3.2万有引力定律的应用 习题 （含答案）

3.2万有引力定律的应用
作业
1．已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G为已知)(　　)
A．月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1
B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C．人造卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3
D．地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4
解析　根据求解中心天体质量的方法，如果知道绕中心天体运动的行星(卫星)的运动的某些量便可求解，方法是利用万有引力提供向心力，则可由G＝mrω2＝m＝mvω＝mv等分析．如果知道中心天体表面的重力加速度，则可由M＝分析．答案　AC
2．甲、乙两星球的平均密度相等，半径之比是R甲?R乙＝4?1，则同一物体在这两个星球表面受到的重力之比是(　　)
A．1:1
B．4:1
C．1:16
D．1:64
解析　由黄金代换式g＝可得g甲∶g乙＝M甲·R∶M乙·R，而M＝ρ·πR3.可以推得mg甲∶mg乙＝g甲∶g乙＝R甲∶R乙＝4∶1.故B选项正确．
3．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　在地球两极重力等于万有引力，即有mg0＝G＝πρmGR，在赤道上重力等于万有引力与向心力的差值，即mg＋mR＝G＝πρmGR，联立解得：ρ＝，B项正确．
4．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)．
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
解析　各小行星距太阳远近不同，质量各异，太阳对小行星的引力F引＝，A错；地球绕日的轨道半径小于小行星绕日的轨道半径，由＝mr得T＝2π
，显然轨道半径r越大，绕日周期T也越大，地球绕日周期T地＝1年，所以小行星绕日周期大于1年，B错；由＝ma，a＝，可见，内侧小行星向心加速度大于外侧小行星向心加速度，选项C正确；由＝m，v＝
，小行星轨道半径r小大于地球绕日轨道半径r地，v地>v小，选项D错．答案　C
5．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球质量是地球质量的(　　)
A．4倍
B．8倍
C．16倍
D．64倍
解析　由g＝＝＝GρπR，可知g∝R，即该星球半径是地球半径的4倍，由M＝ρ·πR3可知该星球的质量是地球质量的64倍．答案　D
6．甲是在地球表面附近运行的近地卫星，乙是地球的同步卫星，已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为T，乙运行高度为h，甲、乙的轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是(　　)
A．甲的线速度为，乙的线速度为
B．甲、乙的向心加速度均为零
C．甲、乙均处于完全失重状态
D．甲、乙的运动周期均为T
解析　卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力是由万有引力提供的，即＝，在地球表面运行的近地卫星r＝R，地球表面的重力加速度g＝，由以上各式得近地卫星的线速度v＝，地球同步卫星的运行轨道半径r＝h＋R，同步轨道处的重力加速度g′＝，所以乙的线速度为
，选项A错误；甲、乙均做匀速圆周运动，重力加速度为向心加速度，甲、乙均处于完全失重状态，选项B错误，选项C正确；地球近地卫星的周期小于T，故选项D错误．答案　C
7．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量和地球质量之比为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　无论地球绕太阳公转，还是月球、地球运转，统一的公式为＝m，即M＝，所以＝.答案　A
8．要计算地球的质量，除已知的一些常数外还须知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有(　　)
A．已知地球半径R
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
D．地球公转的周期T′及运转半径r′
解析　设有相对地面静止的某一物体质量为m，地球的质量为M，根据地面上的物体所受万有引力和重力近似相等的关系得G＝mg，解得M＝，
所以选项A是正确的．
设卫星的质量为m，根据万有引力提供卫星运转的向心力，可得
＝m·，解得M＝，所以选项B正确．
再根据T＝，得M＝＝＝，所以选项C正确．
若已知地球公转的周期T′及运转半径r′，只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，所以D项错误．答案　ABC
9．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日，4月9日火星冲日，5月11日土星冲日，8月29日海王星冲日，10月8日天王星冲日．已知地球及各外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是(　　)
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径(AU)
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A.各外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
解析　设某行星相邻两次冲日的时间间隔为t，地球绕太阳运动的周期为T，某行星绕太阳运动的周期为T行，则t－t＝2π，可得t＝；而根据开普勒定律可得＝，联立可得t＝，代入相关数据可得t火＝≈2.195T，t木＝≈1.092T，t土＝≈1.035T，t天＝≈1.012T，t海＝≈1.006T.根据上述数据可知，各外行星并不是每年都会出现冲日现象，选项A错误；木星在2014年1月6日出现了木星冲日现象，再经1.092T将再次出现木星冲日现象，所以在2015年内一定会出现木星冲日，选项B正确；根据上述数据，天王星相邻两次冲日的时间间隔不是土星的一半，选项C错误；根据上述数据可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，选项D正确．答案　BD
10．宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M.
解析　设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则x2＋h2＝L2①
同理对于第二次平抛过程有(2x)2＋h2＝(L)2②
由①②解得h＝
.
设该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得h＝gt2③
由万有引力定律与牛顿第二定律得G＝mg④
由以上各式可解得M＝.
11．太阳光经过500
s到达地球，地球的半径为6.4×106
m，试估算太阳质量与地球质量的比值．(取一位有效数字)
解析　太阳到地球的距离为r＝ct＝3.0×108×500
m＝1.5×1011
m．地球绕太阳的运动可看成是匀速圆周运动，向心力为太阳对地球的引力，地球绕太阳的公转周期约为T＝365×24×3
600
s＝3.2×107s，则G＝mr，
太阳的质量为M＝.
地球表面的重力加速度为g＝9.8m/s2，在忽略地球自转的情况下，物体在地球表面所受的重力等于地球对物体的引力，即m′g＝G，则地球的质量为m＝.太阳质量和地球质量的比值为
＝＝＝3×105.
答案　3×105
12．万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0.
①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值F1/F0的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；
②若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值F2/F0的表达式．
(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？
解析　(1)设小物体质量为m.
①在北极地面G＝F0，
在北极上空高出地面h处G＝F1，得＝，
当h＝1.0%R时，＝＝0.98.
②在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有G－F2＝mR，得＝1－.
(3)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力．设太阳质量为MS，地球质量为M，地球公转周期为TE，有G＝Mr，
得TE＝＝，
其中ρ为太阳的密度．
由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关．因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同．
答案　(1)①＝　0.98　②＝1－
(2)与现实地球的1年时间相同