3.2 万有引力定律的应用 习题（含答案解析）

第二节　万有引力定律的应用
一、单项选择题
1．已知引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，重力加速度g取9.8
m/s2，地球半径R＝6.4×106
m，则可知地球质量的数量级是(　　)
A．1018
kg
B．1020
kg
C．1022
kg
D．1024
kg
【答案】D
【解析】物体所受地球的万有引力约等于物体的重力：
G＝mg，得：g＝G，
解得：M＝＝kg＝6.02×1024kg
即地球质量的数量级是1024.
所以，本题的正确选项为D.
2．2009年2月10日，美国一颗通信卫星与一颗俄罗斯已报废的卫星在太空中相撞．其原因是人造地球卫星在运行中，由于受到稀薄大气的阻力作用，其运动轨道半径会逐渐减小，在此过程中，以下说法错误的是(　　)
A．卫星的速率将增大
B．卫星的周期将增大
C．卫星的向心加速度将增大
D．卫星的角速度将增大
【答案】B
【解析】对于卫星万有引力提供向心力．
G＝ma＝m＝mω2r＝mr2，故a＝，v＝，ω＝，T＝2π，可见轨道半径减小时，速率v增大，周期T减小，向心加速度a增大，角速度ω增大，故A、C、D正确，B错误．
图3－2－4
3．一般航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的一次维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图3－2－4所示，关于航天飞机的运动，下列说法中错误的是(　　)
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅱ上经过B的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
【答案】D
【解析】根据开普勒定律知，近地点的速度大于远地点的速度；由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道要减速，根据开普勒定律，＝k，R2＜R1，所以T2＜T1；根据a＝知，加速度应相等．
4．在太阳系中有一颗行星的半径为R，若在该星球表面以初速度v0竖直向上抛出一物体，则该物体上升的最大高度为H.已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计，万有引力常量为G.则根据这些条件，无法求出的物理量是(　　)
A．该行星的密度
B．该行星的自转周期
C．该星球表面的重力加速度
D．该行星表面附近运行的卫星的周期
【答案】B
【解析】行星的自转周期与行星的本身有关，根据题意无法求出．
二、双项选择题
5．同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是(　　)
A.＝
B.＝2
C.＝
D.＝
【答案】AD
【解析】设地球质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上的物体质量为m2，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2′，根据向心加速度和角速度的关系有
a1＝ωr，a2＝ωR，ω1＝ω2，故＝，选项A正确．
由万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝m1，G＝m2′，
由以上两式解得＝
，选项D正确．
所以，本题的正确答案是A、D.
6．下列各组数据中，能计算出地球质量的是(　　)
A．地球绕太阳运行的周期及日、地间距离
B．月球绕地球运行的周期及月、地间距离
C．人造地球卫星在地面附近的绕行速度和运动周期
D．地球同步卫星离地面的高度
【答案】BC
【解析】万有引力常量作为已知条件，根据题中各选项给出的数据，可选用的公式有：T＝①、G＝m0②、mg＝m③，显然D不正确．由①、②两式可知，若地球绕太阳运行的周期为T，日、地间距离为r，则能计算出太阳的质量M＝，不能得出地球的质量，所以A不正确．由①、②两式可以算出地球质量M＝，其中T为月球绕地球运行的周期，r为月地间距离，B正确．由①式得出r＝，代入②式可得出地球质量M＝，其中v、T分别表示人造地球卫星在地面附近的绕行速度和运动周期，可见C正确．
7．第一宇宙速度是物体在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的速度，则有(　　)
A．被发射的物体质量越大，第一宇宙速度越大
B．被发射的物体质量越小，第一宇宙速度越大
C．第一宇宙速度与被发射物体的质量无关
D．第一宇宙速度与地球的质量有关
【答案】CD
【解析】第一宇宙速度v＝与地球质量M有关，与被发射物体的质量无关．
8．可以发射这样的人造地球卫星，使其圆轨道(　　)
A．与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆
B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
【答案】CD
【解析】因为人造地球卫星绕地球做圆周运动，靠万有引力提供向心力，万有引力以及向心力的方向均需指向地心，所以人造卫星的轨道的圆心必须是地心．故A错误；卫星通过南北极上空，某时刻在某一经线上，由于地球的自转下一时刻卫星将不在原来的经线上，故B错误．同步卫星在赤道上方，与地球保持相对静止，轨道平面与赤道平面共面．故C正确，若该卫星不在同步卫星轨道上则卫星将相对地球表面运动的，故D亦正确．
9．用m表示地球通信卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受到的地球对它的万有引力的大小是(　　)
A．等于0
B．等于
C．等于m
D．以上结果均不对
【答案】BC
【解析】根据万有引力定律，有F＝G.
又因为GM＝Rg0，所以F＝.
地球对通信卫星的万有引力为卫星的向心力，所以G＝mω(R0＋h)，GM＝ω(R0＋h)3.又因GM＝Rg0，所以有R0＋h＝.
因而F＝mω＝m.
三、非选择题
10．2010年10月1日“嫦娥二号”探月卫星成功发射，并开始绕地球做椭圆轨道运动，经过变轨、制动后，成为一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星．设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T.已知月球半径为R，引力常量为G.求：
(1)月球的质量M；
(2)月球表面的重力加速度g；
(3)月球的密度ρ.
【答案】(1)M＝　(2)g＝
(3)ρ＝
【解析】
(1)万有引力提供“嫦娥二号”做圆周运动的向心力，则有
G＝m(R＋h)，解得M＝.
(2)在月球表面，万有引力等于重力，则有G＝m1g，求得g＝.
(3)由ρ＝，V＝πR3得ρ＝.