湖南省长沙市2025年中考真题数学试题
1．（2025·长沙）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600 000 km，用科学记数法将数据149 600 000表示为( )
A．1.496×109 B． C． D．14.96×107
2．（2025·长沙）左下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是( )
A． B．
C． D．
3．（2025·长沙）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量.如果把向东走80米记作+80米，那么向西走60米记作( )
A．- 60米 B．- 80米 C．+90米 D．+60米
4．（2025·长沙）下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
5．（2025·长沙）2020年，我国承诺，力争于 2030年前实现“碳达峰”，2060 年前实现“碳中和”.倡导低碳生活是每个公民的社会责任.某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量(单位：千克)数据， 依次为： 76，78，77，79，78，75，78，80.则这组数据的众数是( )
A．77 B．78 C．79 D．80
6．（2025·长沙）智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘 10个苹果.若该机器人搭载m个机械手(m＞1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为( )
A．6m B．m+10 C．60m D．10m
7．（2025·长沙） 如图， AB∥CD， 直线EF 与直线AB， CD分别交于点E， F， 直线EG 与直线CD交于点G. 若∠1=70°， ∠2=50°， 则∠GEF的度数为( )
A．50° B．60° C．65° D．70°
8．（2025·长沙） 如图， AC， BC为⊙O的弦， 连接OA， OB， OC.若∠AOB=40°， ∠OCA=30°，则∠BCO的度数为( )
A．40° B．45° C．50° D．55°
9．（2025·长沙） 如图， 将△ABC沿折痕AD折叠， 使点B落在AC边上的点E处，若AB=4， BC=5，AC=6， 则△CDE的周长为( )
A．5 B．6 C．6.5 D．7
10．（2025·长沙）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力.据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为18.53万亿美元.
附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表
国家 GDP总量(单位：万亿美元) 国家 GDP总量(单位：万亿美元)
德国 4.59 巴西 2.33
印度 3.93 俄罗斯 2.05
英国 3.49 韩国 1.76
法国 3.13 瑞士 0.93
预计2025年中国GDP总量的增长率为5%左右，请你根据以上信息估算：2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近 ( )
A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国
11．（2025·长沙） 分解因式： mx-2my= .
12．（2025·长沙）为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体3600名学生中，随机调查了 100名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习.由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有 名.
13．（2025·长沙）分式方程 的解为 .
14．（2025·长沙） 如图， AB为⊙O的弦， OC⊥AB于点C， 连接OA， OB，若AB=OA， AC=3， 则OA的长为 .
15．（2025·长沙） 如图，五边形ABCDE中，∠B=120°，∠C=110°，∠D=105°，则∠A+∠E= °
.
16．（2025·长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题： 如果a， b， c为实数， 且满足a+b=-c. 那么2=1.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有 a+b=-c；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有
a=2a-a，b=2b-b，c=2c-c； ②
第三步： 把②代入①， 可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)； ③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c)； ④
第五步： 把④两边同时除以(a+b+c)， 得 2=1.⑤
请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则.
17．（2025·长沙）计算：
18．（2025·长沙）解不等式组：.
19．（2025·长沙） 如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠B=72°， 以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D.
（1） 求∠BCD的度数；
（2） 若BC=2.5， 求AD的长.
20．（2025·长沙）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行.论坛聚焦美育与阅读融合.为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等第形式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表.(A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格.)
等第 频数 频率
A 20 m
B 30 0.30
C n 0.44
D 6 0.06
根据图表中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了 名学生的成绩；表中m= ，n= ；
（2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为 度；
（3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取 2 名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2 名学生恰好来自同一个班级的概率.
21．（2025·长沙） 如图， 正方形ABCD中， 点E， F 分别在AB， CD上， 且BE=DF .
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；
（2） 连接EF， 若BC=12， BE=5， 求EF的长.
22．（2025·长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元.(不考虑加工损耗)
（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元
（2）若该食品企业以每千克 8 元购进 6000 千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克
23．（2025·长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB=800m.
（1） 求∠ACB的度数；
（2）求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号)
24．（2025·长沙） 我们约定： 当x1，y1，x2，y2满足( 且 时， 称点(x1，y1)与点(x2，y2)为一对“对偶点”.若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”.请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”)；
①函数 (k是非零常数)的图象上存在无数对“对偶点”；( )
②函数y=-2x+1一定不是“对偶函数”；( )
③函数 的图象上至少存在两对“对偶点”.( )
（2）若关于x的一次函数. 与 都是常数，且. 均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；
（3）若关于x的二次函数 是“对偶函数”，求实数a的取值范围.
25．（2025·长沙）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点， 连接CD， 且始终满足CD=AD+BC.
（1）求证：CD与该半圆相切；
（2）当半径 时，令 比较m与n的大小，并说明理由；
（3）在(1)的条件下，如图2，当半径r=1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG=x， 求y关于x的函数解析式.(不考虑自变量x的取值范围).
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 用科学记数法将数据149 600 000表示为，
故选：B.
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的左视图是：
，
故选：A.
【分析】根据从左面看到的几何图形是左视图解答即可.
3．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解： 把向东走80米记作+80米，那么向西走60米记作-60米，
故答案为：A.
【分析】根据具有相反意义的量中，规定向东为正，那么向西为负解答即可.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：不能运算，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，计算正确；
D：不能运算，原计算错误‘’
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、单项式的除法、积的乘方、合并同类二次根式的运算法则逐项判断解答即可.
5．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在这组数据中78出现两次，次数最多，故众数为78，
故答案为：B.
【分析】根据众数是出现最多得数解答即可.
6．【答案】D
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】 该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为10×m=10m个，
故答案为：D.
【分析】根据每个机械手采摘数量×机械手数量解答即可.
7．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠2=50°，
又∵∠BEF=∠1=70°，
∴∠GEF=180°-∠AEG-∠BEF=180°-50°-70°=60°，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行得到∠AEG=∠2=50°，然后根据对顶角相等得到∠BEF=∠1=70°，再根据平角的定义解答即可.
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ABC=，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=20°+30°=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=50°，
故答案为：C.
【分析】先根据圆周角定理求出∠ABC=20°，然后求出∠OCB的度数，然后根据等边对等角解答即可.
9．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可得AE=AB=4，DE=BD，
∴CE=AC-AE=6-4=2，
∴ △CDE的周长为CE+DE+CD=CE+CD+DB=CE+BC=2+5=7，
故答案为：D.
【分析】根据轴对称可得AE=AB=4，DE=BD，即可求出CE长，然后根据△CDE的周长为CE+BC解答即可.
10．【答案】B
【知识点】有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：18.53×5%=0.9265，
∴2024年GDP总量最接近的是瑞士，
故答案为：B.
【分析】先计算2025年中国GDP的增长量，然后和表格数据比较解题即可.
11．【答案】m(x-2y)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：mx-2my=m(x-2m)，
故答案为：m(x-2m).
【分析】根据提取公因式法分解因式即可解题.
12．【答案】108
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：名，
故答案为：108.
【分析】利用全体学生数3600乘以从未使用过平台的占比解答即可.
13．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
两边同时乘以(x+1)(2x-1)得3(2x-1)=2(x+1)
解得：，
经检验代入是原方程的解，
故答案为：.
【分析】分式方程两边同时乘以(x+1)(2x-1)化为整式方程，求出整式方程的解并检验解答即可.
14．【答案】6
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：解：∵ OC⊥AB ，
∴AB=2AC=6，
∴OA=AB=6，
故答案为：6.
【分析】根据垂径定理得到AB=2AC=6，然后根据等量代换解答即可.
15．【答案】205
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】∵ ABCDE是五边形，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(5-3)×180°=540°，
∴ ∠A+∠E=540°-∠B-∠C-∠D=540°-120°-110°-105°=205°，
故答案为：205.
【分析】先求出五边形的内角和，然后求出∠A+∠E即可解答.
16．【答案】五
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】第五步出现错误，两边除以a+b+c时为考虑是否为零，
故答案为：五.
【分析】根据等式的基本性质“两边同时除以同一个不为零的数，结果仍相等”解答即可.
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的绝对值；整数指数幂的运算
【解析】【分析】先运算绝对值、负整数指数次幂、乘方、零指数次幂，然后加减解答即可.
18．【答案】解： 解不等式①， 得 x＞-7
解不等式②， 得x≤2
∴ 不等式组的解集为-7＜x≤2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解两个不等式求出解集，然后利用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可.
19．【答案】（1）解： ∵AB=AC， ∠B=72°，
∴∠ACB=∠B=72°.
由作图可知，CD是∠ACB的角平分线，
（2）解：在△BCD中， 由三角形内角和定理得 ∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠BDC=∠B ，
∴CD=CB，
在△ACD中， ∵ ∠BDC=∠A+∠ACD， ∠ACD=36°，
∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°.
∴∠A=∠ACD.
∴AD=CD.
∴AD=BC.
∵BC=2.5，
∴AD=2.5.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠ACB的度数，然后根据作图得到CP是角平分线，根据角平分线的定义解答即可；
（2）先根据内角和定理得到∠BDC=∠B ，即可得到BC=CD，然后根据外角得到∠A=∠ACD.即可得到AD=CD，即可解答.
20．【答案】（1）100；0.20；44
（2）72
（3）解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图：
一共有 12种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果.
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：30÷0.30=100名，
∴m=20÷100=0.20；n=100×0.44=44，
故答案为：100，0。20，0.44；
（2）解：“A等”所对应的扇形的圆心角为，
故答案为：72；
【分析】（1）根据“B等”人数除以占比求出中学生数；然后利用“A等”人数除以占比求出频数m，再用总人数乘以“C等”的频率得到频数n的值解题；
（2）运用360°乘以“A等”的占比解答即可；
（3）列树状图得到所有等可能的结果数，找出符合要求的结果数，根据概率公式计算解答即可.
21．【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD且AB=CD.
又∵BE=DF ，
∴ AB-BE=CD-DF.
∴ AE=CF.
又∵AE∥CF.
∴四边形 AECF 是平行四边形
（2）解：过点E作EH⊥CD于点H.
∵四边形ABCD是正方形， BC=12，
∴CD=BC=12， ∠B=∠BCD=90°.
又∵∠EHC=90°，
∴四边形EBCH 是矩形.
∴EB=HC=5， EH=BC=12.
又∵DF=BE=5，
∴HF=CD-DF-CH=12-5-5=2.
在Rt△EHF中，由勾股定理得
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点E作EH⊥CD于点H.即可得到EBCH 是矩形，即可得到EB=HC=5， EH=BC=12.求出HF长，利用勾股定理解答即可.
22．【答案】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，
由题意得 解得
答：A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10元.
（2）解：设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品(6000-m)千克，由题意得(12-8)m+(10-8)(6000-m)≥16000.
解得m≥2000，
答：要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品2000千克.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，根据“ 销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元 ”列方程组解答即可；
（2）设需加工A等级农产品m千克，根据题意列不等式求m的最小解即可解答.
23．【答案】（1）解：如图，
由题意可得∠ ，
°.
（2）解：
方法一：
∵ ∠CBE=60°，
由 (1) 得
又∵AB=800，
∴AB=AC=800.
在Rt△ACM中，
∴BM =BA+AM =800+400=1200.
∵∠BDM=45°， BM⊥DM ，
∴DM =BM =1200.
∴景点C与景点D之间的距离为
方法二：
∵∠CBE=60°， ∠CAF=30°， BE∥AF∥DM ，
∴∠BCM=∠CBE=60°， ∠ACM=∠CAF=30°.
设AM=x，则.
在Rt△BCM 中，
即
解得x=400.经检验得x=400是原方程的解.
∴BM =BA+AM=800+400=1200.
∵∠BDM=45°， BM⊥DM ，
∴BM=DM=1200.
∴景点C与景点D之间的距离为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据方位角得到°，然后根据角的和差解答即可；
（2）方法一：先根据等边对等角得到AB=AC=800，然后在Rt△ACM中利用三角函数求出AM和CM的值，即可求出BM长和DM长，根据线段的和差解答即可；方法二：先得到∠ACM=∠CAF=30°，设AM=x，求出AC和CM长，然后在Rt△BCM 中，利用正切的定义求出x的值，然后求出BM，即可得到DM长，然后根据线段的和差解答即可.
24．【答案】（1）√；√；×
（2）解：由题意可得 点 与点 且是一对“对偶点”，由于 是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”.
从而有 两式相减可得 同理可得
所以两个一次函数为 由于b1，b2都是常数，且 故此两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示
求得其面积之和S =（b12+b22）
（3）解：方法一：由题意可得 a≠0，且 时，有，以上两式相减可得 从而将 代入①整理可得
此关于x1的一元二次方程必有实数根，由于 时， (不符合题意).
从而必有 Δ=-3+8a＞0， 解得
方法二：由题意可得 a≠0，由于函数 是“对偶函数”，所以它的图象上一定存在一对“对偶点”点A(x1，y1)与点B(-y1，-x1)且
不妨设经过A，B两点的直线(一次函数)的解析式为y=kx+b，由题意可得 即
联立，①-②得
由直线AB 与二次函数图象必有两个不同交点，
故必有 (*).
.
③-④得 将其代入(*)
可得△=1-4+8a＞0， 解得
方法三；由题意可得 a≠0，且 时，有
以上两式相减可得 以上两式相加变形可得 所以关于t的一元二次方程 必有两个不等实数根. 从而 解得
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据“对偶点”和“对偶函数”的定义逐一判断解答即可；
（2）利用 “对偶函数”的定义设这对对偶点为 与点 代入解析式求出 即可得到两直线平行，画出图象，然后表示面积解答即可；
（3）方法一：把“对偶点”坐标代入解析式，两等式相减得到 代入①得到关于x1的二次函数，根据根的判别式求出a的取值范围即可；方法二：求出过“对偶点”的直线AB的解析式，联立两个函数的解析式得到方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式求出取值范围；方法三：把点(x1，y1)代入得到防程组，根据减法和乘法得到以. 为根的方程，根据根的判别式解答即可.
25．【答案】（1）证明：证法一： 如图1，
连接OC， OD， 过O作( 于点E.
令
由于
则有
化简得d=r，
∴CD与该半圆相切.
证法二：如图2，
连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作于点E.
∵AD与BC均为该半圆的切线，
∴AD⊥AB，BC⊥AB.
∴AD∥BC.
∴∠M=∠1.
∵O为AB 的中点，
∴OA=OB.
在△OAM 与△OBC中
∴△OAM≌△OBC(AAS).
∴AM=BC.
∵CD=AD+BC，
∴CD=AD+AM=DM .
∴∠M=∠2.
∴∠1=∠2， 即CO平分∠BCD.
又∵OE⊥CD， OB⊥CB，
∴OE=OB.
∴CD与该半圆相切.
证法三：如图3，
在DC上截取DE=DA， 连接OE， AE， BE.
∵DC=AD+BC=DE+CE，
∴CE=CB，
∴∠1=∠2， ∠3=∠4.
∵ AD， BC是半圆的切线，
∴AD⊥AB， BC⊥AB.
∴AD∥BC.
∴∠ADC+∠C=180°.
∵∠ADC+∠1+∠2+∠C+∠3+∠4=360°，
∴∠AEB=90°.
∵O为AB的中点，
连接OD， 在△ADO和△EDO中
∴△ADO≌△EDO (SSS).
∴∠OED=∠OAD=90°.
∴OE⊥CD、
∴CD与该半圆相切.
（2）解：m=n.理由如下：
如图4，
过点C作CM⊥AD， 交AD于点M，
在△CDM中，由勾股定理可得
∵CD=AD+BC=a+b， DM =|a-b|， CM=2r，
代入可得
（3）解：如图5，
∵ CD， AD， BC均为该半圆的切线， ∴DA=DE， CB=CE，
∵AD⊥AB， BC⊥AB， ∴AD∥BC.
∵∠ACD=∠GCE， ∴△ACD∽△GCE.
∴∠ADC=∠GEC. ∴EG∥AD∥BC，FG∥AD∥BC.
同理可得
由(2)可知
又在Rt△ABE中，
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；切线的性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）正法一：连接OC， OD， 过O作于点E.令根据面积列等式即可得到d=r，即可得到结论；证法二：连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作于点E.证明△OAM≌△OBC，即可得到AM=BC，然后根据角平分线的定义解答即可；证法三：在DC上截取DE=DA， 连接OE， AE， BE.证明△ADO≌△EDO，即可得到∠OED=∠OAD=90°证明结论；
（2）过点C作CM⊥AD， 交AD于点M，根据勾股定理得到，代入计算解答即可；
（3）证明，可得对应边成比例，然后根据对应边成比例且夹角相等得到△ACD∽△GCE.进而得到，同理可得，设在Rt△ABE中求出，，然后代入求出函数解析式即可.
1 / 1湖南省长沙市2025年中考真题数学试题
1．（2025·长沙）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600 000 km，用科学记数法将数据149 600 000表示为( )
A．1.496×109 B． C． D．14.96×107
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 用科学记数法将数据149 600 000表示为，
故选：B.
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．（2025·长沙）左下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的左视图是：
，
故选：A.
【分析】根据从左面看到的几何图形是左视图解答即可.
3．（2025·长沙）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量.如果把向东走80米记作+80米，那么向西走60米记作( )
A．- 60米 B．- 80米 C．+90米 D．+60米
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解： 把向东走80米记作+80米，那么向西走60米记作-60米，
故答案为：A.
【分析】根据具有相反意义的量中，规定向东为正，那么向西为负解答即可.
4．（2025·长沙）下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：不能运算，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，计算正确；
D：不能运算，原计算错误‘’
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、单项式的除法、积的乘方、合并同类二次根式的运算法则逐项判断解答即可.
5．（2025·长沙）2020年，我国承诺，力争于 2030年前实现“碳达峰”，2060 年前实现“碳中和”.倡导低碳生活是每个公民的社会责任.某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量(单位：千克)数据， 依次为： 76，78，77，79，78，75，78，80.则这组数据的众数是( )
A．77 B．78 C．79 D．80
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在这组数据中78出现两次，次数最多，故众数为78，
故答案为：B.
【分析】根据众数是出现最多得数解答即可.
6．（2025·长沙）智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘 10个苹果.若该机器人搭载m个机械手(m＞1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为( )
A．6m B．m+10 C．60m D．10m
【答案】D
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】 该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为10×m=10m个，
故答案为：D.
【分析】根据每个机械手采摘数量×机械手数量解答即可.
7．（2025·长沙） 如图， AB∥CD， 直线EF 与直线AB， CD分别交于点E， F， 直线EG 与直线CD交于点G. 若∠1=70°， ∠2=50°， 则∠GEF的度数为( )
A．50° B．60° C．65° D．70°
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠2=50°，
又∵∠BEF=∠1=70°，
∴∠GEF=180°-∠AEG-∠BEF=180°-50°-70°=60°，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行得到∠AEG=∠2=50°，然后根据对顶角相等得到∠BEF=∠1=70°，再根据平角的定义解答即可.
8．（2025·长沙） 如图， AC， BC为⊙O的弦， 连接OA， OB， OC.若∠AOB=40°， ∠OCA=30°，则∠BCO的度数为( )
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ABC=，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=20°+30°=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=50°，
故答案为：C.
【分析】先根据圆周角定理求出∠ABC=20°，然后求出∠OCB的度数，然后根据等边对等角解答即可.
9．（2025·长沙） 如图， 将△ABC沿折痕AD折叠， 使点B落在AC边上的点E处，若AB=4， BC=5，AC=6， 则△CDE的周长为( )
A．5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可得AE=AB=4，DE=BD，
∴CE=AC-AE=6-4=2，
∴ △CDE的周长为CE+DE+CD=CE+CD+DB=CE+BC=2+5=7，
故答案为：D.
【分析】根据轴对称可得AE=AB=4，DE=BD，即可求出CE长，然后根据△CDE的周长为CE+BC解答即可.
10．（2025·长沙）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力.据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为18.53万亿美元.
附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表
国家 GDP总量(单位：万亿美元) 国家 GDP总量(单位：万亿美元)
德国 4.59 巴西 2.33
印度 3.93 俄罗斯 2.05
英国 3.49 韩国 1.76
法国 3.13 瑞士 0.93
预计2025年中国GDP总量的增长率为5%左右，请你根据以上信息估算：2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近 ( )
A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国
【答案】B
【知识点】有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：18.53×5%=0.9265，
∴2024年GDP总量最接近的是瑞士，
故答案为：B.
【分析】先计算2025年中国GDP的增长量，然后和表格数据比较解题即可.
11．（2025·长沙） 分解因式： mx-2my= .
【答案】m(x-2y)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：mx-2my=m(x-2m)，
故答案为：m(x-2m).
【分析】根据提取公因式法分解因式即可解题.
12．（2025·长沙）为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体3600名学生中，随机调查了 100名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习.由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有 名.
【答案】108
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：名，
故答案为：108.
【分析】利用全体学生数3600乘以从未使用过平台的占比解答即可.
13．（2025·长沙）分式方程 的解为 .
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
两边同时乘以(x+1)(2x-1)得3(2x-1)=2(x+1)
解得：，
经检验代入是原方程的解，
故答案为：.
【分析】分式方程两边同时乘以(x+1)(2x-1)化为整式方程，求出整式方程的解并检验解答即可.
14．（2025·长沙） 如图， AB为⊙O的弦， OC⊥AB于点C， 连接OA， OB，若AB=OA， AC=3， 则OA的长为 .
【答案】6
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：解：∵ OC⊥AB ，
∴AB=2AC=6，
∴OA=AB=6，
故答案为：6.
【分析】根据垂径定理得到AB=2AC=6，然后根据等量代换解答即可.
15．（2025·长沙） 如图，五边形ABCDE中，∠B=120°，∠C=110°，∠D=105°，则∠A+∠E= °
.
【答案】205
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】∵ ABCDE是五边形，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(5-3)×180°=540°，
∴ ∠A+∠E=540°-∠B-∠C-∠D=540°-120°-110°-105°=205°，
故答案为：205.
【分析】先求出五边形的内角和，然后求出∠A+∠E即可解答.
16．（2025·长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题： 如果a， b， c为实数， 且满足a+b=-c. 那么2=1.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有 a+b=-c；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有
a=2a-a，b=2b-b，c=2c-c； ②
第三步： 把②代入①， 可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)； ③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c)； ④
第五步： 把④两边同时除以(a+b+c)， 得 2=1.⑤
请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则.
【答案】五
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】第五步出现错误，两边除以a+b+c时为考虑是否为零，
故答案为：五.
【分析】根据等式的基本性质“两边同时除以同一个不为零的数，结果仍相等”解答即可.
17．（2025·长沙）计算：
【答案】解：原式
【知识点】实数的绝对值；整数指数幂的运算
【解析】【分析】先运算绝对值、负整数指数次幂、乘方、零指数次幂，然后加减解答即可.
18．（2025·长沙）解不等式组：.
【答案】解： 解不等式①， 得 x＞-7
解不等式②， 得x≤2
∴ 不等式组的解集为-7＜x≤2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解两个不等式求出解集，然后利用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可.
19．（2025·长沙） 如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠B=72°， 以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D.
（1） 求∠BCD的度数；
（2） 若BC=2.5， 求AD的长.
【答案】（1）解： ∵AB=AC， ∠B=72°，
∴∠ACB=∠B=72°.
由作图可知，CD是∠ACB的角平分线，
（2）解：在△BCD中， 由三角形内角和定理得 ∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠BDC=∠B ，
∴CD=CB，
在△ACD中， ∵ ∠BDC=∠A+∠ACD， ∠ACD=36°，
∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°.
∴∠A=∠ACD.
∴AD=CD.
∴AD=BC.
∵BC=2.5，
∴AD=2.5.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠ACB的度数，然后根据作图得到CP是角平分线，根据角平分线的定义解答即可；
（2）先根据内角和定理得到∠BDC=∠B ，即可得到BC=CD，然后根据外角得到∠A=∠ACD.即可得到AD=CD，即可解答.
20．（2025·长沙）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行.论坛聚焦美育与阅读融合.为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等第形式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表.(A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格.)
等第 频数 频率
A 20 m
B 30 0.30
C n 0.44
D 6 0.06
根据图表中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了 名学生的成绩；表中m= ，n= ；
（2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为 度；
（3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取 2 名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2 名学生恰好来自同一个班级的概率.
【答案】（1）100；0.20；44
（2）72
（3）解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图：
一共有 12种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果.
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：30÷0.30=100名，
∴m=20÷100=0.20；n=100×0.44=44，
故答案为：100，0。20，0.44；
（2）解：“A等”所对应的扇形的圆心角为，
故答案为：72；
【分析】（1）根据“B等”人数除以占比求出中学生数；然后利用“A等”人数除以占比求出频数m，再用总人数乘以“C等”的频率得到频数n的值解题；
（2）运用360°乘以“A等”的占比解答即可；
（3）列树状图得到所有等可能的结果数，找出符合要求的结果数，根据概率公式计算解答即可.
21．（2025·长沙） 如图， 正方形ABCD中， 点E， F 分别在AB， CD上， 且BE=DF .
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；
（2） 连接EF， 若BC=12， BE=5， 求EF的长.
【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD且AB=CD.
又∵BE=DF ，
∴ AB-BE=CD-DF.
∴ AE=CF.
又∵AE∥CF.
∴四边形 AECF 是平行四边形
（2）解：过点E作EH⊥CD于点H.
∵四边形ABCD是正方形， BC=12，
∴CD=BC=12， ∠B=∠BCD=90°.
又∵∠EHC=90°，
∴四边形EBCH 是矩形.
∴EB=HC=5， EH=BC=12.
又∵DF=BE=5，
∴HF=CD-DF-CH=12-5-5=2.
在Rt△EHF中，由勾股定理得
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点E作EH⊥CD于点H.即可得到EBCH 是矩形，即可得到EB=HC=5， EH=BC=12.求出HF长，利用勾股定理解答即可.
22．（2025·长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元.(不考虑加工损耗)
（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元
（2）若该食品企业以每千克 8 元购进 6000 千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克
【答案】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，
由题意得 解得
答：A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10元.
（2）解：设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品(6000-m)千克，由题意得(12-8)m+(10-8)(6000-m)≥16000.
解得m≥2000，
答：要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品2000千克.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，根据“ 销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元 ”列方程组解答即可；
（2）设需加工A等级农产品m千克，根据题意列不等式求m的最小解即可解答.
23．（2025·长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB=800m.
（1） 求∠ACB的度数；
（2）求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号)
【答案】（1）解：如图，
由题意可得∠ ，
°.
（2）解：
方法一：
∵ ∠CBE=60°，
由 (1) 得
又∵AB=800，
∴AB=AC=800.
在Rt△ACM中，
∴BM =BA+AM =800+400=1200.
∵∠BDM=45°， BM⊥DM ，
∴DM =BM =1200.
∴景点C与景点D之间的距离为
方法二：
∵∠CBE=60°， ∠CAF=30°， BE∥AF∥DM ，
∴∠BCM=∠CBE=60°， ∠ACM=∠CAF=30°.
设AM=x，则.
在Rt△BCM 中，
即
解得x=400.经检验得x=400是原方程的解.
∴BM =BA+AM=800+400=1200.
∵∠BDM=45°， BM⊥DM ，
∴BM=DM=1200.
∴景点C与景点D之间的距离为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据方位角得到°，然后根据角的和差解答即可；
（2）方法一：先根据等边对等角得到AB=AC=800，然后在Rt△ACM中利用三角函数求出AM和CM的值，即可求出BM长和DM长，根据线段的和差解答即可；方法二：先得到∠ACM=∠CAF=30°，设AM=x，求出AC和CM长，然后在Rt△BCM 中，利用正切的定义求出x的值，然后求出BM，即可得到DM长，然后根据线段的和差解答即可.
24．（2025·长沙） 我们约定： 当x1，y1，x2，y2满足( 且 时， 称点(x1，y1)与点(x2，y2)为一对“对偶点”.若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”.请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”)；
①函数 (k是非零常数)的图象上存在无数对“对偶点”；( )
②函数y=-2x+1一定不是“对偶函数”；( )
③函数 的图象上至少存在两对“对偶点”.( )
（2）若关于x的一次函数. 与 都是常数，且. 均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；
（3）若关于x的二次函数 是“对偶函数”，求实数a的取值范围.
【答案】（1）√；√；×
（2）解：由题意可得 点 与点 且是一对“对偶点”，由于 是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”.
从而有 两式相减可得 同理可得
所以两个一次函数为 由于b1，b2都是常数，且 故此两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示
求得其面积之和S =（b12+b22）
（3）解：方法一：由题意可得 a≠0，且 时，有，以上两式相减可得 从而将 代入①整理可得
此关于x1的一元二次方程必有实数根，由于 时， (不符合题意).
从而必有 Δ=-3+8a＞0， 解得
方法二：由题意可得 a≠0，由于函数 是“对偶函数”，所以它的图象上一定存在一对“对偶点”点A(x1，y1)与点B(-y1，-x1)且
不妨设经过A，B两点的直线(一次函数)的解析式为y=kx+b，由题意可得 即
联立，①-②得
由直线AB 与二次函数图象必有两个不同交点，
故必有 (*).
.
③-④得 将其代入(*)
可得△=1-4+8a＞0， 解得
方法三；由题意可得 a≠0，且 时，有
以上两式相减可得 以上两式相加变形可得 所以关于t的一元二次方程 必有两个不等实数根. 从而 解得
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据“对偶点”和“对偶函数”的定义逐一判断解答即可；
（2）利用 “对偶函数”的定义设这对对偶点为 与点 代入解析式求出 即可得到两直线平行，画出图象，然后表示面积解答即可；
（3）方法一：把“对偶点”坐标代入解析式，两等式相减得到 代入①得到关于x1的二次函数，根据根的判别式求出a的取值范围即可；方法二：求出过“对偶点”的直线AB的解析式，联立两个函数的解析式得到方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式求出取值范围；方法三：把点(x1，y1)代入得到防程组，根据减法和乘法得到以. 为根的方程，根据根的判别式解答即可.
25．（2025·长沙）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点， 连接CD， 且始终满足CD=AD+BC.
（1）求证：CD与该半圆相切；
（2）当半径 时，令 比较m与n的大小，并说明理由；
（3）在(1)的条件下，如图2，当半径r=1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG=x， 求y关于x的函数解析式.(不考虑自变量x的取值范围).
【答案】（1）证明：证法一： 如图1，
连接OC， OD， 过O作( 于点E.
令
由于
则有
化简得d=r，
∴CD与该半圆相切.
证法二：如图2，
连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作于点E.
∵AD与BC均为该半圆的切线，
∴AD⊥AB，BC⊥AB.
∴AD∥BC.
∴∠M=∠1.
∵O为AB 的中点，
∴OA=OB.
在△OAM 与△OBC中
∴△OAM≌△OBC(AAS).
∴AM=BC.
∵CD=AD+BC，
∴CD=AD+AM=DM .
∴∠M=∠2.
∴∠1=∠2， 即CO平分∠BCD.
又∵OE⊥CD， OB⊥CB，
∴OE=OB.
∴CD与该半圆相切.
证法三：如图3，
在DC上截取DE=DA， 连接OE， AE， BE.
∵DC=AD+BC=DE+CE，
∴CE=CB，
∴∠1=∠2， ∠3=∠4.
∵ AD， BC是半圆的切线，
∴AD⊥AB， BC⊥AB.
∴AD∥BC.
∴∠ADC+∠C=180°.
∵∠ADC+∠1+∠2+∠C+∠3+∠4=360°，
∴∠AEB=90°.
∵O为AB的中点，
连接OD， 在△ADO和△EDO中
∴△ADO≌△EDO (SSS).
∴∠OED=∠OAD=90°.
∴OE⊥CD、
∴CD与该半圆相切.
（2）解：m=n.理由如下：
如图4，
过点C作CM⊥AD， 交AD于点M，
在△CDM中，由勾股定理可得
∵CD=AD+BC=a+b， DM =|a-b|， CM=2r，
代入可得
（3）解：如图5，
∵ CD， AD， BC均为该半圆的切线， ∴DA=DE， CB=CE，
∵AD⊥AB， BC⊥AB， ∴AD∥BC.
∵∠ACD=∠GCE， ∴△ACD∽△GCE.
∴∠ADC=∠GEC. ∴EG∥AD∥BC，FG∥AD∥BC.
同理可得
由(2)可知
又在Rt△ABE中，
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；切线的性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）正法一：连接OC， OD， 过O作于点E.令根据面积列等式即可得到d=r，即可得到结论；证法二：连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作于点E.证明△OAM≌△OBC，即可得到AM=BC，然后根据角平分线的定义解答即可；证法三：在DC上截取DE=DA， 连接OE， AE， BE.证明△ADO≌△EDO，即可得到∠OED=∠OAD=90°证明结论；
（2）过点C作CM⊥AD， 交AD于点M，根据勾股定理得到，代入计算解答即可；
（3）证明，可得对应边成比例，然后根据对应边成比例且夹角相等得到△ACD∽△GCE.进而得到，同理可得，设在Rt△ABE中求出，，然后代入求出函数解析式即可.
1 / 1
