黑龙江省绥化市2025年中考数学试题
1．（2025·绥化）下列数学符号是轴对称图形的是（ ）
A．≠ B．≌ C．≥ D．±
2．（2025·绥化）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客560.1万人次，把560.1万用科学记数法表示为（ ）
A．56.01x104 B．5.601x105 C．5.601x106 D．0.5601x107
3．（2025·绥化）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．四棱柱
4．（2025·绥化）如图，AD是∠EAC的平分线，AD//BC，∠B=38°，则∠C的度数是（ ）
A．16° B．30° C．38° D．76°
5．（2025·绥化）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·绥化）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（ ）
A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm
7．（2025·绥化）小新同学参加茶次時朗诵比赛，七位评委的打分是：7.0，7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
8．（2025·绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是（ ）
A．25 B．25 C．25 D．50
9．（2025·绥化）在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
10．（2025·绥化）用A、B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等，若设B货车每小时运输化工原科x吨，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·绥化）如图，反比例函数经过A、B两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，连接OA、OC、AC.若，，则k的值是（ ）
A．-12 B．-9 C．-6 D．-3
12．（2025·绥化）如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（-1，0），与y轴交于点C（0，m），其中-4<-3.则下列结论：
①②方程没有实数根③④.
其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2025·绥化）计算： .
14．（2025·绥化）若式子有意义，则x的取值范围是 .
15．（2025·绥化）分解因式：2mx2-4mxy+2my2= .
16．（2025·绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程。x2-2025x+1=0的两个根，则（m+1）（n+1）= .
17．（2025·绥化）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'.若点A和它的对应点A'的坐标分别为（3，7），（-9，-21），则△ABC与△A'B'C'的相似比为 .
18．（2025·绥化）计算： .
19．（2025·绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC=15m，则迎水坡面AB的长度是 .
20．（2025·绥化）如图.在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=4，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM.则PM+CM的最小值是 .
21．（2025·绥化）观察下图，图（1）有2个三角形，记作a1=2：图（2）有3个三角形，记作a2=3：图
（1）有6个三角形，记作a3=6：图（4）有11个三角形，记作a14=11：按此方法继续下去，则an= （结果用含π的代数式表示）。
22．（2025·绥化）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD=2.点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN.当△BND为直角三角形时，则CM的长是 .
23．（2025·绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕）
（1）【初步尝试】
如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分.
（2）【拓展探究】
如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4.
24．（2025·绥化）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x（单位：cm）
数据分为A、B、C、D、E五组，并制成了如下不完整的统计图表
组别 身高分组 人数
A 155≤x<160 5
B 160≤x<165 4
C 165≤x<170 m
D 170≤x<175 12
E 175≤x<180 9
根据以上信息回答：
（1）这次抽查的志愿者共有 ▲ 人，扇形统计图中A的圆心角度数是 ▲ ；请补全条形统计图。
（2）若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率。
25．（2025·绥化）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国制造”正引领世界湖流、某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片.已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共要1300元.
（1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元.
（2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000题，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍.当购买A型芯片多少颗时、所需资金最少，最少资金是多少元.
（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶.如图，yp（km）、yz（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系，请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是 km/h.
②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x的值 .
26．（2025·绥化）如图，，PA与相切于点M，连接OM，OP与相交于点C.过点C作，垂足为E，交于点D，连接PD交OM于点F.
（1）证明：PB是的切线.
（2）当，时，求线段MF的长.
27．（2025·绥化）综合与实践
如图、在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，
连接AE：以AE为边作正方形AEPG、连接CG交射线BD于点M，连接DG.（提示：
依题意补全图形，井解答）
（1）【用数学的限光规察】
请判断BD与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由.
（2）【用数学的思维思考】
若DG=a.请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值 .
（3）【用数学的语名表达】
设DE=x，正方形AEFG的面积为S，请求出S与x的函数解析式、（不要求写出自变量x的取值范围）
28．（2025·绥化）综合与探究
如图，抛物线y=ax2+bx-5交x轴于A、B两点，交y轴于点C.直线y=kx-5经过B、C两点，若点A（1，0）.B（-5，0）.点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）.
（1）求抛物线的函数解析式.
（2）过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE=3ED时，求P点坐标
（3）若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A (≠)、符号由两条交叉斜线组成，无论沿垂直或水平中线对折，两侧斜线均无法完全重合，不是轴对称图形，故A不符合题意；
B ()、沿垂直中线对折或水平中线对折时，左右上下不能完全重合；不是轴对称图形，故B不符合题意；
C () 、沿垂直中线对折时，右侧箭头无左侧对应部分，无法重合；沿水平中线对折时，上下结构不对称，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D()、符号由上下排列的加号和减号组成，沿垂直中线对折时，左右结构对称，是轴对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可解答.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 560.1万 =5601000= 5.601x106
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法，将一个大于10数据表示成形式为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
3．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可俯视图得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得这个几何体是圆柱；
故答案为：A.
【分析】根据三视图确定立体几何图形，分析即可解答.
4．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AD// BC，∠B=38°，
∴∠DAE=∠B=38°，∠DAC=∠C，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAE =38° ，
∴∠C=∠DAC = 38°.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠DAE=∠B=38°，∠DAC=∠C，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠DAE = 38°，最后代换即可解答.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；积的乘方运算；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、 ，故A错误，不符合题意；
B、 ，故B正确，符合题意；
C、 ，故C错误，不符合题意；
D、(x+3)(x-3)=x2-9 ，故D错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则得，可判断A；根据积得乘方得，可判断B；根据算术平方根的性质，可判断C；根据平方差公式得(x+3)(x-3)=x2-9，可判断D，逐一判断即可解答.
6．【答案】B
【知识点】相似比；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，
∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，
∴x： (48-x) =6： 10，
解得x=18，
即较小三角形的周长为18cm.
故答案为：B.
【分析】设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，根据相似三角形的性质得到x： (48-x) =6：10，然后利用比例的性质求出x即可解答.
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、原数据去掉最高分10 和最低分7.0 (其中一个)后，剩余数据为7. 0，8.8，9.0，9.3，9.4.原平均数总和为7.0+7.0+8.8+9.0+93+9.4+10=60.5. 平均数为
去掉后总和为60.5- 7.0-10=43.5，平均数为43.55=8.7， 则平均数变化，故A不符合题意；
B、方差与每个数据与平均数的差值有关，因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，方差随之改变，故B不符合题意；
C、原众数为7.0 (出现2次).去掉一个7.0后，剩余数据中所有数均出现1次，众数消失或变为无众数，故众数变化，故C不符合题意；
D、原数据中位数为第4个数即9.0，去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个数的中位数为第3个数(仍为9.0)，故中位数不变，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据中位数的定义(位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数，由此解答即可.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；补角
【解析】【解答】解：已知两条对角线的一个交角为60°，不妨设∠AOB= 60°，
在△AOB中，AO=BO=5，∠AOB= 60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=5，
另一对角线夹角为180°-60°=120°(邻补角)，
在△AOD中，AO=DO=5，∠AOD= 120°，
由勾股定理计算得AD=
∴矩形面积为ABxAD=5x 5= 25.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，设对角线交点为O，则AO=BO=CO=DO= 5，利用勾股定理计算AD=，再利用面积公式，即可解答.
9．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由弧长得计算公式得：，
解得：r=6，
故答案为：A.
【分析】根据弧长公式(n为圆心角得度数)，代入数据计算即可解答.
10．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输(x+15)吨，
∵A货车运输450吨的时间为， B货车运输300吨的时间为，
∴=，
故答案为：C.
【分析】设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输(x+15)吨，根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程=，即可解答.
11．【答案】D
【知识点】点的坐标；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的实际应用；几何图形的面积计算-割补法；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：如图，延长DC，BA 交于点E，
设CD=a(a>0)，
∵CD：OB=1：3，
∴OB=3a，
∵ AB⊥y轴，CD⊥x轴，
∴点A的纵坐标为3a，点C的纵坐标为a ，
∴
∴
∴
∵ 反比例函数经过A、C两点
∴
∵∠EDO=∠DOB=∠EBO= 90°，
∴四边形OBED是矩形，
∴BE =OD=，DE=OB = 3a，
∴AE=BE-AB= ，CE= DE -CD= 2a，
∴=
∴
∵
∴
∴
∴k=-3
故答案为：D.
【分析】如图，延长DC，BA 交于点E，设CD=a(a>0)， 则OB=3a，求出进而得到，即可证明四边形OBED是矩形，再求出AE=BE-AB= ，CE= DE -CD= 2a， 得到=，根据，建立方程，计算求解即可解答.
12．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①、二次函数y=ax2 +bx+c与x轴交于点A(3，0)，B(-1，0)， 图象开口向上，
∴对称轴直线为，
∴b=-2a ，
当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a-(- 2a)+c=0，即3a+c=0，
∴c=-3a，
∴a-c=a-(-3a)= 4a>0，故①正确：
②、图象开口向上，对称轴直线为x=1，
∴当x=1时，函数有最小值，最小值x轴的下方，
∴抛物线y= ax2 +bx+c与直线y=5两个不同的交点，
∴方程ax2 + bx+c-5=0有两个不相等的实数根，故②错误：
③、∵二次函数y=ax2 +bx+c与y轴交于点C(0，m)，其中-4∴当x=0，y=c=m，
∴-4∵c=-3a，b= -2a，
∴c=，
∴
解得，④、当x=1时，函数有最小值，最小值为y=a+b+c<0， b=-2a，
∴b-a=-2a-a=-3a< 0，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
故答案为：A.
【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，得b=-2a，当x=-1时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线y= 5的关系有两个不同的交点，即方程ax2 + bx+c-5=0有两个不相等的实数根，可判定②；根据题意得到c=-3a，b= -2a，代入计算可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；逐一判断即可解答.
13．【答案】0
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：
故答案为：0.
【分析】先计算乘方，在计算零指数幂，最后计算加减即可解答.
14．【答案】x＞-1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵式子有意义，
∴，
解得x＞-1，
故答案为：x＞-1.
【分析】根据分式有意义得条件：，根据二次根式有意义的条件，二者结合起来可得，计算即可解答.
15．【答案】2m(x-y)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 2mx2-4mxy+2my2 =2m(x2-2xy+y2)=2m(x-y)2
故答案为：2m(x-y)2.
【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式得2m(x2-2xy+y2)，再套用完全平方差得2m(x-y)2，逐步分解即可解答.
16．【答案】2027
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的两个根，
∴
∴（m+1）（n+1）=
故答案为：2027.
【分析】根据一元二次方程根与系数公式，再化简（m+1）（n+1），代值计算即可解答.
17．【答案】
【知识点】相似比；位似图形的性质
【解析】【解答】解：把 △ ABC以原点为位似中心缩小得到 △ A'B'C'，点 A 和它的对应点A'的坐标分别为(3，7)，
(-9，-21)，
则△ABC与△A'B'C'的相似比为.
故答案为：.
【分析】根据位似图形得性质：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或- k，由此即可解答.
18．【答案】
【知识点】分式的混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：=
故答案为：.
【分析】根据分式的计算先因式分解，再进行分式的乘除约分计算得到，最后通分进行加减计算即可解答.
19．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵ 坡AB的斜面坡度i=1：
∴，
∵BC=15m，
∴AC=15，
由勾股定理得：AB=，
故答案为：.
【分析】根据坡度得定义得到，再结合已知条件BC=15m，计算得到AC=15，再利用勾股定理计算即可解答，
20．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接AC ，
作点P关于直线BD的对称点P‘，则PM=P'M，点P'是AD的中点，
∴PM +CM= P'M +CM≥CP'，
根据两点之间线段最短，可知PM + CM的最小值为CP'，
∵四边形ABCD是菱形，.
∴AD= AB=CD=4， AC⊥BD，DO=BD=2， AO=AC，
根据勾股定理，得AO=，
∴AC= AD=CD=4.
∵点P'是AD的中点，
∴CP'⊥AD， AP'=AD=2.
在RtACP'中，CP'=
∴PM+CM的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接AC，根据两点之间线段最短可知PM + CM的最小值为CP'，再结合菱形的性质得
AD=AB=CD=4， AC⊥BD，DO=BD=， AO=AC，然后根据勾股定理得AO，可得AC= AD= CD=4 ，结合等腰三角形的性质得CP'⊥AD， AP'=AD=2 ，再根据勾股定理得CP'，由此解答即可.
21．【答案】（1）n2-2n+3
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第一个图形中有2=(1-1)2+2个三角形；
第二个图形中有3=(2-1)2+2个三角形；
第三个图形中有6=(3-1)2 +2个三角形；
第四个图形中有11=(4-1)2+2个三角形；
……
第n个图形中有(n-1)2+2=n2 -2n+3个三角形
故答案为：n2-2n+3.
【分析】根据图形的递变规律和个数的规律：发现第n个图形中有(n-1)2+2=n2 -2n+3个三角形，解答即可.
22．【答案】6或8或9
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形-动点问题；余弦的概念
【解析】【解答】解：过点D作DE// BC交BC于点E，
①当∠DBN= 90°时，如图(1)，
∵ △ BAC， △ DMN是等边三角形，∠DBN = 90° ，
∴∠ABC=∠DEB=∠MDN=∠BDE =60°，DM= DN，
∴△DBE是等边三角形，
∴ BD=DE= BE=2，
∠NBE=∠DBN-∠DBE= 30°，∠EDN + ∠NDB = ∠NDB + ∠MDB = 60°
∴∠EDN=∠BDM，
∴△DEN≌△DBM，
∴∠DEN=∠DBM= 180° -60°=120°，BM = NE，
∴∠BEN=∠DEN-∠DEB = 60°，
∴∠BNE= 90°，
∴NE=BE=1，即BM=1，
∴MC= BC+ BM=7+1=8，
②当∠BDN =90°时，如图(2)
同理可得 △ DEN≌ △ DBM，∠NDE =∠BDN-∠BDE=90° - 60 = 30°，
∴∠NED=∠MBD=60°，即∠DMB =∠DNE =90° ，
∴BM= BDcos60°=2x=1，
∴CM=BC- BM=6，
③当∠BND=90°时，如图(3)
同理可证△DBN≌△DEM，DE = BD=2，∠DEM =60°，
∴∠DME =∠DNB = 90°，
∴ME = DE cos60°=2x=1，
∴CM= BC- BM=6，
④当∠BDN=90°时，如图(4)
同理可证△DBN≌△DME，DE= BD= BE= 2，∠DEM= 60° ，
∴∠MDE=∠NDB=90°， BE= BC- BE=5，
∴ME==4，
∴CM =ME+ BE=9，
综上所述，CM的长是6或8或9.
故答案为：6或8或9.
【分析】题干要求△BND为直角三角形，没有指定直角，因而需要分情况讨论： 过点D作DE// BC交BC于点E，分当∠DBN= 90°时；当∠BDN =90°时；当∠BND=90°时；当∠BDN=90°时，逐个分析即可解答.
23．【答案】（1）解：作法一：如图所示
作法二：如图所示
（2）解：作法一：如图所示
作法二：如图所示
【知识点】扇形面积的计算；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
[初步尝试]
经过圆心的直线平分扇形OMN的面积，因此只需根据基本作图作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线，即可解答；
[拓展探究]
根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到扇形OCD的面积与扇形OMN半径之比为1：2，只要画出OM或ON的中点即可；方法一：作扇形OMN半径ON的垂直平分线找到中点D，然后以OD为半径作弧交半径OM于点C.方法二：扇形OMN的圆心角为30°，根据含30°的直角三角形的性质，过M点作出ON的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以O为圆心画弧即可解答.
24．【答案】（1）解：40；45°；
C组的人数为40-5-4-12-9=10 (人)，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：设2名男志愿者分别记作男1，男2，2名女志愿者分别记作女1，女2
根据题意可以画出如下的树状图
、
列表法如下图
\ （，） （，） （，）
（，） \ （，） （，）
（，） （，） \ （，）
（，） （，） （，） \
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是（女1，女2)和(女2，女1）的情况有两种。
P(刚好抽中2名女志愿者担任组长）
(选择任何一种方法，答题正确即可得分)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：这次抽查的志愿者共有： 1230%=40 (人)，
扇形统计图中A的圆心角度数是360°x=45°
故答案为： 40，45°
【分析】(1)先根据D组的人数12和百分比30%求出抽查的总人数，再利用360°乘以A组的百分比即可求出扇形统计图中A的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可解答；
(2)画出树状图或列表法得到所有等可能情况共有12种结果出现的可能性相等，用概率公式求出答案即可解答.
25．【答案】（1）解：设购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元和b元，由题意得
解得
答：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要350元和200元.
（2）解：设购买B型芯片m颗、则购买A型芯片(8000-m)颗，所需资金为w元
由意得：w=350(8000-m)+200m=-150m+2800000
∵k=-150<0
∴w随m的增大而减小
∵购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍，
∴8000-m≥3m解得m≤2000
∴m取正整数
∴当m=2000时，w取最小值，w最少=-150×2000+2800000=2500000(元)
此时8000-m=6000
答：当该公司购买型芯片6000颗，所需资金最少，最少资金是2500000元.
（3）80；1.5或4.5或6.5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
解：（3）①设y乙的解析式为y=kx+b .
将点(0，60)，(7，480)代入y=kx+b 中，
得解得
∴解析式为y= 60x +60，
当x=3时，y= 60x+ 60= 60x3+ 60= 240
∴甲车的速度为240 +3 = 80km/h；
②y甲的解析式为y= kx ，
将点(3，240)代入y=kx得240=3k，解得k=80
∴y甲的解析式为y = 80x
当函数y乙的图象在函数y甲的上方时：
可列方程60x+ 60- 80x = 30解得x=1.5
当函数y乙的图象在函数y甲的下方时：
可列方程80x- 60x- 60= 30 解得x=4.5
当甲车到达N地，乙离目的地30km时，
可列方程60x+ 60 = 480-30 解得x=6.5
综上所述，x的值为： 1.5或4.5或6.5.
故答案为：80；1.5或4.5或6.5
【分析】（1）设购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元和b元，根据题意列出方程，计算即可解答；
（2）设购买B型芯片m颗、则购买A型芯片(8000-m)颗，所需资金为w元，根据题意列出函数关系式w=-150m+2800000，结合由已知条件购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍，得到m的取值范围m≤2000，再利用一次函数的性质w随m的增大而减小，当m=2000时，w取最小值，计算即可解答；
（3）设y乙的解析式为y=kx+b 将点(0，60)，(7，480)代入y=kx+b 中，计算可得函数解析式为y= 60x +60，即可求得甲的路程，再利用路程公式计算即可解答；利用待定系数法求得y甲的解析式为y = 80x
再根据函数图象，分情况讨论，计算即可解答.
26．【答案】（1）证明：过点O作于点N
与相切于点M
为的半径，
为的半径，
∵ON⊥PB，
∴PB是OO的切线.
（2）解：∵，OM为半径
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
在中，
设，则
解得
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；切线的性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)过点O作ON PB于点N ，根据垂直的定义和切线的性质得到角度之间的关系，再利用AAS判定，利用全等三角形的性质可得ON =OM，即可解答；
(2)先证明，得到，可求出OC=4，在RtMOP中，利用勾股定理求出PM=2，得到CE= DE'=再利用AA証明，设，则，
即可利用相似的性质建立比例方程，计算即可解答.
27．【答案】（1）解： BD⊥DG ，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AD=AB，AG=AE，∠DAB= ∠EAG=90°，∠ADB = ∠ABD =45，
∵∠DAB=∠DAE+ ∠EAB，∠EAG =∠DAE +∠GAD，
∴∠EAB=∠GAD，
在ADG和ABE中，
AG= AE .
∠GAD= ∠EAB，
AD= AB
∴ADG≌ABE ，
∴∠ADG= ∠ABE =45°，
∴∠GDB = ∠ADG+∠ADB= 90°，
∴BD⊥DG.
（2）
（3）(3)解：当点E在对角线BD上时，如图1，过点E作EN⊥AD于点N ，
∵DE=x，∠ADB =45° ，
∴DN=EN=x，AN=8-x
∴在Rt ANE中，AE2 = EN2+AN2 =(22x)2+(8-22x)2=x2-82x+64
∴S=AE2=x2 - 8x+ 64.
当点E在BD上，点F在CD上时，如图2，过点E作EN⊥AD于点N，
∵DE=x，∠ADB =45° ，
∴DN=EN=x，AN=8-x
∴在Rt ANE中，AE2 = EN2+AN2 =(22x)2+(8-22x)2=x2-82x+64
∴S=AE2=x2 - 8x+ 64.
当点E在BD的延长线上时上，如图3，过点E作EN⊥AD的延长线于点N，
∵DE=x，∠ADB =45° ，
∴DN=EN=x，AN=8+x
∴在Rt ANE中，AE2 = EN2+AN2 =(22x)2+(8+22x)2=x2+82x+64
∴S=AE2=x2 + 8x+ 64.
综上所述：.
【知识点】正方形的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】
解：(2)如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵BD⊥DG，
∴ DGIlAC ，
∴DMGOMC ，
∴
∵正方形的边长AB=8，
∴AC= BD=8，
∴OD=OC=4，
设MD=t，则OM=4-t，
∴DG=a，
∴，
∴，
∴ tan∠CMB = tan ∠DMG=，
∴tan∠CMB=，
故答案为：.
【分析】 (1)由正方形的性质，得出线段之间的数量关系和角之间的数量关系，即可利用SAS判定ADG≌ABE ，再利用全等三角形的性质即可确定BD与DG的位置关系，解答即可；
(2)由正方形的性质，可得线段之间的位置关系，再利用AA判定DMGOMC ，设MD=t，则OM=4-t，利用相似三角形的性质，建立边之间的比例关系方程，化简整理即可解答；
(3)根据点E的位置变化，画出图形进行分类讨论，应用勾股定理即可得出每种情况下正方形的面积，对各种情况所得结果进行整理即可解答.
28．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2 +bx-5交x轴于A(1，0)，B(-5，0)两点，
∴解得
∴y=x2 +4x-5；
（2）解： ∵y=x2+4x-5中， 当x=0时，y=-5，
∴C(0，-5)，
∴设直线BC的解析式为y=kx-5，
∵B(-5，0)，
∴-5k-5=0，
∴k=-1，
∴y=-x-5，
设P(x，x2 +4x-5)， 则E(x，-x-5)，
当x<-5时，PE=x2 +4x-5-(-x-5)=x2 +5x，DE=-x-5，
∵PE=3ED，
∴x2 +5x=3(-x-5)，
解得x=-3 (不合)，或x=-5 (含去)，
∴点P不存在；
当-5∵PE=3ED，
∴-x2 -5x=3(x+5)，
解得x=-3，或x=-5 (舍去)，
∴P1(-3，-8)；
当0当x>1时，PE=x2 +4x-5-(-x-5)=x2 +5x，DE=x+5，
∵PE=3ED，
∴x2 +5x=3(x+5)，
解得x=3，或x=-5 (舍去)，
∴x2 +4x-5=16，
∴P2(3.16)，
故P点坐标为P1(-3，-8)；P2(3，16) .
（3）解：过点F， P作FG⊥x轴于G， PH⊥x轴于H，则AGF =∠AHP=90° ，
∵ △AFP 是以PF为斜边的等腰直角三角形.
∴AF=AP，∠PAF =90°，
∴∠FAG+∠PAH = ∠APH + ∠PAH = 90°.
∴∠FAG= ∠APH ，
∴ △AFG≌ △PAH (AAS)，
∴AH=FG， PH= AG，
设P(m，m2 +4m-5)， .
当-5∴FG=1-m，
∴-x-5=1-m，
解得x=m-6，
∴F(m-6，1-m)，
∴ AG=1-(m-6)=7-m，
∴-m2 - 4m+5=7-m，
解得m=-1，m=-2，
∴P坐标为(-1，-8)，或(-2，-9)；
当m>1时，AH=m-1， PH=m2 +4m-5，
∴FG=m-1，
∴-x-5=m-1，
∴x=-m-4，
∴F(-m-4，m-1)，
∴AG=1-(-m-4)=m+5，
∴m2 +4m-5=m+5，
解得m=2，m=-5 (舍去)，
∴p坐标为(2，7)；
故P坐标为(-1，-8)，或(-2，-9)，或(2，7).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)把A(1，0)，B(-5，0)代入y=ax2 +bx-5，解方程组，求出a，b的值，即可解答；
(2)先求出C(0，-5)，利用待定系数求出直线BC的解析式为y=-x-5，设P(x，x2 +4x-5)，则E(x，-x-5)，分x<-5，-51，四种情况利用 PE=3ED 建立等量关系，解方程计算即可解答；
(3)过点F， P作FG⊥x轴于G，PH⊥x轴于H，得∠AGF= ∠AHP=90°，根据等腰直角三角形的性质得AF=AP，∠PAF =90°，得∠FAG= ∠APH即可利用AAS证明得△AFG≌ △PAH ，利用全等三角形得性质可得AH=FG，PH= AG，设P(m，m2 +4m-5)，分-51两种情况，计算即可解答.
1 / 1黑龙江省绥化市2025年中考数学试题
1．（2025·绥化）下列数学符号是轴对称图形的是（ ）
A．≠ B．≌ C．≥ D．±
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A (≠)、符号由两条交叉斜线组成，无论沿垂直或水平中线对折，两侧斜线均无法完全重合，不是轴对称图形，故A不符合题意；
B ()、沿垂直中线对折或水平中线对折时，左右上下不能完全重合；不是轴对称图形，故B不符合题意；
C () 、沿垂直中线对折时，右侧箭头无左侧对应部分，无法重合；沿水平中线对折时，上下结构不对称，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D()、符号由上下排列的加号和减号组成，沿垂直中线对折时，左右结构对称，是轴对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可解答.
2．（2025·绥化）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客560.1万人次，把560.1万用科学记数法表示为（ ）
A．56.01x104 B．5.601x105 C．5.601x106 D．0.5601x107
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 560.1万 =5601000= 5.601x106
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法，将一个大于10数据表示成形式为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
3．（2025·绥化）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．四棱柱
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可俯视图得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得这个几何体是圆柱；
故答案为：A.
【分析】根据三视图确定立体几何图形，分析即可解答.
4．（2025·绥化）如图，AD是∠EAC的平分线，AD//BC，∠B=38°，则∠C的度数是（ ）
A．16° B．30° C．38° D．76°
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AD// BC，∠B=38°，
∴∠DAE=∠B=38°，∠DAC=∠C，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAE =38° ，
∴∠C=∠DAC = 38°.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠DAE=∠B=38°，∠DAC=∠C，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠DAE = 38°，最后代换即可解答.
5．（2025·绥化）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；积的乘方运算；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、 ，故A错误，不符合题意；
B、 ，故B正确，符合题意；
C、 ，故C错误，不符合题意；
D、(x+3)(x-3)=x2-9 ，故D错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则得，可判断A；根据积得乘方得，可判断B；根据算术平方根的性质，可判断C；根据平方差公式得(x+3)(x-3)=x2-9，可判断D，逐一判断即可解答.
6．（2025·绥化）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（ ）
A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm
【答案】B
【知识点】相似比；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，
∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，
∴x： (48-x) =6： 10，
解得x=18，
即较小三角形的周长为18cm.
故答案为：B.
【分析】设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，根据相似三角形的性质得到x： (48-x) =6：10，然后利用比例的性质求出x即可解答.
7．（2025·绥化）小新同学参加茶次時朗诵比赛，七位评委的打分是：7.0，7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、原数据去掉最高分10 和最低分7.0 (其中一个)后，剩余数据为7. 0，8.8，9.0，9.3，9.4.原平均数总和为7.0+7.0+8.8+9.0+93+9.4+10=60.5. 平均数为
去掉后总和为60.5- 7.0-10=43.5，平均数为43.55=8.7， 则平均数变化，故A不符合题意；
B、方差与每个数据与平均数的差值有关，因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，方差随之改变，故B不符合题意；
C、原众数为7.0 (出现2次).去掉一个7.0后，剩余数据中所有数均出现1次，众数消失或变为无众数，故众数变化，故C不符合题意；
D、原数据中位数为第4个数即9.0，去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个数的中位数为第3个数(仍为9.0)，故中位数不变，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据中位数的定义(位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数，由此解答即可.
8．（2025·绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是（ ）
A．25 B．25 C．25 D．50
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；补角
【解析】【解答】解：已知两条对角线的一个交角为60°，不妨设∠AOB= 60°，
在△AOB中，AO=BO=5，∠AOB= 60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=5，
另一对角线夹角为180°-60°=120°(邻补角)，
在△AOD中，AO=DO=5，∠AOD= 120°，
由勾股定理计算得AD=
∴矩形面积为ABxAD=5x 5= 25.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，设对角线交点为O，则AO=BO=CO=DO= 5，利用勾股定理计算AD=，再利用面积公式，即可解答.
9．（2025·绥化）在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由弧长得计算公式得：，
解得：r=6，
故答案为：A.
【分析】根据弧长公式(n为圆心角得度数)，代入数据计算即可解答.
10．（2025·绥化）用A、B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等，若设B货车每小时运输化工原科x吨，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输(x+15)吨，
∵A货车运输450吨的时间为， B货车运输300吨的时间为，
∴=，
故答案为：C.
【分析】设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输(x+15)吨，根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程=，即可解答.
11．（2025·绥化）如图，反比例函数经过A、B两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，连接OA、OC、AC.若，，则k的值是（ ）
A．-12 B．-9 C．-6 D．-3
【答案】D
【知识点】点的坐标；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的实际应用；几何图形的面积计算-割补法；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：如图，延长DC，BA 交于点E，
设CD=a(a>0)，
∵CD：OB=1：3，
∴OB=3a，
∵ AB⊥y轴，CD⊥x轴，
∴点A的纵坐标为3a，点C的纵坐标为a ，
∴
∴
∴
∵ 反比例函数经过A、C两点
∴
∵∠EDO=∠DOB=∠EBO= 90°，
∴四边形OBED是矩形，
∴BE =OD=，DE=OB = 3a，
∴AE=BE-AB= ，CE= DE -CD= 2a，
∴=
∴
∵
∴
∴
∴k=-3
故答案为：D.
【分析】如图，延长DC，BA 交于点E，设CD=a(a>0)， 则OB=3a，求出进而得到，即可证明四边形OBED是矩形，再求出AE=BE-AB= ，CE= DE -CD= 2a， 得到=，根据，建立方程，计算求解即可解答.
12．（2025·绥化）如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（-1，0），与y轴交于点C（0，m），其中-4<-3.则下列结论：
①②方程没有实数根③④.
其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①、二次函数y=ax2 +bx+c与x轴交于点A(3，0)，B(-1，0)， 图象开口向上，
∴对称轴直线为，
∴b=-2a ，
当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a-(- 2a)+c=0，即3a+c=0，
∴c=-3a，
∴a-c=a-(-3a)= 4a>0，故①正确：
②、图象开口向上，对称轴直线为x=1，
∴当x=1时，函数有最小值，最小值x轴的下方，
∴抛物线y= ax2 +bx+c与直线y=5两个不同的交点，
∴方程ax2 + bx+c-5=0有两个不相等的实数根，故②错误：
③、∵二次函数y=ax2 +bx+c与y轴交于点C(0，m)，其中-4∴当x=0，y=c=m，
∴-4∵c=-3a，b= -2a，
∴c=，
∴
解得，④、当x=1时，函数有最小值，最小值为y=a+b+c<0， b=-2a，
∴b-a=-2a-a=-3a< 0，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
故答案为：A.
【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，得b=-2a，当x=-1时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线y= 5的关系有两个不同的交点，即方程ax2 + bx+c-5=0有两个不相等的实数根，可判定②；根据题意得到c=-3a，b= -2a，代入计算可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；逐一判断即可解答.
13．（2025·绥化）计算： .
【答案】0
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：
故答案为：0.
【分析】先计算乘方，在计算零指数幂，最后计算加减即可解答.
14．（2025·绥化）若式子有意义，则x的取值范围是 .
【答案】x＞-1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵式子有意义，
∴，
解得x＞-1，
故答案为：x＞-1.
【分析】根据分式有意义得条件：，根据二次根式有意义的条件，二者结合起来可得，计算即可解答.
15．（2025·绥化）分解因式：2mx2-4mxy+2my2= .
【答案】2m(x-y)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 2mx2-4mxy+2my2 =2m(x2-2xy+y2)=2m(x-y)2
故答案为：2m(x-y)2.
【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式得2m(x2-2xy+y2)，再套用完全平方差得2m(x-y)2，逐步分解即可解答.
16．（2025·绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程。x2-2025x+1=0的两个根，则（m+1）（n+1）= .
【答案】2027
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的两个根，
∴
∴（m+1）（n+1）=
故答案为：2027.
【分析】根据一元二次方程根与系数公式，再化简（m+1）（n+1），代值计算即可解答.
17．（2025·绥化）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'.若点A和它的对应点A'的坐标分别为（3，7），（-9，-21），则△ABC与△A'B'C'的相似比为 .
【答案】
【知识点】相似比；位似图形的性质
【解析】【解答】解：把 △ ABC以原点为位似中心缩小得到 △ A'B'C'，点 A 和它的对应点A'的坐标分别为(3，7)，
(-9，-21)，
则△ABC与△A'B'C'的相似比为.
故答案为：.
【分析】根据位似图形得性质：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或- k，由此即可解答.
18．（2025·绥化）计算： .
【答案】
【知识点】分式的混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：=
故答案为：.
【分析】根据分式的计算先因式分解，再进行分式的乘除约分计算得到，最后通分进行加减计算即可解答.
19．（2025·绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC=15m，则迎水坡面AB的长度是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵ 坡AB的斜面坡度i=1：
∴，
∵BC=15m，
∴AC=15，
由勾股定理得：AB=，
故答案为：.
【分析】根据坡度得定义得到，再结合已知条件BC=15m，计算得到AC=15，再利用勾股定理计算即可解答，
20．（2025·绥化）如图.在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=4，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM.则PM+CM的最小值是 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接AC ，
作点P关于直线BD的对称点P‘，则PM=P'M，点P'是AD的中点，
∴PM +CM= P'M +CM≥CP'，
根据两点之间线段最短，可知PM + CM的最小值为CP'，
∵四边形ABCD是菱形，.
∴AD= AB=CD=4， AC⊥BD，DO=BD=2， AO=AC，
根据勾股定理，得AO=，
∴AC= AD=CD=4.
∵点P'是AD的中点，
∴CP'⊥AD， AP'=AD=2.
在RtACP'中，CP'=
∴PM+CM的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接AC，根据两点之间线段最短可知PM + CM的最小值为CP'，再结合菱形的性质得
AD=AB=CD=4， AC⊥BD，DO=BD=， AO=AC，然后根据勾股定理得AO，可得AC= AD= CD=4 ，结合等腰三角形的性质得CP'⊥AD， AP'=AD=2 ，再根据勾股定理得CP'，由此解答即可.
21．（2025·绥化）观察下图，图（1）有2个三角形，记作a1=2：图（2）有3个三角形，记作a2=3：图
（1）有6个三角形，记作a3=6：图（4）有11个三角形，记作a14=11：按此方法继续下去，则an= （结果用含π的代数式表示）。
【答案】（1）n2-2n+3
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第一个图形中有2=(1-1)2+2个三角形；
第二个图形中有3=(2-1)2+2个三角形；
第三个图形中有6=(3-1)2 +2个三角形；
第四个图形中有11=(4-1)2+2个三角形；
……
第n个图形中有(n-1)2+2=n2 -2n+3个三角形
故答案为：n2-2n+3.
【分析】根据图形的递变规律和个数的规律：发现第n个图形中有(n-1)2+2=n2 -2n+3个三角形，解答即可.
22．（2025·绥化）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD=2.点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN.当△BND为直角三角形时，则CM的长是 .
【答案】6或8或9
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形-动点问题；余弦的概念
【解析】【解答】解：过点D作DE// BC交BC于点E，
①当∠DBN= 90°时，如图(1)，
∵ △ BAC， △ DMN是等边三角形，∠DBN = 90° ，
∴∠ABC=∠DEB=∠MDN=∠BDE =60°，DM= DN，
∴△DBE是等边三角形，
∴ BD=DE= BE=2，
∠NBE=∠DBN-∠DBE= 30°，∠EDN + ∠NDB = ∠NDB + ∠MDB = 60°
∴∠EDN=∠BDM，
∴△DEN≌△DBM，
∴∠DEN=∠DBM= 180° -60°=120°，BM = NE，
∴∠BEN=∠DEN-∠DEB = 60°，
∴∠BNE= 90°，
∴NE=BE=1，即BM=1，
∴MC= BC+ BM=7+1=8，
②当∠BDN =90°时，如图(2)
同理可得 △ DEN≌ △ DBM，∠NDE =∠BDN-∠BDE=90° - 60 = 30°，
∴∠NED=∠MBD=60°，即∠DMB =∠DNE =90° ，
∴BM= BDcos60°=2x=1，
∴CM=BC- BM=6，
③当∠BND=90°时，如图(3)
同理可证△DBN≌△DEM，DE = BD=2，∠DEM =60°，
∴∠DME =∠DNB = 90°，
∴ME = DE cos60°=2x=1，
∴CM= BC- BM=6，
④当∠BDN=90°时，如图(4)
同理可证△DBN≌△DME，DE= BD= BE= 2，∠DEM= 60° ，
∴∠MDE=∠NDB=90°， BE= BC- BE=5，
∴ME==4，
∴CM =ME+ BE=9，
综上所述，CM的长是6或8或9.
故答案为：6或8或9.
【分析】题干要求△BND为直角三角形，没有指定直角，因而需要分情况讨论： 过点D作DE// BC交BC于点E，分当∠DBN= 90°时；当∠BDN =90°时；当∠BND=90°时；当∠BDN=90°时，逐个分析即可解答.
23．（2025·绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕）
（1）【初步尝试】
如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分.
（2）【拓展探究】
如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4.
【答案】（1）解：作法一：如图所示
作法二：如图所示
（2）解：作法一：如图所示
作法二：如图所示
【知识点】扇形面积的计算；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
[初步尝试]
经过圆心的直线平分扇形OMN的面积，因此只需根据基本作图作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线，即可解答；
[拓展探究]
根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到扇形OCD的面积与扇形OMN半径之比为1：2，只要画出OM或ON的中点即可；方法一：作扇形OMN半径ON的垂直平分线找到中点D，然后以OD为半径作弧交半径OM于点C.方法二：扇形OMN的圆心角为30°，根据含30°的直角三角形的性质，过M点作出ON的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以O为圆心画弧即可解答.
24．（2025·绥化）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x（单位：cm）
数据分为A、B、C、D、E五组，并制成了如下不完整的统计图表
组别 身高分组 人数
A 155≤x<160 5
B 160≤x<165 4
C 165≤x<170 m
D 170≤x<175 12
E 175≤x<180 9
根据以上信息回答：
（1）这次抽查的志愿者共有 ▲ 人，扇形统计图中A的圆心角度数是 ▲ ；请补全条形统计图。
（2）若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率。
【答案】（1）解：40；45°；
C组的人数为40-5-4-12-9=10 (人)，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：设2名男志愿者分别记作男1，男2，2名女志愿者分别记作女1，女2
根据题意可以画出如下的树状图
、
列表法如下图
\ （，） （，） （，）
（，） \ （，） （，）
（，） （，） \ （，）
（，） （，） （，） \
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是（女1，女2)和(女2，女1）的情况有两种。
P(刚好抽中2名女志愿者担任组长）
(选择任何一种方法，答题正确即可得分)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：这次抽查的志愿者共有： 1230%=40 (人)，
扇形统计图中A的圆心角度数是360°x=45°
故答案为： 40，45°
【分析】(1)先根据D组的人数12和百分比30%求出抽查的总人数，再利用360°乘以A组的百分比即可求出扇形统计图中A的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可解答；
(2)画出树状图或列表法得到所有等可能情况共有12种结果出现的可能性相等，用概率公式求出答案即可解答.
25．（2025·绥化）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国制造”正引领世界湖流、某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片.已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共要1300元.
（1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元.
（2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000题，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍.当购买A型芯片多少颗时、所需资金最少，最少资金是多少元.
（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶.如图，yp（km）、yz（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系，请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是 km/h.
②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x的值 .
【答案】（1）解：设购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元和b元，由题意得
解得
答：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要350元和200元.
（2）解：设购买B型芯片m颗、则购买A型芯片(8000-m)颗，所需资金为w元
由意得：w=350(8000-m)+200m=-150m+2800000
∵k=-150<0
∴w随m的增大而减小
∵购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍，
∴8000-m≥3m解得m≤2000
∴m取正整数
∴当m=2000时，w取最小值，w最少=-150×2000+2800000=2500000(元)
此时8000-m=6000
答：当该公司购买型芯片6000颗，所需资金最少，最少资金是2500000元.
（3）80；1.5或4.5或6.5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
解：（3）①设y乙的解析式为y=kx+b .
将点(0，60)，(7，480)代入y=kx+b 中，
得解得
∴解析式为y= 60x +60，
当x=3时，y= 60x+ 60= 60x3+ 60= 240
∴甲车的速度为240 +3 = 80km/h；
②y甲的解析式为y= kx ，
将点(3，240)代入y=kx得240=3k，解得k=80
∴y甲的解析式为y = 80x
当函数y乙的图象在函数y甲的上方时：
可列方程60x+ 60- 80x = 30解得x=1.5
当函数y乙的图象在函数y甲的下方时：
可列方程80x- 60x- 60= 30 解得x=4.5
当甲车到达N地，乙离目的地30km时，
可列方程60x+ 60 = 480-30 解得x=6.5
综上所述，x的值为： 1.5或4.5或6.5.
故答案为：80；1.5或4.5或6.5
【分析】（1）设购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元和b元，根据题意列出方程，计算即可解答；
（2）设购买B型芯片m颗、则购买A型芯片(8000-m)颗，所需资金为w元，根据题意列出函数关系式w=-150m+2800000，结合由已知条件购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍，得到m的取值范围m≤2000，再利用一次函数的性质w随m的增大而减小，当m=2000时，w取最小值，计算即可解答；
（3）设y乙的解析式为y=kx+b 将点(0，60)，(7，480)代入y=kx+b 中，计算可得函数解析式为y= 60x +60，即可求得甲的路程，再利用路程公式计算即可解答；利用待定系数法求得y甲的解析式为y = 80x
再根据函数图象，分情况讨论，计算即可解答.
26．（2025·绥化）如图，，PA与相切于点M，连接OM，OP与相交于点C.过点C作，垂足为E，交于点D，连接PD交OM于点F.
（1）证明：PB是的切线.
（2）当，时，求线段MF的长.
【答案】（1）证明：过点O作于点N
与相切于点M
为的半径，
为的半径，
∵ON⊥PB，
∴PB是OO的切线.
（2）解：∵，OM为半径
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
在中，
设，则
解得
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；切线的性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)过点O作ON PB于点N ，根据垂直的定义和切线的性质得到角度之间的关系，再利用AAS判定，利用全等三角形的性质可得ON =OM，即可解答；
(2)先证明，得到，可求出OC=4，在RtMOP中，利用勾股定理求出PM=2，得到CE= DE'=再利用AA証明，设，则，
即可利用相似的性质建立比例方程，计算即可解答.
27．（2025·绥化）综合与实践
如图、在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，
连接AE：以AE为边作正方形AEPG、连接CG交射线BD于点M，连接DG.（提示：
依题意补全图形，井解答）
（1）【用数学的限光规察】
请判断BD与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由.
（2）【用数学的思维思考】
若DG=a.请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值 .
（3）【用数学的语名表达】
设DE=x，正方形AEFG的面积为S，请求出S与x的函数解析式、（不要求写出自变量x的取值范围）
【答案】（1）解： BD⊥DG ，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AD=AB，AG=AE，∠DAB= ∠EAG=90°，∠ADB = ∠ABD =45，
∵∠DAB=∠DAE+ ∠EAB，∠EAG =∠DAE +∠GAD，
∴∠EAB=∠GAD，
在ADG和ABE中，
AG= AE .
∠GAD= ∠EAB，
AD= AB
∴ADG≌ABE ，
∴∠ADG= ∠ABE =45°，
∴∠GDB = ∠ADG+∠ADB= 90°，
∴BD⊥DG.
（2）
（3）(3)解：当点E在对角线BD上时，如图1，过点E作EN⊥AD于点N ，
∵DE=x，∠ADB =45° ，
∴DN=EN=x，AN=8-x
∴在Rt ANE中，AE2 = EN2+AN2 =(22x)2+(8-22x)2=x2-82x+64
∴S=AE2=x2 - 8x+ 64.
当点E在BD上，点F在CD上时，如图2，过点E作EN⊥AD于点N，
∵DE=x，∠ADB =45° ，
∴DN=EN=x，AN=8-x
∴在Rt ANE中，AE2 = EN2+AN2 =(22x)2+(8-22x)2=x2-82x+64
∴S=AE2=x2 - 8x+ 64.
当点E在BD的延长线上时上，如图3，过点E作EN⊥AD的延长线于点N，
∵DE=x，∠ADB =45° ，
∴DN=EN=x，AN=8+x
∴在Rt ANE中，AE2 = EN2+AN2 =(22x)2+(8+22x)2=x2+82x+64
∴S=AE2=x2 + 8x+ 64.
综上所述：.
【知识点】正方形的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】
解：(2)如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵BD⊥DG，
∴ DGIlAC ，
∴DMGOMC ，
∴
∵正方形的边长AB=8，
∴AC= BD=8，
∴OD=OC=4，
设MD=t，则OM=4-t，
∴DG=a，
∴，
∴，
∴ tan∠CMB = tan ∠DMG=，
∴tan∠CMB=，
故答案为：.
【分析】 (1)由正方形的性质，得出线段之间的数量关系和角之间的数量关系，即可利用SAS判定ADG≌ABE ，再利用全等三角形的性质即可确定BD与DG的位置关系，解答即可；
(2)由正方形的性质，可得线段之间的位置关系，再利用AA判定DMGOMC ，设MD=t，则OM=4-t，利用相似三角形的性质，建立边之间的比例关系方程，化简整理即可解答；
(3)根据点E的位置变化，画出图形进行分类讨论，应用勾股定理即可得出每种情况下正方形的面积，对各种情况所得结果进行整理即可解答.
28．（2025·绥化）综合与探究
如图，抛物线y=ax2+bx-5交x轴于A、B两点，交y轴于点C.直线y=kx-5经过B、C两点，若点A（1，0）.B（-5，0）.点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）.
（1）求抛物线的函数解析式.
（2）过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE=3ED时，求P点坐标
（3）若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2 +bx-5交x轴于A(1，0)，B(-5，0)两点，
∴解得
∴y=x2 +4x-5；
（2）解： ∵y=x2+4x-5中， 当x=0时，y=-5，
∴C(0，-5)，
∴设直线BC的解析式为y=kx-5，
∵B(-5，0)，
∴-5k-5=0，
∴k=-1，
∴y=-x-5，
设P(x，x2 +4x-5)， 则E(x，-x-5)，
当x<-5时，PE=x2 +4x-5-(-x-5)=x2 +5x，DE=-x-5，
∵PE=3ED，
∴x2 +5x=3(-x-5)，
解得x=-3 (不合)，或x=-5 (含去)，
∴点P不存在；
当-5∵PE=3ED，
∴-x2 -5x=3(x+5)，
解得x=-3，或x=-5 (舍去)，
∴P1(-3，-8)；
当0当x>1时，PE=x2 +4x-5-(-x-5)=x2 +5x，DE=x+5，
∵PE=3ED，
∴x2 +5x=3(x+5)，
解得x=3，或x=-5 (舍去)，
∴x2 +4x-5=16，
∴P2(3.16)，
故P点坐标为P1(-3，-8)；P2(3，16) .
（3）解：过点F， P作FG⊥x轴于G， PH⊥x轴于H，则AGF =∠AHP=90° ，
∵ △AFP 是以PF为斜边的等腰直角三角形.
∴AF=AP，∠PAF =90°，
∴∠FAG+∠PAH = ∠APH + ∠PAH = 90°.
∴∠FAG= ∠APH ，
∴ △AFG≌ △PAH (AAS)，
∴AH=FG， PH= AG，
设P(m，m2 +4m-5)， .
当-5∴FG=1-m，
∴-x-5=1-m，
解得x=m-6，
∴F(m-6，1-m)，
∴ AG=1-(m-6)=7-m，
∴-m2 - 4m+5=7-m，
解得m=-1，m=-2，
∴P坐标为(-1，-8)，或(-2，-9)；
当m>1时，AH=m-1， PH=m2 +4m-5，
∴FG=m-1，
∴-x-5=m-1，
∴x=-m-4，
∴F(-m-4，m-1)，
∴AG=1-(-m-4)=m+5，
∴m2 +4m-5=m+5，
解得m=2，m=-5 (舍去)，
∴p坐标为(2，7)；
故P坐标为(-1，-8)，或(-2，-9)，或(2，7).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)把A(1，0)，B(-5，0)代入y=ax2 +bx-5，解方程组，求出a，b的值，即可解答；
(2)先求出C(0，-5)，利用待定系数求出直线BC的解析式为y=-x-5，设P(x，x2 +4x-5)，则E(x，-x-5)，分x<-5，-51，四种情况利用 PE=3ED 建立等量关系，解方程计算即可解答；
(3)过点F， P作FG⊥x轴于G，PH⊥x轴于H，得∠AGF= ∠AHP=90°，根据等腰直角三角形的性质得AF=AP，∠PAF =90°，得∠FAG= ∠APH即可利用AAS证明得△AFG≌ △PAH ，利用全等三角形得性质可得AH=FG，PH= AG，设P(m，m2 +4m-5)，分-51两种情况，计算即可解答.
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