3.2万有引力定律的应用 习题（含答案解析 ）3

3.2
万有引力定律的应用
作业
1．2013年12月14日21时许，嫦娥三号携带“玉兔”探测车在月球虹湾成功软着陆，在实施软着陆过程中，嫦娥三号离月球表面4
m高时最后一次悬停，确认着陆点．若总质量为M的嫦娥三号在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F，已知引力常量为G，月球半径为R，则月球的质量为(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
解析：设月球的质量为M′，由＝Mg和F＝Mg
解得M′＝，选项A正确．
2．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)
A．1－　　　　　　　　
B．1＋
C.2
D.2
解析：如图所示，根据题意“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”，可知：地面处的球壳对地面与矿井底部之间的环形部分的引力为零，设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，由地球表面的物体m1受到的重力近似等于万有引力，故m1g＝G，再将矿井底部所在的球体抽取出来，设矿井底部处的重力加速度为g′，该球体质量为M′，半径r＝R－d，同理可得矿井底部处的物体m2受到的重力m2g′＝G，且由M＝ρV＝ρ·πR3，M′＝ρV′＝ρ·π(R－d)3，联立解得＝1－，A对．
3．太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速度约为地球公转速度的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍，为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量，则银河系中恒星数目约为(　　)
A．109
B．1011
C．1013
D．1015
解析：由＝得M＝，已知r太＝2×109r地，v太＝7v地，则M银＝0.98×1011M太，即选项B正确．
4．我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，将法国泰雷兹阿莱尼亚宇航公司制造的亚太7号通信卫星成功送入预定轨道．亚太7号卫星将接替在轨运行的亚太2R卫星，定点于东经76.5度赤道上空，可为亚洲、中东、非洲、澳大利亚、欧洲等提供电视传输和卫星通信服务，并为中国、中东、中亚、非洲等提供电视直播和跨洲际通信广播服务．则下列有关亚太2R卫星与亚太7号通信卫星的说法正确的是(　　)
A．相对于地面静止，轨道半径为确定值
B．亚太2R卫星被替代后，如果要想返回地球必须对其进行加速
C．角速度小于静止在地球赤道上物体的角速度
D．向心加速度大于静止在地球赤道上物体的向心加速度
答案：AD
5．2011年9月29日，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号F运载火箭将天宫一号目标飞行器发射升空.2013年，神舟十号飞船发射升空，在太空中与天宫一号交会对接，使我国成为世界上第三个掌握空间交会对接技术的国家．关于飞船与天宫一号对接问题，下列说法正确的是(　　)
A．先让飞船与天宫一号在同一轨道上，然后让飞船加速，即可实现对接
B．先让飞船与天宫一号在同一轨道上，然后让飞船减速，即可实现对接
C．先让飞船进入较低的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接
D．先让飞船进入较高的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接
解析：若飞船与天宫一号在同一轨道上，飞船加速时将做离心运动，从而脱离原来轨道，无法实现对接；先让飞船进入较低的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接．答案：C
6．随着世界航空事业的发展，深太空探测已逐渐成为各国关注的热点．假设深太空中有一颗外星球，质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的，则下列判断正确的是(　　)
A．该外星球的同步卫星周期一定小于地球同步卫星周期
B．某物体在该外星球表面上所受重力是它在地球表面上所受重力的8倍
C．该外星球上第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的2倍
D．绕该外星球的人造卫星和以相同轨道半径绕地球的人造卫星运行速度相同
解析：据题意，由于不知道该星球的自传周期，所以不知道它的同步卫星周期，A选项错误；据星球质量是地球质量的2倍，即M′＝2M，星球半径是地球半径的，即R′＝R，有：g＝得g′＝8g，所以在星球表面的重力是地球表面的8倍，B选项是正确；据v＝
可知，星球第一宇宙速度是地球的2倍，C选项正确；据v＝
可知，轨道半径相同时，星球人造卫星的速度是地球的倍，所以D选项错误．答案：BC
7．通常我们把太阳系中行星自转一周的时间称为“1天”，绕太阳公转一周的时间称为“1年”．与地球相比较，金星“1天”的时间约是地球“1天”时间的243倍．由此可知(　　)
A．金星的半径约是地球半径的243倍
B．金星的质量约是地球质量的243倍
C．地球的自转角速度约是金星自转角速度的243倍
D．地球表面的重力加速度约是金星表面重力加速度的243倍
解析：行星自转周期“1天”T＝，与行星半径、质量等无关，由此可知C正确．
8．
2013年12月2日1时30分，由月球车(如图甲)和着陆器组成的嫦娥三号月球探测器从西昌卫星发射中心升空，飞行约18
min后，嫦娥三号进入如图乙所示的地月转移轨道AB，A为入口点，B为出口点．嫦娥三号在B点经过近月制动，进入距离月面100公里的环月圆轨道，然后择机在月球虹湾地区实现软着陆，展开月面巡视勘察．已知月球和地球的质量之比约为，图乙中环月圆轨道的半径与地球半径之比约为，地球的第一宇宙速度约为7.9
km/s，下列说法正确的是(　　)
甲
　
乙
A．嫦娥三号进入地月转移轨道前，在近地圆轨道运行的速度大于7.9
km/s
B．嫦娥三号在图乙中环月圆轨道上做匀速圆周运动的线速度约为1.8
km/s
C．携带月球车的着陆器在月球上着陆过程中一定处于失重状态
D．由于月球表面重力加速度较小，故月球车在月球上执行巡视探测任务时处于失重状态
解析：嫦娥三号在近地圆轨道上运行时速度小于或等于7.9
km/s，A项错误；嫦娥三号在图乙中环月圆轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得，G＝m，解得，v＝＝×7.9
km/s
≈1.8
km/s，B项正确；月球车着陆过程中减速下降，处于超重状态，C项错误；月球车在月球上所受重力小于在地球上所受的重力，这与是否失重无关，D项错误．答案：B
9．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆．天文学家哈雷曾经在1662年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会再次出现．这颗彗星最近出现的时间是1986年，它下次飞近地球大约是哪一年(　　)
A．2042年　　　　　　
B．2052年
C．2062年
D．2072年
解析：根据开普勒第三定律有＝＝18＝76.4，又T地＝1年，所以T彗≈76年，彗星下次飞近地球的大致年份是1986＋76＝2062年，本题答案为C.
10．如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近．已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω.万有引力常量为G，则(　　)
A．发射卫星b时速度要大于11.2
km/s
B．卫星a的机械能大于卫星b的机械能
C．卫星a和b下一次相距最近还需经过t＝
D．若要卫星c与b实现对接，可让卫星c加速
解析：卫星b的发射速度小于11.2
km/s(第二宇宙速度)，A错误；质量相同的卫星，发射的高度越高，需要的发射速度越大，机械能也越大，B错误；若卫星c加速，它将脱离原来的轨道做离心运动，不能与b对接，D错误；设卫星a和b再次相遇所用的时间为t，则有ωat－ωbt＝2π，且ωb＝ω，ωa＝
，整理可得，t＝，C正确．
11．如图所示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0，周期为T0.
(1)中央恒星O的质量是多大？
(2)长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且周期性的每隔t0时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B(假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同)，它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离．根据上述现象和假设，试估算未知行星B的运动周期和轨道半径．
解析：(1)设中央恒星O的质量为M，A行星质量为m，则由万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝mR0　①解得M＝　
②
(2)由题意可知，A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔t0时间相距最近．设B行星周期为TB，则有：－＝1　③解得TB＝　④
设B行星的质量为mB，运动的轨道半径为RB，则有
G＝mBRB　⑤
由①④⑤得：RB＝R0·　⑥
答案：(1)　(2)　
R0·
12．宇航员驾驶宇宙飞船到达月球表面，关闭动力，飞船在近月圆形轨道绕月运行的周期为T；接着，宇航员调整飞船动力，安全着陆，宇航员在月球表面离地某一高度处将一小球以初速度v0水平抛出，其水平射程为s.已知月球的半径为R，万有引力常量为G，求：
(1)月球的质量M；
(2)小球开始抛出时离地的高度；
(3)小球落地时重力的瞬时功率．
解析：(1)飞船绕月近月面运行，月球对飞船的万有引力提供向心力，
有：G＝mR2，解得月球的质量M＝.
(2)小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，有：s＝v0t，
竖直方向做自由落体运动，有：h＝gt2，
在月球表面，小球受到月球的万有引力近似等于重力，G＝mR2＝mg
联立解得小球开始抛出时离地的高度：h＝；
(3)小球落地时速度的竖直分量：v⊥＝gt＝，
重力的瞬时功率：P＝mgv⊥＝m·＝.
答案：(1)　(2)
(3)
13．地球赤道上有一物体随地球自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则(　　)
A．F1＝F2>F3
B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3
D．ω1＝ω3<ω2
解析：地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v＝ωr和a＝ω2r可知，v1，a＝G，ω＝
，可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v2＞v3，a2＞a3，ω2＞ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v2＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a2＝g；所以v＝v2＞v3＞v1，g＝a2＞a3＞a1，ω2＞ω3＝ω1，又因为F＝ma，所以F2＞F3＞F1；可见，选项A、B、C错误，D正确．本题答案为D.