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2025秋北师版九上数学单元目标检测
第一章 特殊平行四边形
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．下列说法正确的是(C)
A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角互补
C．矩形的四个内角都是直角 D．菱形的对角线相等
2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝6，BC＝8，则OA的长为(C)
A．3 B．4 C．5 D．7
3．如图，在正方形ABCD中，延长DC至点E，使DE＝DB，连接BE，则∠CBE的度数为(C)
A．10° B．20° C．22.5° D．30°
4．如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为(C)
A．20° B．60° C．70° D．80°
5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD＝CD，DE⊥AC于点E，若AC＝6，则BE的长为(C)
A．4 B．3.6 C．3 D．2.4
6．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不正确的是(D)
A.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
B．当∠BAO＝∠DAO时，四边形ABCD是菱形
C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形
D．当AB＝AC时，四边形ABCD是菱形
7．如图①，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，测得对角线BD＝10 cm，将正方形学具变形为菱形(如图②)，且∠ABC＝60°，则图②中的对角线BD的长为(B)
A．10 cm B．10 cm C．20 cm D．10 cm
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，且AE＝3CE，则BD的长为(D)
A．3 cm B．6 cm C．6 cm D．12 cm
9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别为边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为(C)
A．45° B．50° C．55° D．60°
10．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论：①∠FGD＝112.5°；②S△AGD＝S△OGD；③四边形AEFG是菱形．其中正确的结论有(C)
A．① B．①② C．①③ D．①②③
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝4，将线段AD水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形EBCF为菱形，则a的值为__2__．
12．如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点A，B的坐标分别为(3，9)，(12，9)，则顶点C的坐标为__(15，3)__．
13．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为__2__．
14．如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为72 cm2，则菱形ABCD的边长为__2__cm.
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为BC边上的一点，将△CDE沿DE翻折，使得点C恰好落在AB边上的点F处，则BE＝__3__；若P，Q分别为DE，CD上的动点，则PC＋PQ的最小值为__8__．
【解析】∵∠A＝90°，AD＝BC＝8，DF＝CD＝AB＝10，∴AF＝＝6，∴BF＝AB－AF＝4.又∵在Rt△BEF中，BE2＋BF2＝EF2＝CE2＝(BC－BE)2，∴BE2＋42＝(8－BE)2，解得BE＝3；如图，连接FP，FQ，过点F作FQ′⊥CD于点Q′，则由翻折的性质可得PC＝PF，∴PC＋PQ＝PF＋PQ≥FQ≥FQ′＝AD＝8.
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．(8分)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，连接BF，DE.求证：BF＝DE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.又∵E，F分别是AB，AD的中点，∴AE＝AB，AF＝AD，∴AE＝AF.又∵∠BAF＝∠DAE，∴△BAF≌△DAE(SAS)，∴BF＝DE
17．(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F.求证：BE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD.又∵AE⊥BD，BF⊥AC，∴∠AEO＝∠BFO＝90°.又∵∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF(AAS)，∴OE＝OF，∴OB＋OE＝OA＋OF，即BE＝AF
18．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC的中点，AD＝BC.过点D作DE⊥AC且DE＝CD，连接BE.求证：四边形BCDE是正方形．
证明：∵D为AC的中点，∴AD＝CD.又∵AD＝BC，DE＝CD，∴BC＝CD＝DE.又∵∠C＝90°，DE⊥AC，∴∠ADE＝90°＝∠C，∴DE∥CB，∴四边形BCDE是平行四边形．又∵∠C＝90°，∴ BCDE是矩形．又∵BC＝CD，∴矩形BCDE是正方形
19．(9分)如图，已知△ABC.
(1)请用无刻度的直尺和圆规分别在AB，BC，AC边上取点D，E，F，使得四边形ADEF是菱形(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若AD＝13，AE＝24，求菱形ADEF的面积．
解：(1)点D，E，F的位置如图所示
(2)设AE，DF交于点O.∵由(1)知四边形ADEF是菱形，∴AE⊥DF，OA＝AE＝×24＝12，DF＝2OD，∴OD＝＝＝5，∴DF＝2OD＝10，∴S菱形ADEF＝AE·DF＝×24×10＝120
20．(10分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AE＝AF.
(1)求证：CE＝CF；
(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点G，使OG＝OA，连接EG，FG，四边形AEGF是什么特殊四边形？请证明你的结论．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝90°.在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE＝DF，∴BC－BE＝CD－DF，即CE＝CF
(2)四边形AEGF是菱形．证明：∵AE＝AF，由(1)知CE＝CF，∴AC垂直平分线段EF，∴AC⊥EF，OE＝OF.又∵OA＝OG，∴四边形AEGF是平行四边形．又∵AG⊥EF，∴ AEGF是菱形
21．(10分)如图，点E，F分别在△ABC的内、外角平分线上，且AE⊥CE，AF⊥CF.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
解：(1)证明：∵射线CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝(∠ACB＋∠ACD)＝×180°＝90°.又∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠E＝∠F＝90°，∴四边形AECF是矩形
(2)当△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠EAC＝90°－∠ACE＝45°＝∠ACE，∴AE＝CE.又∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形
22．(10分)如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
(1)求证：BG＝DE；
(2)若E为AD的中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
解：(1)证明：∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE.又∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE
(2)连接EG.∵四边形EFGF是矩形，∴EG＝FH＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴AE∥BG.又∵E为AD的中点，∴AE＝ED＝BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG＝2，∴菱形ABCD的周长为4×2＝8
23．(12分)综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：折叠正方形纸片ABCD，使顶点A落在边CD上的点P处，得到折痕EF(如图①)，把纸片展平；
操作二：折叠正方形纸片ABCD，使顶点B也落在边CD上的点P处，得到折痕GH，GH与EF交于点O，连接OA，OB，OP(如图②)．
根据以上操作，直接写出图②中与线段OP相等的两条线段：________________________________________________________________________；
(2)探究发现
把图②中的纸片展平得到图③，通过观察发现无论点P在线段CD上的任何位置，线段OG与线段OH始终相等，请直接用第一问发现的结论写出完整的证明过程；
(3)拓展应用
已知正方形纸片ABCD的边长为18 cm，在以上探究过程中，当点O到AB的距离是7 cm时，求线段CP的长．
解：(1)OA，OB 【解析】如答图①，连接AP，BP，根据折叠的性质可知EF垂直平分AP，GH垂直平分BP，∴OA＝OP，OB＝OP，∴OA＝OB＝OP
(2)证明：如答图②，过点O作MN⊥AD于点M，交BC于点N，则∠AMO＝90°.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴AM＝BN，∠BNO＝90°.又∵OA＝OB，∴Rt△OAM≌Rt△OBN(HL)，∴OM＝ON.又∵∠GOM＝∠HON，∠GMO＝∠HNO＝90°，∴△GMO≌△HNO(ASA)，∴OG＝OH
(3)如答图③，过点O作KQ⊥AB于点Q，交CD于点K，则∠AQK＝90°，OQ＝7 cm.又∵OA＝OB，OQ⊥AB，∴AQ＝BQ＝AB＝×18＝9(cm)，∴OB＝＝＝(cm)，OP＝OA＝OB＝ cm.又∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠C＝90°，∴∠CKQ＝∠AQK＝90°，∴四边形BCKQ是矩形，∴CK＝BQ＝9 cm，KQ＝BC＝18 cm，∴KO＝KQ－OQ＝18－7＝11(cm)，∴KP＝＝＝3(cm).分如下两种情况讨论：①当点P在点K的右侧时，则CP＝KC－KP＝9－3＝6(cm)；②当点P在点K的左侧时，记此时的点P为点P′，则P′C＝CK＋KP′＝9＋3＝12(cm).综上所述，线段CP的长度为6 cm或12 cm
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第一章 特殊平行四边形
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．下列说法正确的是(C)
A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角互补
C．矩形的四个内角都是直角 D．菱形的对角线相等
2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝6，BC＝8，则OA的长为(C)
A．3 B．4 C．5 D．7
3．如图，在正方形ABCD中，延长DC至点E，使DE＝DB，连接BE，则∠CBE的度数为(C)
A．10° B．20° C．22.5° D．30°
4．如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为(C)
A．20° B．60° C．70° D．80°
5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD＝CD，DE⊥AC于点E，若AC＝6，则BE的长为(C)
A．4 B．3.6 C．3 D．2.4
6．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不正确的是(D)
A.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
B．当∠BAO＝∠DAO时，四边形ABCD是菱形
C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形
D．当AB＝AC时，四边形ABCD是菱形
7．如图①，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，测得对角线BD＝10 cm，将正方形学具变形为菱形(如图②)，且∠ABC＝60°，则图②中的对角线BD的长为(B)
A．10 cm B．10 cm C．20 cm D．10 cm
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，且AE＝3CE，则BD的长为(D)
A．3 cm B．6 cm C．6 cm D．12 cm
9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别为边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为(C)
A．45° B．50° C．55° D．60°
10．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论：①∠FGD＝112.5°；②S△AGD＝S△OGD；③四边形AEFG是菱形．其中正确的结论有(C)
A．① B．①② C．①③ D．①②③
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝4，将线段AD水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形EBCF为菱形，则a的值为__2__．
12．如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点A，B的坐标分别为(3，9)，(12，9)，则顶点C的坐标为__(15，3)__．
13．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为__2__．
14．如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为72 cm2，则菱形ABCD的边长为__2__cm.
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为BC边上的一点，将△CDE沿DE翻折，使得点C恰好落在AB边上的点F处，则BE＝__3__；若P，Q分别为DE，CD上的动点，则PC＋PQ的最小值为__8__．
【解析】∵∠A＝90°，AD＝BC＝8，DF＝CD＝AB＝10，∴AF＝＝6，∴BF＝AB－AF＝4.又∵在Rt△BEF中，BE2＋BF2＝EF2＝CE2＝(BC－BE)2，∴BE2＋42＝(8－BE)2，解得BE＝3；如图，连接FP，FQ，过点F作FQ′⊥CD于点Q′，则由翻折的性质可得PC＝PF，∴PC＋PQ＝PF＋PQ≥FQ≥FQ′＝AD＝8.
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．(8分)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，连接BF，DE.求证：BF＝DE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.又∵E，F分别是AB，AD的中点，∴AE＝AB，AF＝AD，∴AE＝AF.又∵∠BAF＝∠DAE，∴△BAF≌△DAE(SAS)，∴BF＝DE
17．(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F.求证：BE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD.又∵AE⊥BD，BF⊥AC，∴∠AEO＝∠BFO＝90°.又∵∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF(AAS)，∴OE＝OF，∴OB＋OE＝OA＋OF，即BE＝AF
18．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC的中点，AD＝BC.过点D作DE⊥AC且DE＝CD，连接BE.求证：四边形BCDE是正方形．
证明：∵D为AC的中点，∴AD＝CD.又∵AD＝BC，DE＝CD，∴BC＝CD＝DE.又∵∠C＝90°，DE⊥AC，∴∠ADE＝90°＝∠C，∴DE∥CB，∴四边形BCDE是平行四边形．又∵∠C＝90°，∴ BCDE是矩形．又∵BC＝CD，∴矩形BCDE是正方形
19．(9分)如图，已知△ABC.
(1)请用无刻度的直尺和圆规分别在AB，BC，AC边上取点D，E，F，使得四边形ADEF是菱形(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若AD＝13，AE＝24，求菱形ADEF的面积．
解：(1)点D，E，F的位置如图所示
(2)设AE，DF交于点O.∵由(1)知四边形ADEF是菱形，∴AE⊥DF，OA＝AE＝×24＝12，DF＝2OD，∴OD＝＝＝5，∴DF＝2OD＝10，∴S菱形ADEF＝AE·DF＝×24×10＝120
20．(10分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AE＝AF.
(1)求证：CE＝CF；
(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点G，使OG＝OA，连接EG，FG，四边形AEGF是什么特殊四边形？请证明你的结论．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝90°.在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE＝DF，∴BC－BE＝CD－DF，即CE＝CF
(2)四边形AEGF是菱形．证明：∵AE＝AF，由(1)知CE＝CF，∴AC垂直平分线段EF，∴AC⊥EF，OE＝OF.又∵OA＝OG，∴四边形AEGF是平行四边形．又∵AG⊥EF，∴ AEGF是菱形
21．(10分)如图，点E，F分别在△ABC的内、外角平分线上，且AE⊥CE，AF⊥CF.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
解：(1)证明：∵射线CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝(∠ACB＋∠ACD)＝×180°＝90°.又∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠E＝∠F＝90°，∴四边形AECF是矩形
(2)当△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠EAC＝90°－∠ACE＝45°＝∠ACE，∴AE＝CE.又∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形
22．(10分)如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
(1)求证：BG＝DE；
(2)若E为AD的中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
解：(1)证明：∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE.又∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE
(2)连接EG.∵四边形EFGF是矩形，∴EG＝FH＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴AE∥BG.又∵E为AD的中点，∴AE＝ED＝BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG＝2，∴菱形ABCD的周长为4×2＝8
23．(12分)综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：折叠正方形纸片ABCD，使顶点A落在边CD上的点P处，得到折痕EF(如图①)，把纸片展平；
操作二：折叠正方形纸片ABCD，使顶点B也落在边CD上的点P处，得到折痕GH，GH与EF交于点O，连接OA，OB，OP(如图②)．
根据以上操作，直接写出图②中与线段OP相等的两条线段：________________________________________________________________________；
(2)探究发现
把图②中的纸片展平得到图③，通过观察发现无论点P在线段CD上的任何位置，线段OG与线段OH始终相等，请直接用第一问发现的结论写出完整的证明过程；
(3)拓展应用
已知正方形纸片ABCD的边长为18 cm，在以上探究过程中，当点O到AB的距离是7 cm时，求线段CP的长．
解：(1)OA，OB 【解析】如答图①，连接AP，BP，根据折叠的性质可知EF垂直平分AP，GH垂直平分BP，∴OA＝OP，OB＝OP，∴OA＝OB＝OP
(2)证明：如答图②，过点O作MN⊥AD于点M，交BC于点N，则∠AMO＝90°.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴AM＝BN，∠BNO＝90°.又∵OA＝OB，∴Rt△OAM≌Rt△OBN(HL)，∴OM＝ON.又∵∠GOM＝∠HON，∠GMO＝∠HNO＝90°，∴△GMO≌△HNO(ASA)，∴OG＝OH
(3)如答图③，过点O作KQ⊥AB于点Q，交CD于点K，则∠AQK＝90°，OQ＝7 cm.又∵OA＝OB，OQ⊥AB，∴AQ＝BQ＝AB＝×18＝9(cm)，∴OB＝＝＝(cm)，OP＝OA＝OB＝ cm.又∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠C＝90°，∴∠CKQ＝∠AQK＝90°，∴四边形BCKQ是矩形，∴CK＝BQ＝9 cm，KQ＝BC＝18 cm，∴KO＝KQ－OQ＝18－7＝11(cm)，∴KP＝＝＝3(cm).分如下两种情况讨论：①当点P在点K的右侧时，则CP＝KC－KP＝9－3＝6(cm)；②当点P在点K的左侧时，记此时的点P为点P′，则P′C＝CK＋KP′＝9＋3＝12(cm).综上所述，线段CP的长度为6 cm或12 cm
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