1-2运动的合成与分解 学案1

1.2
运动的合成与分解
学案
课前自主预习
1.
分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动都是
，物体的实际运动就是合运动．
答案：分运动
2.
运动的合成：已知分运动求合运动，叫做运动的合成．
(1)同一条直线上的两分运动的合成：同向
，反向
．
(2)不在同一条直线上的两分运动合成时，遵循
．
答案：相加
相减
平行四边形定则
3.运动的分解：已知合运动求分运动，叫做运动的分解．
(1)运动的分解是运动的合成的
．
(2)分解方法：根据运动的实际效果分解或
分解．
答案：逆过程
正交
4.
(双选)
关于运动的合成与分解，以下说法正确的是（
）
A．由两个分运动求合运动，合运动不是唯一确定的
B．由合运动分解为两个分运动，可以有不同的分解方法
C．物体做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动
D．任何形式的运动，都可以用几个分运动代替
解析：如果分运动确定了，合运动也是唯一确定的，A错，合运动分解为两个分运动时，可以根据运动的实际效果分解或正交分解，B对，任何形式的运动，可以用两个或两个以上的分运动来代替，只要分运动和合运动的运动效果一样就可以，所以C错，D对。
答案:
BD
5.
(单选)
对运动的合成与分解，理解正确的是：（
）
A．是为了把复杂的运动转化为简单或已知的运动
B．运动的分解就是把一个运动分前后两步完成
C．运动的合成就是把两个运动的物体看成一个物体
D．合运动的速度总是大于每个分运动的速度
解析：对一个运动的分解的目的是把复杂的运动转化为简单或已知的运动，我们更容易分析，A正确；所有分运动和合运动具有同时性，没有先后之分，B错；运动的合成和分解都是相对于同一个物体而言的，C错；速度的合成遵循平行四边形定则，合速度可能大于分速度，也可能等于分速度，也可能小于分速度，D错。
答案：A
课堂互动探究
知识点1
分运动与合运动
新知探究
2012年4月22日至27日，中俄海军在黄海水域举行了名为“海上联合－2012”联合军事演习，演习的课题是“海上联合防御和保交作战”，按照作战筹划、实兵演习、海上阅兵和交流研讨四个阶段组织。图1-2-2为由某航空母舰起飞的战斗机投弹时情景。
讨论：
（1）假设战斗机正在匀速飞行，边飞行边投出炮弹，若忽略空气阻力不计，我们可以观察到从战斗机投出的炮弹一直处于战斗机的
。
（2）由于
，炮弹离开飞机时，在水平方向有与飞机相同的速度，炮弹在水平方向上做与飞机速度相同的
运动；又由于受到
的作用，炮弹在竖直方向上做
运动；故从地面上看炮弹一直在飞机的正下方下落。
（3）我们把炮弹在空中的
称为炮弹的合运动，把炮弹在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动称为炮弹的两个
。
（4）炮弹在水平方向上的分运动和在竖直方向上的分运动共同产生的效果与合运动的效果是
。
答案：（1）正下方
（2）惯性
匀速直线
重力
自由落体
（3）实际运动
分运动
（4）相同的
重点归纳
1．定义：如果一个物体实际发生的运动产生的效果与两外两个分运动共同产生的效果相同，我们就把该物体实际发生的运动叫做这两个分运动的合运动，这两个运动叫做这一实际运动的分运动。
2．合运动与分运动的关系
(1)运动的独立性
一个物体同时参与两个(或多个)运动，其中的任何一个运动并不会受其他分运动的干扰，而保持其运动性质不变，这就是运动的独立性原理．虽然各分运动互不干扰，但是它们共同决定合运动的性质和轨迹．
(2)运动的等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)．
(3)运动的等效性
各分运动叠加起来与合运动有相同的效果．
(4)运动的同一性
各分运动与合运动，是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不是几个不同物体发生的不同运动．
解析：根据分运动与合运动的等时性，个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等，故C正确。
答案：C
触类旁通
1.
(双选)
合运动与分运动的关系，下列说服正确的是（
）
A.
某分运动变化可以影响到合运动，但不会对其它分运动造成任何影响
B.
合运动的时间可能等于各分运动时间之和
C.
合运动的时间一定等于分运动的时间
D.
一个合运动只能有两个互相垂直的分运动
解析：根据运动的独立性和等时性，A、C正确，B错；一个合运动可以分解为两个分运动，也可以分解为多个分运动，故D错。
答案：AC
知识点2
运动的合成与分解
新知探究
一人一猴玩杂技，如图1－2－3所示，猴子沿直杆由A向B匀速向上爬，向上爬行的速度为3m/s，同时人用头顶着直杆水平匀速移动，移动速度为4m/s，已知在10
s内，猴子由A运动到B，而人由甲位置运动到了乙位置．
讨论：
（1）猴子实际的合运动可以分解成
方向的与人一样匀速移动，和
方向的匀速沿杆爬行两个互相垂直的分运动。
（2）猴子水平方向的位移，与人在水平方向的位移一样，是
m，而竖直方向的位移为
m，从图1-2-3上看，这两个位移所构成的平行四边形的对角线刚好就是猴子的实际总位移，为
m。
（3）猴子水平方向的速度，与人在水平方向的位移一样，是4m/s，而竖直方向的速度为3m/s，从图1-2-3上看，这两个速度所构成的平行四边形的对角线刚好就是猴子的实际总速度，为
m/s。
(4)猴子运动的分位移、分速度的合成都遵循矢量的合成法则，即
定则。
答案：（1）水平
竖直
（2）40
30
50
（3）5
（4）平行四边形
重点归纳
1．定义
已知分运动求合运动叫运动的合成，已知合运动（实际运动）求分运动叫运动的分解。
2．运动的合成与分解的目的
运动的合成与分解的目的是把一些复杂的运动，例如曲线运动，简化为比较简单的运动，例如直线运动，这样就可以应用已掌握的有关直线运动的规律，来研究一些复杂的曲线运动。
3．运算法则
运动的合成和分解是指位移、速度、加速度矢量的合成和分解，必须按实际情况进行，遵循平行四边形定则．
如果各分运动都在同一直线上，我们可以选择沿该直线的某一方向作为正方向，与正方向相同的矢量取正值，与正方向相反的矢量取负值，这时就可以把矢量运算简化为代数运算。例如匀变速直线运动公式和等都属于这种情况。如果各分运动互成一定的角度，则要运用平行四边形定则、三角形定则等方法求解。
4．两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动，这取决于它们的合速度v和合加速度a是否共线(如图1－2－4所示).
常见的类型有：
(1)a＝0：性质为匀速直线运动或静止．
(2)a恒定：性质为匀变速运动．有以下三种情况：
①v、a同向，物体做匀加速直线运动；
②v、a反向，物体做匀减速直线运动；
③v、a成角度，物体做匀变速曲线运动(轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到)．
(3)a变化：性质为变加速运动，加速度大小、方向都随时间变化．
5．运动分解的原则
（1）等效性原则，两个分运动的效果与实际的合运动完全等效，可以互相替代；
（2）符合实际的原则，根据实际分运动的效果将合运动分解；
（3）解题方便原则，在不违背等效性原则的前提下，根据解题的需要进行正交分解。
[例2](双选)
关于运动的合成与分解，以下说法正确的是（
）
A．由两个分运动求合运动，合运动不是唯一确定的
B．由合运动分解为两个分运动，可以有不同的分解方法
C．物体做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动
D．任何形式的运动，都可以用几个分运动代替
解析：如果分运动确定了，合运动也是唯一确定的，A错，合运动分解为两个分运动时，可以根据运动的实际效果分解或正交分解，B对，任何形式的运动，可以用两个或两个以上的分运动来代替，只要分运动和合运动的运动效果一样就可以，所以C错，D对。
答案:
BD
触类旁通
2.（单选）关于互成角度（不为零度和180°）的一个匀速直线运动和一个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是（
）
A．一定是直线运动
B．一定是曲线运动
C．可能是直线，也可能是曲线运动
D．以上答案都不对
解析：要确定一个合运动到底是直线运动还是曲线运动，要把两个分运动的初速度合成合初速度，再把两个分运动的加速度合成合加速度，若合初速度和合加速度在同一直线上，则合运动是直线运动，否则是曲线运动。一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动，初速度不在同一直线上，则合初速度和合加速度一定不在同一直线上，故合运动一定是曲线运动，B正确。
答案：B
方法技巧\易错易混\实验透视
方法技巧
小船渡河问题
如图1－2－5所示，v1为小船在静水中速度，v2为水流速度，θ为v1与河岸的夹角，d为河宽．
(1)小船渡河的最短时间．
小船渡河时间仅由v1垂直于河岸的分量v1sin
θ决定，即t＝，与v2无关．当θ＝时，t有最小值，过河最短的时间为t＝(如图1－2－5甲)．
图1－2－5
(2)小船渡河的最小位移(分两种情况讨论)．
①当v1>v2时，小船渡河的最小位移即为河宽，这时航向(船头的方向)应斜向上游，则cos
θ＝，且v1>v2时才有可能垂直渡河(如图1－2－5乙)．
②当v1【例3】河宽d＝100
m，水流速度v1＝4
m/s，船在静水中的速度是v2＝3
m/s，求：
(1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移是多大？
(2)欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
图1－2－6
　图1－2－7
解：设想水不流动，则船将以v2速度做匀速直线运动，设想船不开动，则船将以v1速度顺水漂流，可见实际渡河时，渡船同时参与两个分运动，其合运动沿v1与v2矢量和的方向做匀速直线运动(如图1－2－6)，由于分运动与合运动的等时性，船渡河时间等于v2分运动的时间．
(1)不论v1与v2的大小如何，船头v2的方向垂直指向河岸时，渡河时间最短，t＝＝
s＝25
s.
船经过的位移大小为
s＝vt＝t＝×25
m＝125
m
(2)因船速小于水速，故小船不能垂直过河．虽然小船不能垂直过河，但有最短的路程．设合速度方向与水流方向的夹角为θ，如图1－2－7所示，根据几何关系有
sin
θ＝，s＝
则t＝＝＝50
s.
触类旁通
3．一艘小船在100
m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3
m/s，小船在静水中的速度是4
m/s，求：
(1)欲使小船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
(2)欲使航行距离最短，船应该怎样渡河？渡河时间多长？
解：(1)欲使船渡河时间最短，船头的方向应该垂直于河岸，如图1所示．
渡河最短时间tmin＝＝
s＝25
s
船经过的位移大小
s＝vt＝·tmin＝×25
m＝125
m.
图1
　　　图2
(2)船的最短位移即为河宽，船的合速度的方向垂直于河岸，如图2所示．
船的合速度v＝＝
m/s＝
m/s
船头实际航行方向与河岸夹角的余弦值cos
θ＝＝
渡河时间t＝＝
s
＝
s.
易错易混
绳子、杆末端速度随意分解
对于绳子与杆末端速度分解的问题，很多错误来自于不知道分解什么速度，分解速度时向哪一个方向分解，所以合运动与分运动的判断，对此类问题尤其重要。
1.
绳端速度：即绳子末端的速度，也就是与绳末端相连的物体的速度，是合速度。例如题4中，绳左端的速度就是船的速度V，绳右端的速度是人的速度v，v与V都是合速度。
2.绳身的“移动”速度：是指绳子通过滑轮的速度，其大小对于同一根绳来说，个点均相同，其方向总是沿着绳子方向。绳身移动速度是联系两端物体速度关系的纽带，它在绳的两端往往又扮演着不同角色，可能等于物体速度，也可能是物体速度的一个分量。
判断方法是：看绳端物体速度方向是否沿着绳子方向，如果绳端速度沿着绳子的方向，那么绳身移动的速度就是物体的速度。例如题4中，绳身移动速度在右端等于人的速度v；若绳端物体速度方向与绳子有一定夹角时，则绳身速度就是物体的一个分速度，例如题4中，绳身移动速度在左端就是小船速度V的一个分量。
3.绳身的“转动”速度：当绳身移动速度作为绳子某端物体速度的一个分速度时，该绳端物体速度的另一个分速度，就是与绳子垂直的“转动”速度，该速度反映绳子以滑轮为轴，向上或向下转动的快慢。例如题4中，小船靠岸的过程中，绳左端绕滑轮向下转动，则绳左端转动速度的方向是垂直于绳子向下的。
4.关联速度分解总结
（1）
绳子或杆末端运动速度的分解，应按运动的实际效果进行。
（2）
速度投影定理：不可伸长的绳或杆，尽管各点的速度不同，但各点速度沿绳或杆方向的投影是相同的，即绳子、杆两个端点的合速度分解到沿绳子、杆方向的速度是相等的，此速度称为“关联”速度。
【例4】如图1－2－8所示，一人站在岸上，利用绳和定滑轮，拉船靠岸，在某一时刻绳的速度为v，绳AO段与水平面夹角为θ，不计摩擦和轮的质量，则此时小船的水平速度多大？
图1－2－8
错因：将绳的速度按图1－2－9所示的方法分解，则v1即为船的水平速度，v1＝vcos
θ.
上述错误的原因是没有弄清船的运动情况．实际上船是在做平动，每一时刻船上各点都有相同的水平速度．而AO绳上各点运动比较复杂，既有平动又有转动．以连接船上的A点来说，它有沿绳的平动分速度v，也有与v垂直方向的速度vn，即转动分速度；A点的合速度vA即为两个分速度的和(如图1－2－10)，vA＝.
图1－2－9
　　图1－2－10
正解：小船的运动为平动，而绳AO上各点的运动是平动加转动．以连接船上的A点为研究对象，如图1－2－10所示，A的平动速度为v，转动速度为vn，合速度vA即与船的平动速度相同，由图可以看出vA＝.
触类旁通
5．如图1－2－11所示，车甲以速度v1拉车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2.
图1－2－11
　图3
解：如图所示，将汽车乙的实际运动速度v2分解为沿绳方向的分运动和沿垂直于绳方向的分运动，由于绳不伸长和缩短，必然应满足：
v1=
v2cos
即可求得：v1∶
v2=
cos
分析讲解此题时关键是要抓住①垂直分量对绳的伸长和缩短不会产生影响②只要平行分量与汽车甲的运动速度相等即可保证绳不伸长和缩短。
答案：v1∶
v2=
cos
6．如图1-2-12所示，当放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面上，当滑到图示位置时，B点速度为v，则A点速度是
。（为已知）
解析:设A点速度沿墙竖直向下。
即杆A点的速度沿杆的分速度等于杆B点的速度沿杆的分速度相等。
根据速度投影定理：
得。
答案：
随堂练习
一、单项选择题
1．关于分运动和合运动，下列说法正确的是(
A
)
A．两个分运动是同时进行的
B．先有分运动，后有合运动
C．两个分运动可以是先后进行，也可以是同时进行
D．合运动的轨迹一定是曲线
解析：根据分运动与合运动的等时性及等效性可知选项A对，选项B、C错；而合运动既可为直线运动也可为曲线运动，故选项D错．
2．小船在静水中速度为v，现小船要渡过一条河流，渡河时小船的船头向垂直对岸划行．若小船划行至河中心时，河水流速忽然增大，则渡河时间与预定时间相比，将(
B
)
A．增大
B．不变
C．缩短
D．无法确定
解析：船在流水中的运动，可认为船在静水中运动和水流运动的合成，由分运动独立性知，两者互不干涉．过河时间仅取决于河宽和船在静水中的速度，因此，当水流速度增大时，过河时间不会发生变化．
3．一小船以一定的速度垂直于河岸向对岸航行，下列关于船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的大小关系的说法中正确的是(
D
)
A．水流速度越大，过河时间越短，路程越大
B．水流速度越大，过河时间越长，路程越大
C．路程和时间与水流速度无关
D．过河时间与水流速度无关
解析：由运动的独立性原理可知渡河时间决定于船速，与河水流速无关．船的路程指的是合运动的路程，与流速有关，故选项D对．
4．下列关于运动的分解的说法，正确的是(
B
)
A．一个在平面上的曲线运动不可能分解为直线运动
B．一个初速度不为零的匀变速直线运动可分解为一个匀速直线运动和一个初速度为零的匀加速直线运动
C．沿斜面向下的直线运动可分解为一个水平方向的匀速直线运动和一个竖直方向的匀加速直线运动
D．一个匀速直线运动不可能再分解
解析：在平面上的曲线运动可以分解为两个直线运动；沿斜面下滑的物体有两种情况，一种是匀速直线运动，这样可分为水平和竖直方向的匀速直线运动，另一种是匀变速直线运动，加速度沿着斜面，故可分解为水平和竖直方向的两个匀变速直线运动；任何一个矢量均可分解，故选项A、C、D错，B对．
5．关于运动的合成和分解，下述说法中正确的是(
C
)
A．合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和
B．物体的两个分运动若是直线运动，则它的合运动一定是直线运动
C．合运动和分运动具有同时性
D．若合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动
解析：合速度与分速度遵循平行四边形定则，故选项A错；当物体的两个分运动都是直线运动时，其合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，故B、D错．
二、双项选择题
6．已知两个分运动是互相垂直的，一个是匀速直线运动，一个是初速度为零的匀变速直线运动，则下列说法正确的是(
BC
)
A．合运动一定是直线运动
B．合运动一定是曲线运动
C．合运动的加速度一定不变
D．合运动的加速度可能改变
解析：两个分运动的合初速度方向与合加速度方向垂直，且合加速度恒定，故选项B、C对．
图1-2-2
图1-2-3
图1-2-4
图1-2-12