3.1 万有引力定律 教案1

3.1
万有引力定律
教案
重点与剖析
开普勒行星运动三大定律：
第一定律：太阳的所有行星分别在大小不同的椭圆轨迹上围绕太阳运动，太阳是在这些椭圆的焦点上。
第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
第三定律：所有行星的椭圆轨迹的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相等。
即，是与太阳质量有关的恒量，与行星的质量无关。
二、万有引力定律
自然界中任何两个物体都是相同吸引的，引力大小跟这两个物体的质量成正比，跟它们的距离平方成反比。写成公式为：
3-1
1、引力常量G是普遍适用的常量
G在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力大小。
2、3-1式只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用3-1式计算。
3、当两物体是质量分布均匀的球体时，它们间的引力也可由3-1式直接计算，但式中的r是两球心间的距离。
4、当研究物体不能看成质点时，可把物体假想分割成无数个质点，求出一个物体上每个质点与另一物体上每一个质点的万有引力然后求合力。
5、自然界中一般的物体间的万有引力很小（远小于地球与物体间的万有引力和物体间的其它作用力），因而可以忽略不计．但考虑天体运动和人造卫星运动的问题时必须计算万有引力，不仅因为这个力非常大，而且万有引力提供了天体和卫星做匀速圆周运动所需的向心力
问题与探究
问题1
请根据圆周运动的规律、开普勒行星运动三定律推导万有引力定律。
探究思路：
先做合理的简化：行星运动的椭圆轨道简化成圆形轨道，并把天体看成质点。
注意运用类比和牛顿第三定律。
设行星的质量为m，与太阳的距离为r，运行的速度为v，周期为T，太阳对行星的引力F提供行星做匀速圆周运动的向心力。
又∵
∴
由开普勒第三定律：
则引力F与行星的质量成正比，与行星到太阳的距离成反比。根据牛顿第三定律，行星吸引太阳的引力与太阳吸引行星的力大小相等，那么这个引力也应与太阳的质量成正比。
即
则
G是一个常量，对任何行星都是相同的。
问题2
任何物体间都存在着引力，为什么当两个人接近时他们不会吸在一起？我们通常分析物体的受力时是否需要考虑物体间的万有引力？请你根据实际中的情况，假设合理的数据，通过计算说明以上两个问题．
探究思路：
可以具体假设两个人的质量，然后利用万有引力定律计算其万有引力；我分析物体的受力时是否需要考虑物体间的万有引力，要视其万有引力与其它力相比在大小上是否可以忽略，如果相差太远，则可以不计；若相差不是很远，那就不能忽略，比如两艘万吨油轮如果相距很近（如1m），这时的万有引力就不能忽略。对这两个问题的讨论有助于对有关的问题建立理想化模型。
问题3
根据万有引力公式，当物体间的距离很小时，物体间的万有引力应很大，当物体间的距离为零时，则万有引力应该达无穷大。你认为这种说法对不对？
探究思路
：物体间的距离很小时还能看成质点吗？
典题与精析
例题1、地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍（图3-1），并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律(即，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴)估算，它下次飞近地球是哪一年？
精析：地球和哈雷彗星都是绕太阳公转的行星，它们运行的规律服从开普勒行星运动规律，即，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴，K是对太阳系中的任何行星都适用的恒量。可以根据已知条件列方程求解。
解：将地球的公转轨道近似成圆形轨道，其周期为T1，半径为r1，哈雷彗星的周期为T2，轨道半长轴为r2，则根据开普勒第三定律有：
因为r2=18r1,地球公转周期为1年，所以可知哈雷彗星的周期为
T2==76.4年
所以它下次飞近地球是2062年
绿色通道：本题是科学技术问题的立意，我们要在理解开普勒第三定律基础上，充分发掘已知条件，在需要时将有关情景建立理想化模型。
例题2
牛顿在推证万有引力的过程中：
（1）在探究太阳对行星的引力的规律时，利用了前辈们的研究成果，他以左边的三个等式为根据，得出了右边的关系式。左边的三个等式有的可以在实验室中验证，有的则不能。这个无法在实验室验证的规律是怎么得到的？
（2）牛顿对他推到的结论：之后，采用了“月－地检验”证明这个结论的正确性，即证明地球对地面物体的引力与月球所受的引力是同一种力，遵循相同的规律。这个检验表明了地球表面重物的下落与天体运动的多样性和统一性。如果把月球绕地球公转的运动理想化成匀速圆周运动，在牛顿年代，已经知道月球的轨道半径约为地球半径的60倍（即3.84×108m），地球表面的重力加速度为g，月球公转的周期为T(28天计)。请你根据所学的知识和所给的已知条件重新验证这个结论。
解析：（1）左边上面两个公式是可以在实验室中得到验证的；而第三个公式是开普勒等一大批天文学家经过大量的天象观测，大胆的猜想以及利用数学工具进行严密的演绎推理的得出的，虽然这个结论不能在实验室直接得到验证，但是这个规律是经过反复的实践检验，是完全与事实相符合的。
（2）在当时的历史条件下，地球表面使物体下落的力，即重力G=mg。根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度就是月球公转的向心加速度。根据向心力公式：F=mω2r=m(2π/T)2r，得
a=(2π/T)2r=（2×3.14/28×24×3600）2×3.84×108=
2.6×10-3m/s2。
假如结论是正确的，则物体在月球轨道上的向心加速度是地球表面重力加速度的1/3600倍，即aˊ=1/3600×9.8=2.7×10-3m/s2。显然，实际推算和假设基本接近，在误差允许的范围内，说明月球绕地球的力与地面物体下落的力同样遵循反平方的规律。这就是牛顿的地—月检验。
绿色通道：本题从问题情境立意。有些结论或规律可以在实验室得到证明；而有一些则不能直接得到证明，如牛顿第一定律就是一个典型的例子，牛顿第一定律的得出是在实验的基础上经过推理，然后再在实践中进行检验得到的。所以有些根本无法在实验室完成和得到证明的规律，完全可以通过其他的科学研究的方法得出，这就需要同学们学习科学家们那种大胆猜想、敢于创新、不畏艰苦、持之以恒的精神，还要牢牢把握学习的基本功，利用数学工具等多种方法结合起来解决生活和自然中的问题。学会科学家们解决问题的方法，本题在培养学生知识、能力、情感态度方面都有益处，对培养学生的创新和创造能力都有一定的启迪。
例题3、
由牛顿第二定律F=ma可知，加速度与物体的质量成反比，而在自由落体运动中，物体所受的重力加速度与物体的质量无关，这两者是否矛盾？请说明理由。
精析：这是令同学们感到困惑的一个问题。我们知道大多数的定律或结论的成立都是有前提条件的，要解开这个疑团，同学们要紧紧扣住“力是产生加速度的原因”，显然两者产生加速度的力的性质和来源是不同的，前者是非引力相互作用，后者是引力相互作用，
解：
其实这两点并不矛盾，它们都遵循牛顿第二定律。根据牛顿第二定律的因果关系，前者产生加速度的力来自于地球上两个物体间的相互作用，这两个物体均受到重力的作用；而后者产生重力加速度的力来自于地球上的物体与地球本身的引力相互作用，设地球质量为M，物体质量为m，根据万有引力定律F=GMm/r2,得：a=F/m=GM/r2,若在地球表面附近r=R，所以a=
GM/R2=g,是与物体质量无关的常量。
绿色通道：同学们在进行概念辨析时，要抓住问题的根本，理解概念或规律成立的前提，切勿生搬硬套公式。
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基础达标
1、地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做一个天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离．已知火星公转的周期是1.84年，根据开普勒第三定律，火星公转轨道半径是多少个天文单位的？将地球和火星绕太阳公转的轨道近似成圆形轨道。
1、答案：1.5个天文单位。
解析：设地球和火星的轨道半径分别为r1、r2，公转周期分别为T1、T2。根据开普勒第三定律：
，得r2=·r2=1.5（个天文单位）
2、开普勒行星运动三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动．如果一颗人造地球卫星沿椭圆轨道运动，它在离地球最近的位置（近地点）和最远的位置（远地点），哪点的速度比较大？
2、答案：近地点速度大。
解析：根据开普勒的面积定律，即行星和太阳之间的连线在相等的时间内扫过的面积相等。在近地点，卫星运行的规道半径小，其运行的速度便要更大。
3、两艘万吨油轮，满载时质量分别是4.0×108和2×109，当它们相距0.1km时计算其万有引力。
3、答案：
5340N
解析：根据万有引力定律得，
F=GMm/r2=6.67×10-11×4×108×2×109/1002=5340N。
点评：在物体质量较大、质心间相距很近时，它们之间的万有引力是可观的，不能忽略的。
4、一个质子由两个u夸克和一个d夸克组成．每个夸克的质量是，求两个夸克相距时的万有引力．
4、答案：
3.36×10-37N
解析：根据万有引力定律得，
F=GMm/r2=6.67×10-11×7.1×10-30×7.1×10-30/（1.0×10-16）2=3.36×10-37N。
点评：在粒子质量很小、即使质心间相距很近，它们之间的万有引力是非常微弱的，这时的万有引力是可以忽略不计的。
综合发展
5
、地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这个飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为多少？
5
解：设R是飞行器到地心的距离，r是飞行器到月球的距离。
则由题意：
∴
6、根据万有引力定律说明太阳系中各行星绕太阳公转周期的平方，与公转轨道半径的三次方的比值是一个只与太阳质量有关的恒量。
6、解答：设太阳质量为M，某行星质量为m，行星绕太阳公转周期为T，半径为R。
轨道近似看作圆，万有引力提供行星公转的向心力
而
，
∴
7、海王星的公转周期约为5.19×109s，地球的公转周期为3.16×107s，则海王星与太阳的平均距离约为地球与太阳的平均距离的多少倍？
7
解：由开普勒第三定律可得：
，
∴
8、某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的，则此卫星运行的周期大约是：
A．1－4天之间
B．4－8天之间
C．8－16天之间
D．16－20天之间
8
解：由开普勒第三定律可得：
，
而，
则T1=5.7天
地球
彗星
太阳
图3-1