(1)若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
(2)若ω＝(1±k)ω0，且0＜k＜1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．
解析：(1)对小物块受力分析如图所示，由于小物块在竖直方向上没有加速度，只在水平面上以O1为圆心做圆周运动，FN的水平分力F1提供向心力．所以有F2＝FNcosθ＝mg，
F1＝FNsinθ＝mrω，
r＝Rsinθ
由以上各式联立解得ω0＝ .
(2) ①当ω＝(1＋k)ω0时，由向心力公式Fn＝mrω2知，ω越大，所需要的Fn越大，此时F1不足以提供向心力了，物块要做离心运动，但由于受摩擦阻力的作用，物块不至于沿罐壁向上运动．故摩擦力的方向沿罐壁向下，如图所示．对f进行分解，此时向心力由FN的水平分力F1和f的水平分力f1的合力提供F2＝f2＋mg，
Fn＝F1＋f1＝mrω2
再利用几何关系，并将数据代入得f＝mg.
②当ω＝(1－k)ω0时，由向心力公式Fn＝mrω2知，ω越小，所需要的Fn越小，此时F1超过所需要的向心力了，物块要做向心运动，但由于受摩擦阻力的作用，物块不至于沿罐壁向下运动．故摩擦力的方向沿罐壁向上，如图所示．
对f进行分解，此时向心力由FN的水平分力F1和f的水平分力f1的合力提供F2＝f2＋mg，
Fn＝F1－f1＝mrω2
再利用几何关系，并将数据代入得f＝mg.
答案：(1) 　(2)当ω＝(1＋k)ω0时，f＝mg；当ω＝(1－k)ω0时，f＝mg
12．如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中心轴匀速转动，圆盘的倾角为37°，在距转动中心r＝0.1 m处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为μ＝0.8，木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同．若要保持小木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值为(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(　　)
A．8 rad/s
B．2 rad/s
C. rad/s
D.rad/s
解析：木块与圆盘的最大静摩擦力出现在最低点，此时最大静摩擦力指向圆心，最大静摩擦力与重力沿圆盘的分力的合力提供木块做圆周运动的向心力，即μmgcosθ－mgsinθ＝mrω2，解得最大角速度为ω＝2 rad/s，选项B正确．