黑龙江省齐齐哈尔市2025年中考数学试题
1．（2025·齐齐哈尔）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数，若收入10元记作+10元，则支出10元记作（ ）
A．+10元 B．-10元 C．0元 D．+20元
2．（2025·齐齐哈尔）社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则，下列标志是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A．（3x）2=9x2 B．5x·2x=10x
C．x+x2=x3 D．（x-2）2=x2-4
4．（2025·齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（2025·齐齐哈尔）为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状，右图中飞机的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·齐齐哈尔）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值是（ ）
A． B．
C．或 D．且
7．（2025·齐齐哈尔）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”，为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租）若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9．（2025·齐齐哈尔）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点E从点A山发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线/扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为x（x>0）.下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·齐齐哈尔）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，，且.下列结论：
①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，；⑤关于x的不等式）的解集为.其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2025·齐齐哈尔）中国年水资源总量约为27500亿m，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位.将27500用科学记数法表示为 .
12．（2025·齐齐哈尔）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 .
13．（2025·齐齐哈尔）若圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则其侧而展开图的圆心角为 度.
14．（2025·齐齐哈尔）如图，在□ABCD中，BC=2AB=8，.连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为 .
15．（2025·齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图象与反比例函数
（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC=BC，则实数k的值为 .
16．（2025·齐齐哈尔）等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE=5，tan∠AED=，则△BEC的面积为 .
17．（2025·齐齐哈尔）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边作，使，，再以为边作，使，，过点A，，作弧，记作第1条弧；以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧.按此规律，第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为 .
18．（2025·齐齐哈尔）（1）计算：
（2）分解因式：
19．（2025·齐齐哈尔）解方程：x2-7x=-12
20．（2025·齐齐哈尔）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动，某校响应号召，计划组织全校学牛开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m= .
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为 度；
（4）若该校有3000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？
21．（2025·齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD=∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点B是AD的中点，且BE=3，求⊙O的半径.
22．（2025·齐齐哈尔）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合，为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，Al热情瞬间燃爆，校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个五动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区，机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，C两区相距 米，a= .
（2）求线段EF所在直线的函数解析式；
（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）
23．（2025·齐齐哈尔）综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”
（1）【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'，连接BD，CD'，则CD'与BD的数量关系是 ；∠AD'C与∠ADB的数量关系是 .
（2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，连接E'B，延长E'B交DE的延长线于点F，
求证：四边形CEFE'是正方形；
（3）【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，在其内部取一点E，使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，延长CE'至点G，使，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若AF=2，则BF= .
（4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE'，连接DE'，若AD=3，AB=，则DE'的最小值为 .
24．（2025·齐齐哈尔）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a<0）与x轴交于点A（-1，0），
C（6，0），与y轴交于点B，连接BC.
（1）求抛物线的解析式：
（2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC=24时，求点P的坐标；
（3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG=45°，则点G的坐标为 .
（4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】具有相反意义的量；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 收入10元记作+10元，则支出10元记作 -10元；
故答案为：B.
【分析】根据用正负数表示具有相反意义的量：收入为正，那么支出为负，计算即可解答.
2．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义是在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可解答 .
3．【答案】A
【知识点】单项式乘单项式；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 （3x）2=9x2 ，计算正确，故A符合题意；
B、 5x·2x=10x2，故B不符合题意；
C、 x与x2不能合并，故C不符合题意；
D、 （x-2）2=x2-2x+4，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据积的乘方运算可得 （3x）2=9x2，可判断A；根据单项式乘单项式可得 5x·2x=10x2，可判断B；x与x2不能合并，可判断C；根据完全平方公式计算可得（x-2）2=x2-2x+4，可判断D；逐一判断即可解答.
4．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵a// b， ∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∴ ∠2=∠4=180°- 60°-∠3= 70°，
∴∠2= 70°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1=50°，∠2=∠4，利用三角板的特殊角度计算即可解答.
5．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】
解：从上面看下来，看到的图形是
，即为俯视图，
故答案为：A.
【分析】根据三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，判断即可解答.
6．【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【解答】
解：
去分母得：mx-x=2(1-x)
整理得 ：（1+m）x=2
∵分式方程无解，
∴①x=1为增根，即1+m=2，解得m=1，
②1+m=0，解得m=-1，
综上所述：或 .
故答案为：C .
【分析】根据解分式方程得步骤，化简整理得（1+m）x=2；再分别讨论无解得两种情况，计算即可解答.
7．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设2枚鸟卵全部成功孵化为A，B两只雏鸟，所有可能的结果为： AB两只雏鸟都是雄鸟，两只雏鸟都是雌鸟，A雏鸟是雄鸟B雏鸟是雌鸟，A雏鸟是雌鸟B雏鸟是雄鸟，共有4种等可能结果，其中2只雏鸟都是雄鸟有一种结果，则2只雏鸟都是雄鸟的概率为.
故答案为：D.
【分析】设2枚鸟卵全部成功孵化为A，B两只雏鸟，列出所有可能的结果共有4种等可能结果，其中2只雏鸟都是雄鸟有一种结果，利用概率公式即可求解.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，
由题意得： 45x+ 60y = 900，
∴x= ，
∵x y均为正整数，
∴当y=3时，x=16；
当y=6时，x=12；
当y=9时，x=8；
当y=12时，x=4；
共有4种满足整数解得方法，共有4种方案；
故答案为：B.
【分析】设租用45座客车x辆，60 座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，计算即可解答.
9．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；三角形的面积；含30°角的直角三角形；通过函数图象获取信息；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：当点E在AB上时，如图：
∵，
∴
∴AF==，EF=
∴y=
此图象为开口向上得抛物线得一部分，排除C，D选项；
当E在BC上且l与AD相交时，作BHAD，如图所示：
∵，
∴
∴AH==2，BH=
∴y=
此图像为直线得一部分，
当点E在BC上，且l与CD相交时，如图：
∵，，CE=AB+BC-x=8-x
∴EF=
∴
∴
∴此时图象为开口向下得抛物线得一部分，排除B选项
故答案为：A.
【分析】根据图象获得信息可知：分三种情况讨论，当点E在AB上时；点E在BC上且l与AD相交时；当点E在BC上，且l与CD相交时，分别表示出阴影部分的面积表达式，即可解答.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；数形结合
【解析】【解答】解：①、∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴x=->0
∴b<0，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确，
②、∵二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，
∴a-b+c=0，
∴二次函数y=ax2 + bx +c(a≠0 )的图象与x轴交于两点(-1，0)，(x1，0)，且2∴对称轴
∴a<-b<2a，
∴a-b+c>a+a+c=2a+c，2a+b>0
∴2a+c<0，故②正确；
③、∵b=a+c
∴4a-b+2c=4a- b+2(b-a)= 2a+b>0，
∴4a-b+2c>0，故③错误；
④、如图，
关于x的一元二次方程a(x+ 1)(x-x1)+c=0(a≠0)的两个根，即兩数y=ax2 +bx+c(a≠0)与y=-c交点的横坐标.
∵m<-1<2∴ 若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，； 故④正确；
⑤、∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴y=ax2 +bx+c=a(x+1)(x-x1)=ax2+a(1-x1)x-ax1，
∴b=a(1-x1)， c=-ax1，
∴b-a=-ax1，
∴ax2+bx+c>可化为ax2+(b-a)x>0，
即ax2- ax1x>0，
∵a>0，
∴x2-x1x>0，
解得： x<0或x>x1，
∴ 于x的不等式）的解集为，故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，得出a- b+c=0，进而判断对称轴，得出a< -b<2a，进而判断②和③，根据函数图象判断④.将一般式写成交点式得出b=a(1-x1)，c=-ax1， 化简不等式为x2 -x1x>0求得解集，逐一判断即可解答.
11．【答案】2.75×104
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 27500 =2.75×104
故答案为：2.75×104.
【分析】根据科学记数法的表示形式为ax 10n的形式，其中1≤a< 10， n为整数，且n比原位数少1，即可解答.
12．【答案】x>3且x≠2025
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵代数式有意义，
∴ x-3>0且x- 2025≠0，
解得：x>3且x≠2025，
故答案为：x>3且x≠2025.
【分析】由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得： x-3>0且x- 2025≠0，计算即可解答.
13．【答案】160
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为40cm，
∴底面圆的周长是80cm
∴侧面展开图的扇形弧长为80cm
∴80=
∴n=160
故答案为：160.
【分析】圆锥的底面半径为40cm，则底面圆的周长是80cm，根据展开图的特点可知圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长为80cm，母线长是90m 恨据弧长公式计算即可解答.
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理；线段的中点
【解析】【解答】解：连接AN，
由作图可知，MN 垂直平分AC，
∴AN=CN.
∵点N恰为BC的中点，
∴BC= 2BN=2CN ，
∵BC=2AB= 8，
∴BN=CN=AB=4，
∴ BN= AN= AB=CN=4，
∴ABN是等边三角形，∠CAN=∠ACN ，
∴BAN=ABC=ANB = 60 ，
∵CAN +ACN=ANB ，
∴CAN=ACN =ANB = 30 ，
∴BAC=BAN +CAN = 90 ，
∴AC=.
故答案为：.
【分析】连接AN，利用垂直平分线的性质和中点的定义，先证明ABN是等边三角形，得到CAN=ACN，进一步得到BAC=BAN +CAN=90 ，再根据勾股定理计算即可解答.
15．【答案】-6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：当y=0时，0=-x-1， 解得x=-1，
∴点B的坐标为(-1，0)，
∵点C坐标为(0，3)，
∴BC=
设点A坐标为(m， -m-1)，
∴AC2=(m-0)2+(-m-1-3)2 =2m2 + 8m+16
∵AC2= BC2，
∴2m2 + 8m+16=10，
解得m=-3，m=-1 (不合题意，舍去)
∴m=-3，
∴点A坐标为(-3，2)，
∴2=
解得k=-6，
故答案为：-6.
【分析】先由一次函数的解析式求出点B的坐标为(-1，0)；再利用勾股定理求出BC，利用两点之间的距离公式求出AC2，再根据AC= BC列方程，解方程并进一步即可得到点A坐标为( -3.2)，利用待定系数法即可求出实数k的值，解答即可.
16．【答案】或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当∠BAC为锐角时，如图，
根据题意得∠ADE = 90，
∴tan∠AED=.
设AD=3x，则DE = 4x，
∵AE=5.
∴AD2 +DE2=AE2，即(3x)2+(4x)2=52，解得x=1，
∴AD=3，DE=4，
由折叠得AB= 2AD=6，
∴AC=6，
∴，
过点C作CF⊥AB于点F，则CF // DE，
∴ADECAFE，
∴即，
∴CF=，
∴，
∴
过点B作BG于点G，则
∴
同（1）可得AE=5，AB=AC=6，
∴CE=AC+AE=
∴
综上所述， △BEC的面积为或.
故答案为：或.
【分析】分∠BAC为锐角和钝角两种情况讨论求解：①当∠BAC为锐角时求出AD=3，DE=4，由折叠得AB=6，可求得，再利用相似计算出，再利用面积之差计算即可解答；②当∠BAC为钝角时，过点B作BG⊥CE于点G，得出，可求出CE，从而利用面积公式计算即可解答.
17．【答案】
【知识点】点的坐标；解直角三角形—含30°角直角三角形；探索规律-点的坐标规律；求正弦值；求余弦值
【解析】【解答】解：由题：OA=2，
，
，
，
……
∴
∵ 过点A，，作弧，
过点，，作弧，记作第2条弧，
∴组成第2025条弧，
∴第2025条弧上于原点O距离最小的点为
∴=
∵AOA1=30，A1OA2=30，A2OA3=30，A3OA4=30， ...，
∴12次操作循环一周，
∵404812 = 3374.
∴AOA4048 = 120°，
过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示：
aaa
∴MOA4048 = 60°，
∴OM=OA4048 ×cos60°=32×2404932024=2404832024 ，
A4048M=OA4048 ×sin60°=32×2404932024=24048332024 ，
∴A4048，
故答案为：.
【分析】根据题意找出一般规律，根据题意得出组成第2025条弧，
即可得到第2025条弧上于原点O距离最小的点为，结合题干发现循环规律12次操作循环一周，
过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示：根据MOA4048 = 60°，解直角三角形得到OM，A4048M ，即可解答.
18．【答案】（1）解：原式=3-+1+-9
=-5
（2）解：原式=2x(x2-4)
=2x(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；负整数指数幂；实数的绝对值；开平方（求平方根）
【解析】【分析】(1)先开方计算得 ，计算绝对值，在计算特殊角的三角函数，再算负指数幂得，最后计算加减，即可解答；
(2)先提公因式得2x(x2-4)，再用平方差公式因式分解即可解答.
19．【答案】解：x2-7x+12=0
(x-4)(x-3)=0
x-4=0或x-3=0
x1=4，x2=3
【知识点】解一元一次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用十字相乘法分解即可得答案.
20．【答案】（1）24
（2）解：随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：50-12-18-4=16（人），补全条形统计图如下：
（3）86.4
（4）解：(4)18÷36%=50（人)，3000××100%=960（人)
答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有960人，
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）随机抽取部分学生的总人数为1836%=50（人），
m%=x100%=24%，
即m=24，
故答案为：24
（3）“足球”对应扇形的圆心角为360°x24%=86.4°，
故答案为：86.4
【分析】（1）先根据排球的数据求出抽取部分学生的总人数为1836%=50（人），即可求出m%=x100%=24%，即可解答；
（2）利用总数50即可求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：50-12-18-4=16（人），画出图形即可解答；
（3）找到“足球”所占的的百分比24%，即可利用360°x24%=86.4°，计算即可解答；
（4）根据样本估计总体，用总数3000乘以样本的百分比×100%，计算即可解答.
21．【答案】（1）证明：连接OC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB.
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠OCB=90°
即∠OCD=90°
∴OC⊥CD.
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵点B是AD的中点，
∴.
∵.
∴.
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴.
在中
.
∴.
即半径为.
【知识点】垂线的概念；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；求正弦值
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和余角的定义得到∠A+∠ABC=90°，利用等边对等角可得∠ABC=∠OCB，结合已知条件即可得∠OCD=90°，根据切线的判定即可解答；
（2）由中点的定义得到，结合已知条件计算可得，结合正弦得定义可得，利用勾股定理计算即可解答.
22．【答案】（1）240；7.5
（2）解：由题意知乙机器人从C区到B区所用时间为（分）
设线段EF所在直线解析式为
将E(9，0)，F(15，90)代入得
解得
线段EF所在直线解析式为
（3）7分或11分或13分.
【知识点】解一元一次方程；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】
（1）解：由题意可得：A，C两区相距为150+90=240（米)，
由题意可知，a表示甲到达B区的时间，则a==7.5，
故答案为：240，7.5；
（3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，
则150-20x+90-10x=30，
解得x=7，
即机器人乙行进的时间为7分时，机器人甲、乙相距30米；
机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，
则15t-135=30，
解得t=11，
即机器人乙行进的时间为11分时，机器人甲、乙相距30米；
机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米，
当12≤x≤15时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为
y=kx+b(k0)，把(12，0)，F(15，90)代入得到，
解得：
∴线段所在直线的函数解析式为：y=30x-360；
则(15n-135)-(30n-360)=30，
解得n=13，
即机器人乙行进的时间为13分时，机器人甲、乙相距30米；
综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米，
故答案为：7分或11分或13分.
【分析】
(1)观察图像A，C两区相距为150+90=240，利用时间等于路程除以速度即可解答；
（2）由题意得出，利用待定系数法求出线段EF所在直线解析式为，解答即可；
（3）分类讨论：机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，列方程150-20x+90-10x=30，计算即可解答；机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，列方程15t-135=30，计算即可解答；当12≤x≤15时，利用待定系数法求解y=30x-360；建立方程(15n-135)-(30n-360)=30，计算即可解答.
23．【答案】（1）相等（或CD'=BD）；相等（或∠AD'C=∠ADB)
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
∵CE绕点C逆时针旋转得到CE'，
∴，.
∵，
∴即.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴∠BE'C=∠ECE'=∠CEF=90°.
∴四边形CEFE'是矩形.
又∵CE=CE'，
∴四边形CEFE'是正方形.
（3）
（4）
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；正方形的判定；旋转的性质；四点共圆模型
【解析】【解答】
解：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'，
∴∠DAD'=90°，AD=AD'
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAD'=∠DAC，即 ∠DAB=∠D'AC
又∵AB=AC，
∴DABDAC(SAS)
：.CD'=BD；∠AD'C=∠ADB
故答案为：相等（或CD'=BD)；相等（或∠AD'C=∠ADB ).
（3）∵CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，
∴ ∠ECE’=90°，CE=CE
∵，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴CD=AB=3，
∴，
∴，
∵∠DCB=∠ECE'=90°，
∴ ∠DCB-∠BCE=∠ECE'-∠BCE 即 ∠DCE=∠BCE'
∴BCG∽DCE
∴∠BGC =∠DEC =90°
∵ ∠CED+∠CEF =180°
∴∠CEF =90°
∴∠BGC =∠ECG=∠CEF =90°
∴四边形CEFG是矩形，
如图，连接AC，BD交于点O，连接OF
∵O是AC，BD的中点，
在RtOBF 中，OF=BD
∴OF==AC=OA=OC=OD=OB
∴A，F，B，C，D共圆，
∴∠AFC=90°，
∵AD=BC
∴，
∴∠GFC=∠ACD，
在RtABC中，AC==5，
∴cos∠ACD=，
∵AF=2，
∴在RtAFC中，FC==，
∴FG=FCcos∠CFG=，
∵，
∴∠BFC=∠BAC，
又∠AFC=∠G=90°，
∴∠ACB= ∠FCG，
∴∠ACB-∠FBC=∠FCG-∠FBC，即∠ACF=∠BCG，
∴sin ∠ACF ==sin∠BCG=，
∴，
∴BG=，
∴BF=，
故答案为：.
(4)如图，连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°，AO=OB
∴AD=3，AB =，
∴AC=BD=
∴AO=OB=AB=
∴AOB是等边三角形，则∠OAB=60°
∵线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AE=AE'，∠EAE'=60°
∴∠OAB=∠EAE'=60°
∴∠OAB-∠OAE=∠EAE'-∠OAE，即∠E'AO=∠EAB
又OA=BA，EA=EA
∴E'AOEAB(SAS)，
∴∠AOE'=∠ABE=90°
∴E'在OE'上运动，且E'O⊥AC
∴当DE'⊥OE'时，DE取得最小值，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOD=120°，
又∠AOE'=90°，
∴∠E'OD=30，
∴当DE'OE'时，DE'=OD=，
故答案为：.
【分析】(1)根据旋转的性质和角度的和差运算，即可利用SAS证明DABDAC，再根据全等三角形的性质，即可解答；
（2）根据正方形的性质和旋转的性质可利用SAS证明，根据全等三角形的性质可得，进一步可证明四边形CEFE'是矩形，结合CE=CE'，即可解答；
（3）根据旋转的性质通过计算得，即可利用SAS证明BCG∽DCE，根据相似三角形的性质和角度的数量计算得到四边形CEFG是矩形，如图，连接AC，BD交于点O，连接OF，根据中点的定义可得A，F，B，C，D共圆，即可利用勾股定理计算得到AC，FC；根据余弦的定义即可求出FG，根据正弦的定义得到sin ∠ACF ==sin∠BCG=，建立关系计算即可得到答案；
（4）如图，连接AC，BD交于点O，根据矩形的性质得到AOB是等边三角形，则∠OAB=60°；由旋转的性质得到AE=AE'，∠EAE'=60°，即可利用SAS证明E'AOEAB，即可得到E'在OE'上运动，且E'O⊥AC，可知当DE'⊥OE'时，DE取得最小值，即可通过30角度的性质计算可得答案，解答即可.
24．【答案】（1）解：将，代入抛物线的解析式，得
抛物线的解析式为
（2）解：过点作交y轴于点，连接CQ.
则
∴BQ·CO=24
∵点C(6，0)
∴CO=6
∴BQ=8
当x=0时，y=3
∴B(0，3)
∴点Q(0，-5)
∵B(0，3)，C(6，0)
∴Увс=x+3
∵PQ//BC
∴уPQ=x-5
解方程组得，，
（3）（11，-30）
（4）
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】
解：（3）如图，将△BOC以点C为中心，逆时针旋转90°，得到△THC，连接BT，则△BCT为等腰直角三
角形，
∴∠CBT =45°，
∵点G是第四象限内抛物线上的一点，∠CBG=45°，
∴点G为BT延长线与抛物线的交点，
由旋转可知，CH⊥OC，CH=CO=6，TH=OB=3，∠CHT=∠COB=90°，
∴点T的横坐标为6-3=3，纵坐标为-6，
∴T(3，-6)，
设BT所在直线的解析式为y=mx+n，则
解得
∴BT所在直线的解析式为y＝-3x+3，
由，解得x=0或x=11，
∵点G在第四象限，
∴点G的横坐标为正数，
∴点G的横坐标为11，纵坐标为-3x11+3=-30，
∴G(11，-30)；
故答案为：(11，-30).
(4)如图，连接OE，交MN于点K，连接DK，
∵点B和点Ｄ关于x轴对称，点B在y轴上，OB=3，
∴点D在y轴上，OD=3，
∵l过点D，且平行于x轴，∠COD=90°，
∴∠ODE=90°，
又∵CE⊥l于点E，
∴四边形ODEC为矩形，
∴CE=OD=3，
∴DE=OC =6，
∴OE=
根据题意可知，NE=2MO，
∴
∵DE//OC，
∴ ∠MOK=∠NEK，∠OMK=∠ENK，
∴△NKE△MKO，
∴
∴，
作KH⊥l于点H，则△EHK∽△EDO，
∴
∴KH=，EH=
∴DH=6-4=2，DK=
取DK中点记为L，连接LF，CL，则LD=LK=，
又∵∠DFK=90°，
∴LF=DK=，
∴LF+CF≥CL，
∴CF≥CL-LF，当且仅当点C、点F、点L共线时，CF取得最小值，
作LS⊥DE于点S，作LR⊥CE于点R，交KH于点W，连接CD，则四边形LSER为矩形，
∴ER=SL，LR=ES，
∵KH=DH=2，点L为DK的中点，
∴DS=SL=1，
∴LR=6-1=5，CR=3-1=2
∴CL=，
∴CF，
当点N到达点D时，点F、点N、点D重合，此时CF取得最大值，
∵CD =OE =3，
∴CF3，
∴CF 的取值范围是≤CF≤3，
故答案为：.
【分析】（1）用待定系数法将，代入抛物线的解析式，计算即可解答；
（2）过点作交y轴于点，连接CQ.即可得到，利用面积公式建立关系得到BQ·CO=24，即可得到BQ=8，在求出抛物线与坐标轴的交点B(0，3)，C(6，0)，利用待定系数法求出直线BC的解析式Увс=x+3，解直线和抛物线组成的方程组，计算即可解答；
（3）如图，将△BOC以点C为中心，逆时针旋转90°，得到△THC，连接BT，则△BCT为等腰直角三
角形，得到∠CBT =45°，由旋转的性质可求得T的坐标，再用待定系数法求得BT所在直线的解析式为y＝-3x+3，联立直线和抛物线的方程，计算即可解答；
（4）连接OE，交MN于点K，连接DK，先证明四边形ODEC为矩形，在利用勾股定理求得OE，利用AA证明△NKE△MKO，根据相似的性质建立比例转后可得，再证明△EHK∽△EDO，建立比例计算可得KH=，EH=，即可求DH，DK；取DK中点记为L，连接LF，CL，则LD=LK=，根据三角形三边关系可得CF≥CL-LF，当且仅当点C、点F、点L共线时，CF取得最小值；作LS⊥DE于点S，作LR⊥CE于点R，交KH于点W，连接CD，则四边形LSER为矩形；当点N到达点D时，点F、点N、点D重合，此时CF取得最大值，利用矩形的性质和勾股定理计算即可解答.
1 / 1黑龙江省齐齐哈尔市2025年中考数学试题
1．（2025·齐齐哈尔）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数，若收入10元记作+10元，则支出10元记作（ ）
A．+10元 B．-10元 C．0元 D．+20元
【答案】B
【知识点】具有相反意义的量；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 收入10元记作+10元，则支出10元记作 -10元；
故答案为：B.
【分析】根据用正负数表示具有相反意义的量：收入为正，那么支出为负，计算即可解答.
2．（2025·齐齐哈尔）社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则，下列标志是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义是在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可解答 .
3．（2025·齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A．（3x）2=9x2 B．5x·2x=10x
C．x+x2=x3 D．（x-2）2=x2-4
【答案】A
【知识点】单项式乘单项式；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 （3x）2=9x2 ，计算正确，故A符合题意；
B、 5x·2x=10x2，故B不符合题意；
C、 x与x2不能合并，故C不符合题意；
D、 （x-2）2=x2-2x+4，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据积的乘方运算可得 （3x）2=9x2，可判断A；根据单项式乘单项式可得 5x·2x=10x2，可判断B；x与x2不能合并，可判断C；根据完全平方公式计算可得（x-2）2=x2-2x+4，可判断D；逐一判断即可解答.
4．（2025·齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵a// b， ∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∴ ∠2=∠4=180°- 60°-∠3= 70°，
∴∠2= 70°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1=50°，∠2=∠4，利用三角板的特殊角度计算即可解答.
5．（2025·齐齐哈尔）为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状，右图中飞机的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】
解：从上面看下来，看到的图形是
，即为俯视图，
故答案为：A.
【分析】根据三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，判断即可解答.
6．（2025·齐齐哈尔）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值是（ ）
A． B．
C．或 D．且
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【解答】
解：
去分母得：mx-x=2(1-x)
整理得 ：（1+m）x=2
∵分式方程无解，
∴①x=1为增根，即1+m=2，解得m=1，
②1+m=0，解得m=-1，
综上所述：或 .
故答案为：C .
【分析】根据解分式方程得步骤，化简整理得（1+m）x=2；再分别讨论无解得两种情况，计算即可解答.
7．（2025·齐齐哈尔）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设2枚鸟卵全部成功孵化为A，B两只雏鸟，所有可能的结果为： AB两只雏鸟都是雄鸟，两只雏鸟都是雌鸟，A雏鸟是雄鸟B雏鸟是雌鸟，A雏鸟是雌鸟B雏鸟是雄鸟，共有4种等可能结果，其中2只雏鸟都是雄鸟有一种结果，则2只雏鸟都是雄鸟的概率为.
故答案为：D.
【分析】设2枚鸟卵全部成功孵化为A，B两只雏鸟，列出所有可能的结果共有4种等可能结果，其中2只雏鸟都是雄鸟有一种结果，利用概率公式即可求解.
8．（2025·齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”，为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租）若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，
由题意得： 45x+ 60y = 900，
∴x= ，
∵x y均为正整数，
∴当y=3时，x=16；
当y=6时，x=12；
当y=9时，x=8；
当y=12时，x=4；
共有4种满足整数解得方法，共有4种方案；
故答案为：B.
【分析】设租用45座客车x辆，60 座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，计算即可解答.
9．（2025·齐齐哈尔）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点E从点A山发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线/扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为x（x>0）.下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；三角形的面积；含30°角的直角三角形；通过函数图象获取信息；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：当点E在AB上时，如图：
∵，
∴
∴AF==，EF=
∴y=
此图象为开口向上得抛物线得一部分，排除C，D选项；
当E在BC上且l与AD相交时，作BHAD，如图所示：
∵，
∴
∴AH==2，BH=
∴y=
此图像为直线得一部分，
当点E在BC上，且l与CD相交时，如图：
∵，，CE=AB+BC-x=8-x
∴EF=
∴
∴
∴此时图象为开口向下得抛物线得一部分，排除B选项
故答案为：A.
【分析】根据图象获得信息可知：分三种情况讨论，当点E在AB上时；点E在BC上且l与AD相交时；当点E在BC上，且l与CD相交时，分别表示出阴影部分的面积表达式，即可解答.
10．（2025·齐齐哈尔）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，，且.下列结论：
①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，；⑤关于x的不等式）的解集为.其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；数形结合
【解析】【解答】解：①、∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴x=->0
∴b<0，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确，
②、∵二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，
∴a-b+c=0，
∴二次函数y=ax2 + bx +c(a≠0 )的图象与x轴交于两点(-1，0)，(x1，0)，且2∴对称轴
∴a<-b<2a，
∴a-b+c>a+a+c=2a+c，2a+b>0
∴2a+c<0，故②正确；
③、∵b=a+c
∴4a-b+2c=4a- b+2(b-a)= 2a+b>0，
∴4a-b+2c>0，故③错误；
④、如图，
关于x的一元二次方程a(x+ 1)(x-x1)+c=0(a≠0)的两个根，即兩数y=ax2 +bx+c(a≠0)与y=-c交点的横坐标.
∵m<-1<2∴ 若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，； 故④正确；
⑤、∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴y=ax2 +bx+c=a(x+1)(x-x1)=ax2+a(1-x1)x-ax1，
∴b=a(1-x1)， c=-ax1，
∴b-a=-ax1，
∴ax2+bx+c>可化为ax2+(b-a)x>0，
即ax2- ax1x>0，
∵a>0，
∴x2-x1x>0，
解得： x<0或x>x1，
∴ 于x的不等式）的解集为，故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，得出a- b+c=0，进而判断对称轴，得出a< -b<2a，进而判断②和③，根据函数图象判断④.将一般式写成交点式得出b=a(1-x1)，c=-ax1， 化简不等式为x2 -x1x>0求得解集，逐一判断即可解答.
11．（2025·齐齐哈尔）中国年水资源总量约为27500亿m，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位.将27500用科学记数法表示为 .
【答案】2.75×104
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 27500 =2.75×104
故答案为：2.75×104.
【分析】根据科学记数法的表示形式为ax 10n的形式，其中1≤a< 10， n为整数，且n比原位数少1，即可解答.
12．（2025·齐齐哈尔）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 .
【答案】x>3且x≠2025
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵代数式有意义，
∴ x-3>0且x- 2025≠0，
解得：x>3且x≠2025，
故答案为：x>3且x≠2025.
【分析】由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得： x-3>0且x- 2025≠0，计算即可解答.
13．（2025·齐齐哈尔）若圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则其侧而展开图的圆心角为 度.
【答案】160
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为40cm，
∴底面圆的周长是80cm
∴侧面展开图的扇形弧长为80cm
∴80=
∴n=160
故答案为：160.
【分析】圆锥的底面半径为40cm，则底面圆的周长是80cm，根据展开图的特点可知圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长为80cm，母线长是90m 恨据弧长公式计算即可解答.
14．（2025·齐齐哈尔）如图，在□ABCD中，BC=2AB=8，.连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理；线段的中点
【解析】【解答】解：连接AN，
由作图可知，MN 垂直平分AC，
∴AN=CN.
∵点N恰为BC的中点，
∴BC= 2BN=2CN ，
∵BC=2AB= 8，
∴BN=CN=AB=4，
∴ BN= AN= AB=CN=4，
∴ABN是等边三角形，∠CAN=∠ACN ，
∴BAN=ABC=ANB = 60 ，
∵CAN +ACN=ANB ，
∴CAN=ACN =ANB = 30 ，
∴BAC=BAN +CAN = 90 ，
∴AC=.
故答案为：.
【分析】连接AN，利用垂直平分线的性质和中点的定义，先证明ABN是等边三角形，得到CAN=ACN，进一步得到BAC=BAN +CAN=90 ，再根据勾股定理计算即可解答.
15．（2025·齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图象与反比例函数
（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC=BC，则实数k的值为 .
【答案】-6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：当y=0时，0=-x-1， 解得x=-1，
∴点B的坐标为(-1，0)，
∵点C坐标为(0，3)，
∴BC=
设点A坐标为(m， -m-1)，
∴AC2=(m-0)2+(-m-1-3)2 =2m2 + 8m+16
∵AC2= BC2，
∴2m2 + 8m+16=10，
解得m=-3，m=-1 (不合题意，舍去)
∴m=-3，
∴点A坐标为(-3，2)，
∴2=
解得k=-6，
故答案为：-6.
【分析】先由一次函数的解析式求出点B的坐标为(-1，0)；再利用勾股定理求出BC，利用两点之间的距离公式求出AC2，再根据AC= BC列方程，解方程并进一步即可得到点A坐标为( -3.2)，利用待定系数法即可求出实数k的值，解答即可.
16．（2025·齐齐哈尔）等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE=5，tan∠AED=，则△BEC的面积为 .
【答案】或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当∠BAC为锐角时，如图，
根据题意得∠ADE = 90，
∴tan∠AED=.
设AD=3x，则DE = 4x，
∵AE=5.
∴AD2 +DE2=AE2，即(3x)2+(4x)2=52，解得x=1，
∴AD=3，DE=4，
由折叠得AB= 2AD=6，
∴AC=6，
∴，
过点C作CF⊥AB于点F，则CF // DE，
∴ADECAFE，
∴即，
∴CF=，
∴，
∴
过点B作BG于点G，则
∴
同（1）可得AE=5，AB=AC=6，
∴CE=AC+AE=
∴
综上所述， △BEC的面积为或.
故答案为：或.
【分析】分∠BAC为锐角和钝角两种情况讨论求解：①当∠BAC为锐角时求出AD=3，DE=4，由折叠得AB=6，可求得，再利用相似计算出，再利用面积之差计算即可解答；②当∠BAC为钝角时，过点B作BG⊥CE于点G，得出，可求出CE，从而利用面积公式计算即可解答.
17．（2025·齐齐哈尔）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边作，使，，再以为边作，使，，过点A，，作弧，记作第1条弧；以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧.按此规律，第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为 .
【答案】
【知识点】点的坐标；解直角三角形—含30°角直角三角形；探索规律-点的坐标规律；求正弦值；求余弦值
【解析】【解答】解：由题：OA=2，
，
，
，
……
∴
∵ 过点A，，作弧，
过点，，作弧，记作第2条弧，
∴组成第2025条弧，
∴第2025条弧上于原点O距离最小的点为
∴=
∵AOA1=30，A1OA2=30，A2OA3=30，A3OA4=30， ...，
∴12次操作循环一周，
∵404812 = 3374.
∴AOA4048 = 120°，
过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示：
aaa
∴MOA4048 = 60°，
∴OM=OA4048 ×cos60°=32×2404932024=2404832024 ，
A4048M=OA4048 ×sin60°=32×2404932024=24048332024 ，
∴A4048，
故答案为：.
【分析】根据题意找出一般规律，根据题意得出组成第2025条弧，
即可得到第2025条弧上于原点O距离最小的点为，结合题干发现循环规律12次操作循环一周，
过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示：根据MOA4048 = 60°，解直角三角形得到OM，A4048M ，即可解答.
18．（2025·齐齐哈尔）（1）计算：
（2）分解因式：
【答案】（1）解：原式=3-+1+-9
=-5
（2）解：原式=2x(x2-4)
=2x(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；负整数指数幂；实数的绝对值；开平方（求平方根）
【解析】【分析】(1)先开方计算得 ，计算绝对值，在计算特殊角的三角函数，再算负指数幂得，最后计算加减，即可解答；
(2)先提公因式得2x(x2-4)，再用平方差公式因式分解即可解答.
19．（2025·齐齐哈尔）解方程：x2-7x=-12
【答案】解：x2-7x+12=0
(x-4)(x-3)=0
x-4=0或x-3=0
x1=4，x2=3
【知识点】解一元一次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用十字相乘法分解即可得答案.
20．（2025·齐齐哈尔）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动，某校响应号召，计划组织全校学牛开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m= .
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为 度；
（4）若该校有3000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？
【答案】（1）24
（2）解：随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：50-12-18-4=16（人），补全条形统计图如下：
（3）86.4
（4）解：(4)18÷36%=50（人)，3000××100%=960（人)
答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有960人，
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）随机抽取部分学生的总人数为1836%=50（人），
m%=x100%=24%，
即m=24，
故答案为：24
（3）“足球”对应扇形的圆心角为360°x24%=86.4°，
故答案为：86.4
【分析】（1）先根据排球的数据求出抽取部分学生的总人数为1836%=50（人），即可求出m%=x100%=24%，即可解答；
（2）利用总数50即可求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：50-12-18-4=16（人），画出图形即可解答；
（3）找到“足球”所占的的百分比24%，即可利用360°x24%=86.4°，计算即可解答；
（4）根据样本估计总体，用总数3000乘以样本的百分比×100%，计算即可解答.
21．（2025·齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD=∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点B是AD的中点，且BE=3，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接OC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB.
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠OCB=90°
即∠OCD=90°
∴OC⊥CD.
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵点B是AD的中点，
∴.
∵.
∴.
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴.
在中
.
∴.
即半径为.
【知识点】垂线的概念；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；求正弦值
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和余角的定义得到∠A+∠ABC=90°，利用等边对等角可得∠ABC=∠OCB，结合已知条件即可得∠OCD=90°，根据切线的判定即可解答；
（2）由中点的定义得到，结合已知条件计算可得，结合正弦得定义可得，利用勾股定理计算即可解答.
22．（2025·齐齐哈尔）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合，为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，Al热情瞬间燃爆，校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个五动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区，机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，C两区相距 米，a= .
（2）求线段EF所在直线的函数解析式；
（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）
【答案】（1）240；7.5
（2）解：由题意知乙机器人从C区到B区所用时间为（分）
设线段EF所在直线解析式为
将E(9，0)，F(15，90)代入得
解得
线段EF所在直线解析式为
（3）7分或11分或13分.
【知识点】解一元一次方程；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】
（1）解：由题意可得：A，C两区相距为150+90=240（米)，
由题意可知，a表示甲到达B区的时间，则a==7.5，
故答案为：240，7.5；
（3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，
则150-20x+90-10x=30，
解得x=7，
即机器人乙行进的时间为7分时，机器人甲、乙相距30米；
机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，
则15t-135=30，
解得t=11，
即机器人乙行进的时间为11分时，机器人甲、乙相距30米；
机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米，
当12≤x≤15时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为
y=kx+b(k0)，把(12，0)，F(15，90)代入得到，
解得：
∴线段所在直线的函数解析式为：y=30x-360；
则(15n-135)-(30n-360)=30，
解得n=13，
即机器人乙行进的时间为13分时，机器人甲、乙相距30米；
综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米，
故答案为：7分或11分或13分.
【分析】
(1)观察图像A，C两区相距为150+90=240，利用时间等于路程除以速度即可解答；
（2）由题意得出，利用待定系数法求出线段EF所在直线解析式为，解答即可；
（3）分类讨论：机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，列方程150-20x+90-10x=30，计算即可解答；机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，列方程15t-135=30，计算即可解答；当12≤x≤15时，利用待定系数法求解y=30x-360；建立方程(15n-135)-(30n-360)=30，计算即可解答.
23．（2025·齐齐哈尔）综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”
（1）【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'，连接BD，CD'，则CD'与BD的数量关系是 ；∠AD'C与∠ADB的数量关系是 .
（2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，连接E'B，延长E'B交DE的延长线于点F，
求证：四边形CEFE'是正方形；
（3）【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，在其内部取一点E，使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，延长CE'至点G，使，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若AF=2，则BF= .
（4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE'，连接DE'，若AD=3，AB=，则DE'的最小值为 .
【答案】（1）相等（或CD'=BD）；相等（或∠AD'C=∠ADB)
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
∵CE绕点C逆时针旋转得到CE'，
∴，.
∵，
∴即.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴∠BE'C=∠ECE'=∠CEF=90°.
∴四边形CEFE'是矩形.
又∵CE=CE'，
∴四边形CEFE'是正方形.
（3）
（4）
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；正方形的判定；旋转的性质；四点共圆模型
【解析】【解答】
解：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'，
∴∠DAD'=90°，AD=AD'
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAD'=∠DAC，即 ∠DAB=∠D'AC
又∵AB=AC，
∴DABDAC(SAS)
：.CD'=BD；∠AD'C=∠ADB
故答案为：相等（或CD'=BD)；相等（或∠AD'C=∠ADB ).
（3）∵CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，
∴ ∠ECE’=90°，CE=CE
∵，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴CD=AB=3，
∴，
∴，
∵∠DCB=∠ECE'=90°，
∴ ∠DCB-∠BCE=∠ECE'-∠BCE 即 ∠DCE=∠BCE'
∴BCG∽DCE
∴∠BGC =∠DEC =90°
∵ ∠CED+∠CEF =180°
∴∠CEF =90°
∴∠BGC =∠ECG=∠CEF =90°
∴四边形CEFG是矩形，
如图，连接AC，BD交于点O，连接OF
∵O是AC，BD的中点，
在RtOBF 中，OF=BD
∴OF==AC=OA=OC=OD=OB
∴A，F，B，C，D共圆，
∴∠AFC=90°，
∵AD=BC
∴，
∴∠GFC=∠ACD，
在RtABC中，AC==5，
∴cos∠ACD=，
∵AF=2，
∴在RtAFC中，FC==，
∴FG=FCcos∠CFG=，
∵，
∴∠BFC=∠BAC，
又∠AFC=∠G=90°，
∴∠ACB= ∠FCG，
∴∠ACB-∠FBC=∠FCG-∠FBC，即∠ACF=∠BCG，
∴sin ∠ACF ==sin∠BCG=，
∴，
∴BG=，
∴BF=，
故答案为：.
(4)如图，连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°，AO=OB
∴AD=3，AB =，
∴AC=BD=
∴AO=OB=AB=
∴AOB是等边三角形，则∠OAB=60°
∵线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AE=AE'，∠EAE'=60°
∴∠OAB=∠EAE'=60°
∴∠OAB-∠OAE=∠EAE'-∠OAE，即∠E'AO=∠EAB
又OA=BA，EA=EA
∴E'AOEAB(SAS)，
∴∠AOE'=∠ABE=90°
∴E'在OE'上运动，且E'O⊥AC
∴当DE'⊥OE'时，DE取得最小值，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOD=120°，
又∠AOE'=90°，
∴∠E'OD=30，
∴当DE'OE'时，DE'=OD=，
故答案为：.
【分析】(1)根据旋转的性质和角度的和差运算，即可利用SAS证明DABDAC，再根据全等三角形的性质，即可解答；
（2）根据正方形的性质和旋转的性质可利用SAS证明，根据全等三角形的性质可得，进一步可证明四边形CEFE'是矩形，结合CE=CE'，即可解答；
（3）根据旋转的性质通过计算得，即可利用SAS证明BCG∽DCE，根据相似三角形的性质和角度的数量计算得到四边形CEFG是矩形，如图，连接AC，BD交于点O，连接OF，根据中点的定义可得A，F，B，C，D共圆，即可利用勾股定理计算得到AC，FC；根据余弦的定义即可求出FG，根据正弦的定义得到sin ∠ACF ==sin∠BCG=，建立关系计算即可得到答案；
（4）如图，连接AC，BD交于点O，根据矩形的性质得到AOB是等边三角形，则∠OAB=60°；由旋转的性质得到AE=AE'，∠EAE'=60°，即可利用SAS证明E'AOEAB，即可得到E'在OE'上运动，且E'O⊥AC，可知当DE'⊥OE'时，DE取得最小值，即可通过30角度的性质计算可得答案，解答即可.
24．（2025·齐齐哈尔）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a<0）与x轴交于点A（-1，0），
C（6，0），与y轴交于点B，连接BC.
（1）求抛物线的解析式：
（2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC=24时，求点P的坐标；
（3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG=45°，则点G的坐标为 .
（4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是 .
【答案】（1）解：将，代入抛物线的解析式，得
抛物线的解析式为
（2）解：过点作交y轴于点，连接CQ.
则
∴BQ·CO=24
∵点C(6，0)
∴CO=6
∴BQ=8
当x=0时，y=3
∴B(0，3)
∴点Q(0，-5)
∵B(0，3)，C(6，0)
∴Увс=x+3
∵PQ//BC
∴уPQ=x-5
解方程组得，，
（3）（11，-30）
（4）
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】
解：（3）如图，将△BOC以点C为中心，逆时针旋转90°，得到△THC，连接BT，则△BCT为等腰直角三
角形，
∴∠CBT =45°，
∵点G是第四象限内抛物线上的一点，∠CBG=45°，
∴点G为BT延长线与抛物线的交点，
由旋转可知，CH⊥OC，CH=CO=6，TH=OB=3，∠CHT=∠COB=90°，
∴点T的横坐标为6-3=3，纵坐标为-6，
∴T(3，-6)，
设BT所在直线的解析式为y=mx+n，则
解得
∴BT所在直线的解析式为y＝-3x+3，
由，解得x=0或x=11，
∵点G在第四象限，
∴点G的横坐标为正数，
∴点G的横坐标为11，纵坐标为-3x11+3=-30，
∴G(11，-30)；
故答案为：(11，-30).
(4)如图，连接OE，交MN于点K，连接DK，
∵点B和点Ｄ关于x轴对称，点B在y轴上，OB=3，
∴点D在y轴上，OD=3，
∵l过点D，且平行于x轴，∠COD=90°，
∴∠ODE=90°，
又∵CE⊥l于点E，
∴四边形ODEC为矩形，
∴CE=OD=3，
∴DE=OC =6，
∴OE=
根据题意可知，NE=2MO，
∴
∵DE//OC，
∴ ∠MOK=∠NEK，∠OMK=∠ENK，
∴△NKE△MKO，
∴
∴，
作KH⊥l于点H，则△EHK∽△EDO，
∴
∴KH=，EH=
∴DH=6-4=2，DK=
取DK中点记为L，连接LF，CL，则LD=LK=，
又∵∠DFK=90°，
∴LF=DK=，
∴LF+CF≥CL，
∴CF≥CL-LF，当且仅当点C、点F、点L共线时，CF取得最小值，
作LS⊥DE于点S，作LR⊥CE于点R，交KH于点W，连接CD，则四边形LSER为矩形，
∴ER=SL，LR=ES，
∵KH=DH=2，点L为DK的中点，
∴DS=SL=1，
∴LR=6-1=5，CR=3-1=2
∴CL=，
∴CF，
当点N到达点D时，点F、点N、点D重合，此时CF取得最大值，
∵CD =OE =3，
∴CF3，
∴CF 的取值范围是≤CF≤3，
故答案为：.
【分析】（1）用待定系数法将，代入抛物线的解析式，计算即可解答；
（2）过点作交y轴于点，连接CQ.即可得到，利用面积公式建立关系得到BQ·CO=24，即可得到BQ=8，在求出抛物线与坐标轴的交点B(0，3)，C(6，0)，利用待定系数法求出直线BC的解析式Увс=x+3，解直线和抛物线组成的方程组，计算即可解答；
（3）如图，将△BOC以点C为中心，逆时针旋转90°，得到△THC，连接BT，则△BCT为等腰直角三
角形，得到∠CBT =45°，由旋转的性质可求得T的坐标，再用待定系数法求得BT所在直线的解析式为y＝-3x+3，联立直线和抛物线的方程，计算即可解答；
（4）连接OE，交MN于点K，连接DK，先证明四边形ODEC为矩形，在利用勾股定理求得OE，利用AA证明△NKE△MKO，根据相似的性质建立比例转后可得，再证明△EHK∽△EDO，建立比例计算可得KH=，EH=，即可求DH，DK；取DK中点记为L，连接LF，CL，则LD=LK=，根据三角形三边关系可得CF≥CL-LF，当且仅当点C、点F、点L共线时，CF取得最小值；作LS⊥DE于点S，作LR⊥CE于点R，交KH于点W，连接CD，则四边形LSER为矩形；当点N到达点D时，点F、点N、点D重合，此时CF取得最大值，利用矩形的性质和勾股定理计算即可解答.
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