3．1.2 函数的表示法
第 1 课时 函数的表示法—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
逐点清(一) 函数的三种表示法
[多维理解]
三种常用的函数表示方法
|微|点|助|解|
对三种表示法的说明
解析法 利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域
列表法 采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性
图象法 图象既可以是光滑的曲线，也可以是直线、折线、离散的点
[微点练明]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有函数都能用三种表示法表示．( )
(2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示．( )
(3)若函数f(x)是反比例函数，则f(1)＝1.( )
(4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰．( )
2．已知函数y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
3．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝________.
x 1≤x<2 2 2f(x) 1 2 3
4．中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)吗？
逐点清(二) 函数的图象
[多维理解]
作函数y＝f(x)图象的方法
(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．
(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：
①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．
[微点练明]
1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________．
2．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域：
(1)y＝3x；(2)y＝－4x＋5；(3)y＝x2－6x＋7.
(4)y＝－，x∈[－3,0)∪(0,1]．
逐点清(三) 函数的解析式
[典例] 求下列函数的解析式：
(1)(换元法或配凑法)已知f(＋1)＝x－2，求f(x)；
(2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)；
(3)(方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)．
听课记录：
|思|维|建|模| 求函数解析式的4种常用方法
换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围
配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得到f(x)的表达式
待定 系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法
方程 组法 已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)
[针对训练]
根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)已知f(x)满足f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
(3)已知f(x)满足2f＋f(x)＝x(x≠0)．
第1课时 函数的表示法
[逐点清(一)]
[多维理解] 解析式 表格 图象
[微点练明]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．选C 设y＝，由题意知1＝，即k＝2.∴y＝.
3．解析：∵当2答案：3
4．解：因为函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6}，所以用解析法可将函数表示为f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}．
用列表法可将函数表示为
月饼数x 1 2 3 4 5 6
钱数y 6 12 18 24 30 36
用图象法可将函数表示为
[逐点清(二)]
[微点练明]
1．解析：结合题图，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2，2]．
答案：[－3,3] [－2,2]
2．解：(1)一次函数y＝3x的图象如图1所示，定义域为R，值域为R.
(2)一次函数y＝－4x＋5的图象如图2所示，定义域为R，值域为R.
(3)二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图3所示，定义域为R，值域为[－2，＋∞)．
(4)作出函数y＝－，x∈[－3,0)∪(0,1]的图象，如图4所示，由图象可知值域为(－∞，－4]∪.
[逐点清(三)]
[典例] 解：(1)法一：换元法 令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2.代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二：配凑法 由已知得f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3.
因为＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
因为f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x.
联立
解得f(x)＝x－1.
[针对训练]
解：(1)令t＝x＋1，则x＝t－1.
故f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2.
所以f(x)＝x2＋2x－2.
(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
所以3k(x＋1)＋3b－kx－b＝2x＋9.
即2kx＋3k＋2b＝2x＋9.
所以解得
所以f(x)＝x＋3.
(3)因为2f＋f(x)＝x(x≠0) ①，
所以2f(x)＋f＝ ②.
2×②－①，得3f(x)＝－x，
所以f(x)＝－(x≠0)．(共54张PPT)
3.1.2
函数的表示法
函数的表示法
(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1．掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 函数的三种表示法
逐点清(二) 函数的图象
逐点清(三) 函数的解析式
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 函数的三种表示法
01
三种常用的函数表示方法
多维理解
|微|点|助|解|
对三种表示法的说明
解析法 利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域
列表法 采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性
图象法 图象既可以是光滑的曲线，也可以是直线、折线、离散的点
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有函数都能用三种表示法表示． ( )
(2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示． ( )
(3)若函数f(x)是反比例函数，则f(1)＝1. ( )
(4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰． ( )
微点练明
×
√
×
√
√
x 1≤x<2 2 2f(x) 1 2 3
3．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝______.
解析：∵当23
4．中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)吗？
解：因为函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6}，所以用解析法可将函数表示为f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}．
用列表法可将函数表示为
月饼数x 1 2 3 4 5 6
钱数y 6 12 18 24 30 36
用图象法可将函数表示为
逐点清(二) 函数的图象
02
作函数y＝f(x)图象的方法
(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．
(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：
①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．
多维理解
1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________．
解析：结合题图，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2，2]．
微点练明
[－3,3]
[－2,2]
2．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域：
(1)y＝3x；
解：一次函数y＝3x的图象如图1所示，定义域为R，值域为R.
(2)y＝－4x＋5；
解：一次函数y＝－4x＋5的图象如图2所示，定义域为R，值域为R.
(3)y＝x2－6x＋7.
解：二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图3所示，定义域为R，值域为[－2，＋∞)．
逐点清(三) 函数的解析式
03
(2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)；
(3)(方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)．
|思|维|建|模| 求函数解析式的4种常用方法
换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围
配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得到f(x)的表达式
续表
根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)已知f(x)满足f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
解：令t＝x＋1，则x＝t－1.
故f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2.
所以f(x)＝x2＋2x－2.
针对训练
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
课时跟踪检测
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√
1.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
解析：由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
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√
2.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则f(g(2))的值为( )
A．3 B．0
C．1 D．2
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
解析：由题图可知g(2)＝1，由题表可知f(1)＝2，故f(g(2))＝2.
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√
3．已知函数f(x)是一次函数，且f(x－1)＝4x＋3，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝4x＋7
C．f(x)＝4x＋1 D．f(x)＝4x＋3
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√
5．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
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解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
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8.已知函数y＝f(x)的图象如图所示．
则(1)f(－2)＝_____；(2)若f(x)＝0，则x＝______.
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解析：(1)由题图，知f(x)过点(－2，3)，故可得f(－2)＝3.
(2)由题图可知，f(x)过点(－3,0)，
故可得x＝－3.
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9.某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为_______kg.
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10．下表表示函数y＝f(x)，则f(x)>x的整数解的集合是_________.
{1,2,3,5}
x 0y＝f(x) 4 6 8 10
解析：当0x的整数解为{1,2,3}；当5≤x<10时，f(x)>x的整数解为{5}.当10≤x<15时，f(x)>x的整数解为 .当15≤x<20时，f(x)>x的整数解为 .综上所述，f(x)>x的整数解的集合是{1,2,3,5}．
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解析：函数f(x)＝x2－4x的部分图象及在[0，m]上的图象如图所示．f(0)＝0，f(2)＝－4，f(4)＝0，当x>4时，f(x)>0；当011．已知函数f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域为[－4，0]，则实数m的取值范围是_______．
[2,4]
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12．(10分)已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
解：观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是[－3,0]或[1,4]，由题图知定义域为[－3,0]∪[1,4]．
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(2)函数p＝f(m)的值域；
解：由题图知值域为[－2,2]．
(3)p取何值时，有唯一的m值与之对应．
解：由题图知，当p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．
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13．(12分)(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21.
所以a＝2，b＝5.所以f(x)＝2x＋5.
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(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式．
解：由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.
因为f(x－1)－f(x)＝4x，
所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，
整理得－2ax＋a－b＝4x，
即a＝－2，b＝－2.所以f(x)＝－2x2－2x＋1.
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(2)y＝|x2－1|.
解：先作出函数y＝x2－1的大致图象，保留它在x轴上及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分翻折到x轴上方，所得到的图象就是函数y＝|x2－1|的图象，如图②所示．课时跟踪检测(十九) 函数的表示法
(满分90分，选填小题每题5分)
1．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则f(g(2))的值为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A．3 B．0
C．1 D．2
3．已知函数f(x)是一次函数，且f(x－1)＝4x＋3，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝4x＋7
C．f(x)＝4x＋1 D．f(x)＝4x＋3
4．已知f(－1)＝－x，则函数f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥0)
B．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥－1)
C．f(x)＝－x2－2x－1(x≥0)
D．f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1)
5．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
6．(多选)若函数f(1－2x)＝(x≠0)，则( )
A．f＝15
B．f(2)＝－
C．f(x)＝－1(x≠0)
D．f＝－1(x≠0且x≠1)
7．函数y＝的大致图象是( )
8．已知函数y＝f(x)的图象如图所示．
则(1)f(－2)＝________；(2)若f(x)＝0，则x＝______.
9．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.
10．下表表示函数y＝f(x)，则f(x)>x的整数解的集合是____________.
x 0y＝f(x) 4 6 8 10
11.已知函数f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域为[－4，0]，则实数m的取值范围是______．
12．(10分)已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，有唯一的m值与之对应．
13．(12分)(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式．
14．(13分)画出下列函数的大致图象：
(1)y＝；(2)y＝|x2－1|.
课时跟踪检测(十九)
1．选C 由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
2．选D 由题图可知g(2)＝1，由题表可知f(1)＝2，故f(g(2))＝2.
3．选B 设一次函数的解析式为f(x)＝ax＋b(a≠0)，由f(x－1)＝4x＋3，可得f(x－1)＝a(x－1)＋b＝ax－a＋b＝4x＋3.所以解得所以函数的解析式为f(x)＝4x＋7.
4．选D 令t＝－1(t≥－1)，则x＝(t＋1)2.所以f(t)＝－(t＋1)2＝－t2－2t－1(t≥－1)．所以f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1)．故选D.
5．选D 由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
6．选AD 令1－2x＝t(t≠1)，则x＝.所以f(t)＝＝－1.则f(x)＝－1(x≠1)，故C错误；f＝15，故A正确；f(2)＝3，故B错误；f＝－1＝－1(x≠0且x≠1)，故D正确．
7．选A 法一 y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C、D；当x＝0时，y＝0，排除B.
法二 y＝＝1－，由函数的平移性质可知A正确．
8．解析：(1)由题图，知f(x)过点(－2，3)，故可得f(－2)＝3.
(2)由题图可知，f(x)过点(－3,0)，
故可得x＝－3.
答案：(1)3 (2)－3
9．解析：设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)，得解得即y＝30x－570，若要免费，则y≤0，所以x≤19.
答案：19
10．解析：当0x的整数解为{1,2,3}；当5≤x<10时，f(x)>x的整数解为{5}．当10≤x<15时，f(x)>x的整数解为 .当15≤x<20时，f(x)>x的整数解为 .综上所述，f(x)>x的整数解的集合是{1,2,3,5}．
答案：{1,2,3,5}
11．解析：函数f(x)＝x2－4x的部分图象及在[0，m]上的图象如图所示．
f(0)＝0，f(2)＝－4，f(4)＝0，当x>4时，f(x)>0；当0所以为使函数f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域为[－4,0]，实数m的取值范围是[2,4]．
答案：[2,4]
12．解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是[－3，0]或[1,4]，由题图知定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由题图知值域为[－2,2]．
(3)由题图知，当p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．
13．解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21.所以a＝2，b＝5.所以f(x)＝2x＋5.
(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1，得c＝1.
因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，
整理得－2ax＋a－b＝4x，即a＝－2，b＝－2.所以f(x)＝－2x2－2x＋1.
14．解：(1)因为y＝＝2－，所以可先作出函数y＝－的大致图象，把所得图象向左平移1个单位长度，得到y＝－的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度，就得到了函数y＝的图象，如图①所示．
(2)先作出函数y＝x2－1的大致图象，保留它在x轴上及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分翻折到x轴上方，所得到的图象就是函数y＝|x2－1|的图象，如图②所示．
