4.4 机械能守恒定律 习题(含答案解析)

4.4 机械能守恒定律 作业
1．一物体以速度v从地面竖直上抛，当物体运动到某高度时，它的动能恰为重力势能的一半(以地面为零势能面)，不计空气阻力，则这个高度为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析：物体的总机械能为E＝mv2，由机械能守恒得，mv2＝mgh＋mv′2，由题意知mgh＝2×mv′2，解得h＝，选C.
2．如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球(可视为质点)．当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力T、轻绳与竖直线OP的夹角θ满足关系式T＝a＋bcosθ，式中a、b为常数．若不计空气阻力，则当地的重力加速度为(　　)
A. B.
C. D.
解析：当小球运动到最低点时，θ＝0，拉力最大，T1＝a＋b，T1＝mg＋mv/L；当小球运动到最高点时，θ＝180°，拉力最小，T2＝a－b，T2＝－mg＋mv/L；由mg·2L＝mv－mv，联立解得：g＝，选项D正确．
3．在竖直平面内有一半径为R的光滑圆环轨道，一质量为m的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，到达最高点C时的速率vc＝， 则下述正确的是 (　　)
A．此小球的最大速率是vc
B．小球到达C点时对轨道的压力是
C．小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于π 
D．小球在任一直径两端点上的动能之和相等
解析：速度最大的点应该是最低点时，根据机械能守恒定律：mv2－mv＝2mgR，解得： v＝ ＝vC所以A正确．在C点有：mg－NC＝m，得NC＝mg，所以B错误；由T＝，当速度最小时，代入计算可得T＝π ，之后小球的速度在变大，T要减小，T<π ，所以C正确．整个过程中机械能守恒，在任一直径两端点上的点，它们的高度之和都是2R，即它们的重力势能的和相等，由于总的机械能守恒，所以它们的动能之和也相等，所以D正确．
答案：ACD
4. 如图所示，重10 N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧．滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab＝0.8 m，bc＝0.4 m，那么在整个过程中(　　)
A．滑块动能的最大值是6 J
B．弹簧弹性势能的最大值是6 J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J
D．滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒
解析：滑块在滑动过程中，只有重力和弹簧弹力做功，所以滑块和弹簧组成的系统机械能守恒，D正确；以c点所在水平面为参考平面，则滑块在a点的机械能为6 J，在c点时的速度为0，重力势能也为0，所以弹性势能的最大值为6 J，从c到b弹簧的弹力对滑块做的功等于弹性势能的减小量，故为6 J．所以选BCD.
5．如图所示，质量为m和3m的小球A和B可视为质点，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高h(h＜L)，A球由静止从桌面滑下，落在沙地上静止不动，则B球离开桌面的速度为(　　)
A.  B.
C.  D. 
解析：小球A未落地前A、B构成的系统机械能守恒，mgh＝mv2＋(3m)v2，解得v＝ .A球落地后，B球由于惯性以速度v向右运动，故B球离开桌边的速度即为v＝.答案：A
6．(多选题)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m．两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
A．下滑的整个过程中A球机械能守恒
B．下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒
C．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s
D．下滑的整个过程中B球机械能的增加量为 J
解析：当小球A在斜面上、小球B在平面上时杆分别对A、B做功，因此下滑的整个过程中A球机械能不守恒，而两球组成的系统机械能守恒，A错误，B正确；从开始下滑到两球在光滑水平面上运动，利用机械能守恒定律可得：mAg(Lsin30°＋h)＋mBgh＝(mA＋mB)v2，解得v＝ m/s，C错误；下滑的整个过程中B球机械能的增加量为ΔE＝mBv2－mBgh＝ J，D正确．答案：BD
7．如图所示，倾角为30°、高为L的固定斜面底端与水平面平滑相连，质量分别为3m、m的两个小球A、B用一根长为L的轻绳连接，A球置于斜面顶端，现由静止释放A、B两球，球B与弧形挡板碰撞过程中无机械能损失，且碰后只能沿斜面下滑，它们最终均滑至水平面上．重力加速度为g，不计一切摩擦．则(　　)
A．A球刚滑至水平面时速度大小为
B．B球刚滑至水平面时速度大小为
C．小球A、B在水平面上不可能相撞
D．在A球沿斜面下滑过程中，轻绳对B球一直做正功
答案：A
8．如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径(C、D为圆轨道的最低点和最高点)，已知∠BOC＝30°.可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，取g＝10 m/s2.求：
甲 乙
(1)滑块的质量和圆轨道的半径；
(2)是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点．若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)mg(H－2R)＝mv F＋mg＝
联立解得，F＝－mg，
取点(0.50 m,0)和(1.00 m,5.0 N)代入上式得：
m＝0.1 kg，R＝0.2 m.
(2)假设滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点(如图所示)
OE＝，
x＝OE＝vDt R＝gt2
得到：vD＝2 m/s.
而滑块过D点的临界速度
vmin＝＝ m/s.
由于vD>vmin，所以存在一个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点上，mg(H－2R)＝mv 得到：H＝0.6 m.
答案：(1)0.1 kg　0.2 m　(2)存在　0.6 m
9．如图所示，将质量均为m、厚度不计的两物块A、B用轻质弹簧相连接．第一次只用手托着B物块置于H高处静止，现将弹簧锁定，此时弹簧的弹性势能为Ep，现由静止释放A、B，B物块着地后速度立即变为零，同时弹簧锁定解除，在随后的过程中B物块恰能离开地面但不继续上升．第二次用手拿着A、B两物块，使得弹簧竖直并处于原长状态，此时物块B离地面的距离也为H，然后由静止同时释放A、B，B物块着地后速度同样立即变为零．求：
(1)第二次释放A、B后，A上升至弹簧恢复原长时的速度v1；
(2)第二次释放A、B后，B刚要离地时A的速度v2.
解析：(1)第二次释放A、B后，A、B自由落体运动，B着地后，A和弹簧相互作用至A上升到弹簧恢复原长过程中，弹簧对A做的总功为零．
对A从开始下落至弹簧恢复原长过程，由动能定理有mgH＝mv　①
解得v1＝，方向向上．
(2)设弹簧的劲度系数为k，第一次释放A、B前，弹簧向上产生的弹力与A的重力平衡．设弹簧的形变量(压缩)为Δx1，有Δx1＝　②
第一次释放A、B后，B刚要离地时弹簧产生向上的弹力与B的重力平衡
设弹簧的形变量(伸长)为Δx2，有Δx2＝　③
第二次释放A、B后，在B刚要离地时弹簧产生向上的弹力与B的重力平衡
设弹簧的形变量(伸长)为Δx3，有Δx3＝　④
由②③④得Δx1＝Δx2＝Δx3　⑤
即这三个状态，弹簧的弹性势能都为Ep
在第一次释放A、B后至B着地前过程，对A、B和弹簧组成的系统由机械能守恒有
2mgh＝×2mv2　⑥
从B着地后到B刚要离地的过程，对A和弹簧组成的系统，由机械能守恒有
mv2＋Ep＝mg(Δx1＋Δx2)＋Ep　⑦
第二次释放后，对A和弹簧组成的系统，从A上升至弹簧恢复原长到B刚要离地过程，由机械能守恒有
mv＝mgΔx3＋Ep＋mv　⑧ 由①⑥⑦⑧得　v2＝ 
10.如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m，现从静止释放圆环．不计定滑轮和空气的阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)为使圆环能下降h＝3 m，两个物体的质量应满足什么关系？
(2)若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则两个物体的质量有何关系？
(3)不管两个物体的质量为多大，圆环下降h＝3 m时的速度不可能超过多大？
解析：(1)若圆环恰好能下降h＝3 m，由机械能守恒定律得mgh＝MghA，h2＋l2＝(l＋hA)2，
解得两个物体的质量应满足关系M＝3m.
(2)若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，由机械能守恒定律得
mgh＝MghA＋mv2＋Mv，
如图所示，A、B的速度关系为vA＝vcosθ＝v.
解得两个物体的质量关系为＝.
(3)B的质量比A的大得越多，圆环下降h＝3 m时的速度越大，当m?M时可认为B下落过程机械能守恒，有mgh＝mv.
解得圆环的最大速度vm＝ m/s＝7.8 m/s.
即圆环下降h＝3 m时的速度不可能超过7.8 m/s.
答案：(1)M＝3m (2)＝ (3)7.8 m/s
11．(多选题)半径为R的圆桶固定在小车上，有一光滑小球静止在圆桶的最低点，如图所示．小车以速度v向右匀速运动．当小车遇到障碍物突然停止，小球在圆桶中上升的高度可能为(　　)
A．等于 B．大于
C．小于 D．等于2R
解析：由动能定理得mv2＝mgh，得A项正确；能通过圆桶的最高点，高度等于2R，D项对；在到达最高点前脱离圆周做斜抛运动最大高度小于，因这时有动能，B项错、C项对．答案：ACD