浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2025年九年级下学期数学6月月考试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025·柯桥模拟）下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣3 B．0 C． D．
2．（2025·柯桥模拟）DeepSeek团队在人工智能研发过程中坚持自主创新．实验数括显示，他们的模型训练效率达到了惊人的2.4×1015次浮点运算/秒．若某次连续训练持续了1.2×104秒，则总共完成了多少次浮点运算（ ）
A．2.48×1019 B．2.88×1018 C．2.88×1019 D．2.88×1020
3．（2025·柯桥模拟）如图所示的钢块零件的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·柯桥模拟）下列运算正确的是（ ）
A．3m+n＝3mn B．（﹣mn）2＝﹣m2n2
C．m3 m3＝m9 D．m8÷m3＝m5
5．（2025·柯桥模拟）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．（2025·柯桥模拟）若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（ ）
A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4
7．（2025·柯桥模拟）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D，C，连接BC，若∠A＝40°，则∠ACB的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（2025·柯桥模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一动点，∠EDP＝90°，DE＝DP，当点E从点A运动到点C的过程中，△EPC周长的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
9．（2025·柯桥模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以C为圆心，CD的长为半径作弧交OB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·柯桥模拟） 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·柯桥模拟）因式分解：ab3+4ab﹣4ab2＝ ．
12．（2025·柯桥模拟）如图，易拉罐的上，下底面互相平行，用吸管吸易拉罐内的饮料时，若∠1＝70°，则∠2＝ ．
13．（2025·柯桥模拟）为响应近视防控宣传教育月活动，某校某班共有40名学生，其中15人近视，25人不近视，班主任随机抽取一名学生分享护眼经验，抽到不近视学生的概率是 ．
14．（2025·柯桥模拟）如图，点A是反比例函数y＝在第四象限上的点，AB⊥x轴，若S△AOB＝1，则k的值为 ．
15．（2025·柯桥模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，点D在BC上，BD＝2，CD＝3，且AB＝AD，E为AC上一点，过点B作BF∥DE交AC于点F，交AD于点G，若AF＝CE，则GF的长为 ．
16．（2025·柯桥模拟）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交于点G，F，且．
（1）若，则 ．
（2）若，则的值为 ．
三、解答题（17-21题每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共72分）
17．（2025·柯桥模拟）计算：．
18．（2025·柯桥模拟） 解不等式组．
19．（2025·柯桥模拟）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹井标注相关字母．
（1）如图1，在△ABC内寻找格点P，使得∠BPC＝2∠A．
（2）如图2，在线段AC上找一点Q，使得．
20．（2025·柯桥模拟）为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生有 人，图①中m的值是 ；
（2）本次调查获取样本数据的众数为 元，中位数为 元；
（3）根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数．
21．（2025·柯桥模拟）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为（，，，结果保留一位小数）．
（1）求试管口与铁杆的水平距离的长度；
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且丄于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．
22．（2025·柯桥模拟）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件） 30 34 38 40 42
销量（件） 40 32 24 20 16
（1）分析表格中的数据发现销量y与单价x之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式．
（2）若该产品的成本是20元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
23．（2025·柯桥模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．
（1）当二次函数图象过点（2，﹣3）时，求二次函数的表达式，并求它与y轴的交点坐标；
（2）若二次函数图象在直线x＝﹣2的右侧随着x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）若二次函数图象上存在两点A（a，a）和B（b，b），且a≠b，若﹣1＜a+b＜1，求m的取值范围．
24．（2025·柯桥模拟）如图，矩形ABCD内接于⊙O，BD是对角线，点E在上（不与点A，D重合），连接EC分别交AD，BD于点H，G，BF⊥CE于点F，FG＝FC，连接BE交AD于点P．
（1）如图1，当点E为的中点，BD＝2时，
①求证：∠ABE＝∠CBF．
②求的长．
（2）如图2，若tan∠ADB，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是无理数.
故答案为：D.
【分析】无限不循环小数叫做无理数.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用乘法结合律和乘法交换律对算式进行简便运算.
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】如图所示的零件的主视图是
故答案为：A
【分析】本题考查简单几何体的三视图：画三视图时要注意“长对正，宽相等，高平齐”，被遮挡的部分的轮廓线是虚线。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，作，
，
，，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用垂径定理求得EF的长度，再通过勾股定理计算出OF的长度.
6．【答案】A
【知识点】不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：，
，得，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】将两式相加求得，代入不等式组解得.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
射线AB与⊙O相切，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由切线的性质可得，进而求得，再利用圆周角定理得到∠ACB的度数.
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；余角
【解析】【解答】解：设，
，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
当时，△EPC周长有最小值，
此时，，
.
故答案为：A.
【分析】由正方形的性质可得AD=CD，再通过余角的性质证得，进而通过SAS判定，得到AE=CP，故可得当时，△EPC周长有最小值.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；线段的中点；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OD，
，点C是OB的中点，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】由中点的定义可得OC=1，再通过勾股定理求得CD的长度，然后利用割补法计算出阴影部分的面积.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2） 是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上的两点，
∴y1=ax12-4ax1+c，y2=ax22-4ax2+c，
∴y1-y2=（ax12-4ax1+c）-（ax22-4ax2+c）
=ax12-4ax1+c-ax22+4ax2-c
=a（x12-x22）-4a（x1-x2）
=a(x1-x2)(x1+x2)-4a(x1-x2)
=a(x1-x2)(x1+x2-4)
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
当a(x1+x2-4)＜0时，a(x1-x2)(x1+x2-4)＞0，
∴y1＞y2.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线上点的坐标特点可得y1=ax12-4ax1+c，y2=ax22-4ax2+c，进而利用作差法可得y1-y2=a(x1-x2)(x1+x2-4)，由于x1＜x2，故x1-x2＜0，则当a(x1+x2-4)＜0时，a(x1-x2)(x1+x2-4)＞0，据此可得答案.
11．【答案】ab（b﹣2）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式对多项式进行因式分解.
12．【答案】110°
【知识点】邻补角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用平行线的性质得到的度数，再通过邻补角的定义求得的度数.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率.
14．【答案】 2
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点A是反比例函数y＝y＝在第四象限内图象上的点，
AB⊥x轴，垂足为点B，
∴S△AOB＝|k|＝1；
又∵函数图象位于二、四象限，
∴k＝ 2，
故答案为： 2．
【分析】利用反比例函数的几何意义可得到|k|＝2，再根据反比例函数图象所在的象限，可得到k的值.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】作，利用等腰三角形的性质得到CH的长度，进而求得AC的长度，再利用平行线的性质得到，即可求得CE的长度，然后通过勾股定理计算出CE的长度，由得到GF的长度.
16．【答案】（1）15°
（2）
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；求正切值
【解析】【解答】解：(1)由折叠的性质可得，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
.
故答案为：.
(2)如图，作，
设，
四边形ABCD是矩形，
，，
，
由(1)可得，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
由折叠的性质可得，
，，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)由折叠的性质可得，通过矩形的性质得到，再利用等腰三角形的性质求得，然后通过三角形的外角性质计算出的度数.
(2)设，则，由(1)可得，故，进而求得，作，可得，利用勾股定理计算出EF的长度，通过AAS判定得到，故，即可计算出的值 .
17．【答案】解：
＝﹣3﹣1
＝﹣1．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】先分别对负指数幂、零次幂、二次根式和绝对值进行化简，再进行实数的混合运算.
18．【答案】解：，
解不等式得：x≥1，
解不等式得：x＜4，
∴不等式组的解集为1≤x＜4．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别利用不等式的基本性质对各个不等式进行求解，进而得到不等式组的解集.
19．【答案】（1）解：如图1中，点P即为所求；
（2）解：如图2中，点Q即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用垂直平分线的性质找到△ABC外接圆的圆心，由圆周角定理可得∠BPC＝2∠A．
(2)由平行线的性质可得，利用相似三角形的性质可得.
20．【答案】（1）50；32
（2）10；15
（3）解：（人），
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)（人）；
.
故答案为：50；32.
(2) 本次调查获取样本数据的众数为10元，中位数为15元.
故答案为：10；15.
【分析】(1)利用条形统计图中的数据可得本次接受随机调查的学生有50人，
(2)将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.
(3)利用样本中的比例求得该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数．
21．【答案】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：，
，
延长，交于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
答：线段的长度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）先求出的长，再根据余弦定义解答即可；
（2）根据正弦定义求出的长，延长，交于点，即可得到是矩形，求出的长，然后根据等边对等角得到，再利用解答即可．
（1）解：，，
，
，
（2）解：，
，
延长，交于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
答：线段的长度为．
22．【答案】（1）解：设函数关系式为，
，
解得：，
∴一次函数关系式为y＝﹣2x+100.
（2）解：设产品的利润为y元，
∵﹣2＜0，20＜x＜50，
∴当x＝35时，y取最大值为450元，
答：为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设函数关系式为，从表格中选取2组数值代入，解得k、b的值，进而求得函数表达式.
(2)设产品的利润为y元，利用利润的计算公式列出函数关系式为，再通过二次函数的性质求得当x＝35时，y取最大值为450元.
23．【答案】（1）解：∵抛物线过点（2，﹣3），
∴﹣3＝4﹣4m﹣3，
∴m＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；
（2）解：∵二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，
∴对称轴为直线，
∵二次函数图象开口向上，且当x≥m时y随着x的增大而增大，
∴m≤﹣2；
（3）解：∵函数过（a，a），（b，b），且a≠b，
∴a2﹣2ma﹣3＝a，b2﹣2mb﹣3＝b，
∴a2﹣b2﹣2ma+2mb＝a﹣b，
∴（a﹣b）（a+b﹣2m﹣1）＝0，
∵a≠b，
∴a+b＝2m+1，
∵﹣1＜a+b＜1，
∴﹣1＜2m+1＜1，
解得﹣1＜m＜0．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)将点(2，-3)代入函数解析式求得m的值，再利用点坐标的特征求得函数与y轴的交点坐标.
(2)根据函数解析式可得函数的对称轴为直线，利用二次函数的图象性质可得当x≥m时y随着x的增大而增大，故m≤﹣2.
(3)将点A、B的坐标代入函数表达式得到a2﹣2ma﹣3＝a，b2﹣2mb﹣3＝b，两式相减可得a+b＝2m+1，又有-1＜a+b＜1 ，进而解得﹣1＜m＜0．
24．【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCF+∠DCE＝90°．
∵点E为的中点，
∴，
∴∠DCE＝∠ABE，
∴∠ABE+∠BCF＝90°．
∵BF⊥CE，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF．
②解：连接OE，OC，如图，
∵点E为的中点，
∴，
∴∠ABE＝∠DBE．
∵BF⊥CE于点F，FG＝FC，
∴BG＝BC，
∴∠GBF＝∠CBF，
由①知：∠ABE＝∠CBF，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠DBF＝∠CBF22.5°，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠EOD＝2∠DBE＝45°，
∴∠DOC＝2∠CBD＝90°，
∴∠EOC＝∠EOD+∠DOC＝135°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC＝90°，
∴BD为圆的直径，
∵BD＝2，
∴OE＝OC＝1，
∴的长；
（2）解：连接ED，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC＝90°，
∴BD为圆的直径，
∵tan∠ADB，
∴设AB＝3k，则DC＝AB＝3k，BC＝AD＝4k，
∴BD5k，
∵BF⊥CE于点F，FG＝FC，
∴BG＝BC＝4k，
∴DG＝BD﹣BG＝k，
∵AD∥BC，
∴△DHG∽△BCG，
∴，
∴DHBC＝k，
∴AH＝AD﹣DH＝3k．
∵BD为圆的直径，
∴∠AED＝90°，
∴tan∠EBD．
∵tan∠ECD，∠EBD＝∠ECD，
∴tan∠EBD．
设DE＝a，则BE＝3a，
∵BE2+DE2＝BD2，
∴（3a）2+a2＝（5k）2，
∵a＞0，
∴ak，
∴EDk．
∵∠BAD＝∠PED＝90°，∠APB＝∠EPD，
∴△ABP∽△EDP，
∴，
∴设AP＝6x，则PEx，
∴PD＝AD﹣AP＝4k﹣6x，
∵PE2+DE2＝PD2，
∴，
∴xk（不合题意，舍去）或xk．
∴APk，
∴PH＝AH﹣APk，
∴．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质可证得∠DCE＝∠CBF，再通过圆周角定理可得∠DCE＝∠ABE，进而证得∠ABE＝∠CBF．
由圆周角定理可得∠ABE＝∠DBE，再通过等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠DBE＝∠DBF＝∠CBF=22.5°，故可得∠EOC＝135°，然后通过弧长计算公式计算出的长．
(2)设AB＝3k，则DC＝AB＝3k，BC＝AD＝4k，BD=5k，进而得到DG=k，再通过△DHG∽△BCG求得DH=k，AH=3k，然后通过∠EBD＝∠ECD得到tan∠EBD，设DE＝a，则BE＝3a，利用勾股定理解得，由△ABP∽△EDP可得，设AP＝6x，则PEx，PD＝4k﹣6x，通过勾股定理解得APk，即可求得．
1 / 1浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2025年九年级下学期数学6月月考试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025·柯桥模拟）下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣3 B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是无理数.
故答案为：D.
【分析】无限不循环小数叫做无理数.
2．（2025·柯桥模拟）DeepSeek团队在人工智能研发过程中坚持自主创新．实验数括显示，他们的模型训练效率达到了惊人的2.4×1015次浮点运算/秒．若某次连续训练持续了1.2×104秒，则总共完成了多少次浮点运算（ ）
A．2.48×1019 B．2.88×1018 C．2.88×1019 D．2.88×1020
【答案】C
【知识点】科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用乘法结合律和乘法交换律对算式进行简便运算.
3．（2025·柯桥模拟）如图所示的钢块零件的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】如图所示的零件的主视图是
故答案为：A
【分析】本题考查简单几何体的三视图：画三视图时要注意“长对正，宽相等，高平齐”，被遮挡的部分的轮廓线是虚线。
4．（2025·柯桥模拟）下列运算正确的是（ ）
A．3m+n＝3mn B．（﹣mn）2＝﹣m2n2
C．m3 m3＝m9 D．m8÷m3＝m5
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5．（2025·柯桥模拟）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，作，
，
，，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用垂径定理求得EF的长度，再通过勾股定理计算出OF的长度.
6．（2025·柯桥模拟）若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（ ）
A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4
【答案】A
【知识点】不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：，
，得，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】将两式相加求得，代入不等式组解得.
7．（2025·柯桥模拟）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D，C，连接BC，若∠A＝40°，则∠ACB的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
射线AB与⊙O相切，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由切线的性质可得，进而求得，再利用圆周角定理得到∠ACB的度数.
8．（2025·柯桥模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一动点，∠EDP＝90°，DE＝DP，当点E从点A运动到点C的过程中，△EPC周长的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；余角
【解析】【解答】解：设，
，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
当时，△EPC周长有最小值，
此时，，
.
故答案为：A.
【分析】由正方形的性质可得AD=CD，再通过余角的性质证得，进而通过SAS判定，得到AE=CP，故可得当时，△EPC周长有最小值.
9．（2025·柯桥模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以C为圆心，CD的长为半径作弧交OB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；线段的中点；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OD，
，点C是OB的中点，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】由中点的定义可得OC=1，再通过勾股定理求得CD的长度，然后利用割补法计算出阴影部分的面积.
10．（2025·柯桥模拟） 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2） 是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上的两点，
∴y1=ax12-4ax1+c，y2=ax22-4ax2+c，
∴y1-y2=（ax12-4ax1+c）-（ax22-4ax2+c）
=ax12-4ax1+c-ax22+4ax2-c
=a（x12-x22）-4a（x1-x2）
=a(x1-x2)(x1+x2)-4a(x1-x2)
=a(x1-x2)(x1+x2-4)
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
当a(x1+x2-4)＜0时，a(x1-x2)(x1+x2-4)＞0，
∴y1＞y2.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线上点的坐标特点可得y1=ax12-4ax1+c，y2=ax22-4ax2+c，进而利用作差法可得y1-y2=a(x1-x2)(x1+x2-4)，由于x1＜x2，故x1-x2＜0，则当a(x1+x2-4)＜0时，a(x1-x2)(x1+x2-4)＞0，据此可得答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·柯桥模拟）因式分解：ab3+4ab﹣4ab2＝ ．
【答案】ab（b﹣2）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式对多项式进行因式分解.
12．（2025·柯桥模拟）如图，易拉罐的上，下底面互相平行，用吸管吸易拉罐内的饮料时，若∠1＝70°，则∠2＝ ．
【答案】110°
【知识点】邻补角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用平行线的性质得到的度数，再通过邻补角的定义求得的度数.
13．（2025·柯桥模拟）为响应近视防控宣传教育月活动，某校某班共有40名学生，其中15人近视，25人不近视，班主任随机抽取一名学生分享护眼经验，抽到不近视学生的概率是 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率.
14．（2025·柯桥模拟）如图，点A是反比例函数y＝在第四象限上的点，AB⊥x轴，若S△AOB＝1，则k的值为 ．
【答案】 2
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点A是反比例函数y＝y＝在第四象限内图象上的点，
AB⊥x轴，垂足为点B，
∴S△AOB＝|k|＝1；
又∵函数图象位于二、四象限，
∴k＝ 2，
故答案为： 2．
【分析】利用反比例函数的几何意义可得到|k|＝2，再根据反比例函数图象所在的象限，可得到k的值.
15．（2025·柯桥模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，点D在BC上，BD＝2，CD＝3，且AB＝AD，E为AC上一点，过点B作BF∥DE交AC于点F，交AD于点G，若AF＝CE，则GF的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】作，利用等腰三角形的性质得到CH的长度，进而求得AC的长度，再利用平行线的性质得到，即可求得CE的长度，然后通过勾股定理计算出CE的长度，由得到GF的长度.
16．（2025·柯桥模拟）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交于点G，F，且．
（1）若，则 ．
（2）若，则的值为 ．
【答案】（1）15°
（2）
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；求正切值
【解析】【解答】解：(1)由折叠的性质可得，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
.
故答案为：.
(2)如图，作，
设，
四边形ABCD是矩形，
，，
，
由(1)可得，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
由折叠的性质可得，
，，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)由折叠的性质可得，通过矩形的性质得到，再利用等腰三角形的性质求得，然后通过三角形的外角性质计算出的度数.
(2)设，则，由(1)可得，故，进而求得，作，可得，利用勾股定理计算出EF的长度，通过AAS判定得到，故，即可计算出的值 .
三、解答题（17-21题每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共72分）
17．（2025·柯桥模拟）计算：．
【答案】解：
＝﹣3﹣1
＝﹣1．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】先分别对负指数幂、零次幂、二次根式和绝对值进行化简，再进行实数的混合运算.
18．（2025·柯桥模拟） 解不等式组．
【答案】解：，
解不等式得：x≥1，
解不等式得：x＜4，
∴不等式组的解集为1≤x＜4．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别利用不等式的基本性质对各个不等式进行求解，进而得到不等式组的解集.
19．（2025·柯桥模拟）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹井标注相关字母．
（1）如图1，在△ABC内寻找格点P，使得∠BPC＝2∠A．
（2）如图2，在线段AC上找一点Q，使得．
【答案】（1）解：如图1中，点P即为所求；
（2）解：如图2中，点Q即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用垂直平分线的性质找到△ABC外接圆的圆心，由圆周角定理可得∠BPC＝2∠A．
(2)由平行线的性质可得，利用相似三角形的性质可得.
20．（2025·柯桥模拟）为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生有 人，图①中m的值是 ；
（2）本次调查获取样本数据的众数为 元，中位数为 元；
（3）根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数．
【答案】（1）50；32
（2）10；15
（3）解：（人），
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)（人）；
.
故答案为：50；32.
(2) 本次调查获取样本数据的众数为10元，中位数为15元.
故答案为：10；15.
【分析】(1)利用条形统计图中的数据可得本次接受随机调查的学生有50人，
(2)将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.
(3)利用样本中的比例求得该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数．
21．（2025·柯桥模拟）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为（，，，结果保留一位小数）．
（1）求试管口与铁杆的水平距离的长度；
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且丄于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．
【答案】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：，
，
延长，交于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
答：线段的长度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）先求出的长，再根据余弦定义解答即可；
（2）根据正弦定义求出的长，延长，交于点，即可得到是矩形，求出的长，然后根据等边对等角得到，再利用解答即可．
（1）解：，，
，
，
（2）解：，
，
延长，交于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
答：线段的长度为．
22．（2025·柯桥模拟）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件） 30 34 38 40 42
销量（件） 40 32 24 20 16
（1）分析表格中的数据发现销量y与单价x之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式．
（2）若该产品的成本是20元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
【答案】（1）解：设函数关系式为，
，
解得：，
∴一次函数关系式为y＝﹣2x+100.
（2）解：设产品的利润为y元，
∵﹣2＜0，20＜x＜50，
∴当x＝35时，y取最大值为450元，
答：为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设函数关系式为，从表格中选取2组数值代入，解得k、b的值，进而求得函数表达式.
(2)设产品的利润为y元，利用利润的计算公式列出函数关系式为，再通过二次函数的性质求得当x＝35时，y取最大值为450元.
23．（2025·柯桥模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．
（1）当二次函数图象过点（2，﹣3）时，求二次函数的表达式，并求它与y轴的交点坐标；
（2）若二次函数图象在直线x＝﹣2的右侧随着x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）若二次函数图象上存在两点A（a，a）和B（b，b），且a≠b，若﹣1＜a+b＜1，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线过点（2，﹣3），
∴﹣3＝4﹣4m﹣3，
∴m＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；
（2）解：∵二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，
∴对称轴为直线，
∵二次函数图象开口向上，且当x≥m时y随着x的增大而增大，
∴m≤﹣2；
（3）解：∵函数过（a，a），（b，b），且a≠b，
∴a2﹣2ma﹣3＝a，b2﹣2mb﹣3＝b，
∴a2﹣b2﹣2ma+2mb＝a﹣b，
∴（a﹣b）（a+b﹣2m﹣1）＝0，
∵a≠b，
∴a+b＝2m+1，
∵﹣1＜a+b＜1，
∴﹣1＜2m+1＜1，
解得﹣1＜m＜0．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)将点(2，-3)代入函数解析式求得m的值，再利用点坐标的特征求得函数与y轴的交点坐标.
(2)根据函数解析式可得函数的对称轴为直线，利用二次函数的图象性质可得当x≥m时y随着x的增大而增大，故m≤﹣2.
(3)将点A、B的坐标代入函数表达式得到a2﹣2ma﹣3＝a，b2﹣2mb﹣3＝b，两式相减可得a+b＝2m+1，又有-1＜a+b＜1 ，进而解得﹣1＜m＜0．
24．（2025·柯桥模拟）如图，矩形ABCD内接于⊙O，BD是对角线，点E在上（不与点A，D重合），连接EC分别交AD，BD于点H，G，BF⊥CE于点F，FG＝FC，连接BE交AD于点P．
（1）如图1，当点E为的中点，BD＝2时，
①求证：∠ABE＝∠CBF．
②求的长．
（2）如图2，若tan∠ADB，求的值．
【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCF+∠DCE＝90°．
∵点E为的中点，
∴，
∴∠DCE＝∠ABE，
∴∠ABE+∠BCF＝90°．
∵BF⊥CE，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF．
②解：连接OE，OC，如图，
∵点E为的中点，
∴，
∴∠ABE＝∠DBE．
∵BF⊥CE于点F，FG＝FC，
∴BG＝BC，
∴∠GBF＝∠CBF，
由①知：∠ABE＝∠CBF，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠DBF＝∠CBF22.5°，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠EOD＝2∠DBE＝45°，
∴∠DOC＝2∠CBD＝90°，
∴∠EOC＝∠EOD+∠DOC＝135°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC＝90°，
∴BD为圆的直径，
∵BD＝2，
∴OE＝OC＝1，
∴的长；
（2）解：连接ED，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC＝90°，
∴BD为圆的直径，
∵tan∠ADB，
∴设AB＝3k，则DC＝AB＝3k，BC＝AD＝4k，
∴BD5k，
∵BF⊥CE于点F，FG＝FC，
∴BG＝BC＝4k，
∴DG＝BD﹣BG＝k，
∵AD∥BC，
∴△DHG∽△BCG，
∴，
∴DHBC＝k，
∴AH＝AD﹣DH＝3k．
∵BD为圆的直径，
∴∠AED＝90°，
∴tan∠EBD．
∵tan∠ECD，∠EBD＝∠ECD，
∴tan∠EBD．
设DE＝a，则BE＝3a，
∵BE2+DE2＝BD2，
∴（3a）2+a2＝（5k）2，
∵a＞0，
∴ak，
∴EDk．
∵∠BAD＝∠PED＝90°，∠APB＝∠EPD，
∴△ABP∽△EDP，
∴，
∴设AP＝6x，则PEx，
∴PD＝AD﹣AP＝4k﹣6x，
∵PE2+DE2＝PD2，
∴，
∴xk（不合题意，舍去）或xk．
∴APk，
∴PH＝AH﹣APk，
∴．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质可证得∠DCE＝∠CBF，再通过圆周角定理可得∠DCE＝∠ABE，进而证得∠ABE＝∠CBF．
由圆周角定理可得∠ABE＝∠DBE，再通过等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠DBE＝∠DBF＝∠CBF=22.5°，故可得∠EOC＝135°，然后通过弧长计算公式计算出的长．
(2)设AB＝3k，则DC＝AB＝3k，BC＝AD＝4k，BD=5k，进而得到DG=k，再通过△DHG∽△BCG求得DH=k，AH=3k，然后通过∠EBD＝∠ECD得到tan∠EBD，设DE＝a，则BE＝3a，利用勾股定理解得，由△ABP∽△EDP可得，设AP＝6x，则PEx，PD＝4k﹣6x，通过勾股定理解得APk，即可求得．
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