3．3 幂函数—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．
2．准确把握幂函数的图象在第一象限的特征(与幂指数α的关系)．
3．通过研究幂函数的定义域，利用对称性即可作出幂函数的图象，进而研究性质．
逐点清(一) 幂函数的概念
[多维理解]
1．幂函数的概念
幂函数的定义 一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数
幂函数的特征 (1)xα的系数为1；(2)xα的底数是自变量； (3)xα的指数为常数
2．判断幂函数的依据
判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是不是y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式是不是一个变量的幂的形式．反过来，若一个函数是幂函数，则该函数也必符合y＝xα(α为常数)的形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．
[微点练明]
1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则a＝( )
A．－1或2 B．－2或1
C．－1 D．1
3．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝________.
逐点清(二) 幂函数的图象
[多维理解]
五个常见幂函数的图象
|微|点|助|解|
(1)幂函数图象在第一象限的变化规律
依据图象高低判断幂指数大小，相关结论：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限．
(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1,1)，(0,0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．
[微点练明]
1．函数y＝x的图象是( )
2．已知幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( )
A．－1
C．－11 D．n<－1，m>1
3．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
逐点清(三) 幂函数的性质
[多维理解]
五个常见幂函数的性质
项目 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R ________ ________
值域 R [0，＋∞) R ________ ________
奇偶性 奇 偶 ____ ______ ____
单调性 增函数 在[0，＋∞)上______，在(－∞，0]上________ ____ 函数 ____函数 在(0，＋∞)上______，在(－∞，0)上单调递减
|微|点|助|解|
一般幂函数的性质
(1)当α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．
(2)当α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
[微点练明]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当x∈(0,1)时，x2＞x3.( )
(2)y＝x与y＝x的定义域相同．( )
(3)若y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0.( )
2．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
3．已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
4．已知幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm－1是偶函数，则m的值为________．
5．已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)3．3 幂函数
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.y＝xα
[微点练明]
1．选B ∵y＝＝x－2，∴是幂函数；∵y＝2x2的系数为2，∴不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，∴常函数y＝1不是幂函数．
2．选C 因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1.所以a＝2或a＝－1.又a－2≠0，所以a＝－1.
3．解析：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2.∴f(x)＝x2.∴f(－4)＝(－4)2＝16.
答案：16
[逐点清(二)]
[微点练明]
1．选C ∵函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.
2．选B 在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点如图所示．则由“点低指数大”，知03．选B 由题图，知在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象由下至上，幂指数由小到大，所以a>b>c>d.
[逐点清(三)]
[多维理解] [0，＋∞) {x|x≠0} [0，＋∞) {y|y≠0} 奇 非奇非偶 奇
单调递增 单调递减 增 增 单调递减
[微点练明]
1．(1)√ (2)× (3)√
2．选D 由题意设f(x)＝xn，因为函数f(x)的图象经过点(3，)，所以＝3n，解得n＝，即f(x)＝，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选D.
3．选A a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5.∵y＝x在第一象限内单调递增，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.
4．解析：∵f(x)为幂函数，∴m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.当m＝4时，f(x)＝x3是奇函数，不合题意，舍去；当m＝－1时，f(x)＝x－2是偶函数，∴m＝－1.
答案：－1
5．解析：因为f(x)＝x (x≥0)，易知f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(10－2a)所以解得
所以3答案：(3,5](共58张PPT)
3.3
幂函数
(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 幂函数的概念
逐点清(二) 幂函数的图象
逐点清(三) 幂函数的性质
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 幂函数的概念
01
1．幂函数的概念
多维理解
幂函数 的定义 一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数
幂函数 的特征 (1)xα的系数为1；(2)xα的底数是自变量；(3)xα的指数为常数
y＝xα
2．判断幂函数的依据
判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是不是y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式是不是一个变量的幂的形式．反过来，若一个函数是幂函数，则该函数也必符合y＝xα(α为常数)的形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．
√
微点练明
√
3．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝______.
解析：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2.
∴f(x)＝x2.∴f(－4)＝(－4)2＝16.
16
逐点清(二) 幂函数的图象
02
五个常见幂函数的图象
多维理解
|微|点|助|解|
(1)幂函数图象在第一象限的变化规律
依据图象高低判断幂指数大小，相关结论：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限．
(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1,1)，(0,0)，(－1,1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．
√
微点练明
√
2.已知幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( )
A．－1C．－11 D．n<－1，m>1
解析：在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点如图所示.则由“点低指数大”，知03.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
√
解析：由题图，知在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象由下至上，幂指数由小到大，所以a>b>c>d.
逐点清(三) 幂函数的性质
03
多维理解
五个常见幂函数的性质
[0，＋∞)
{x|x≠0}
[0，＋∞)
{y|y≠0}
续表
奇偶性 奇 偶 ____ _________ ____
单调性 增函数 在[0，＋∞)上_________________，在(－∞，0]上 ________________ ____ 函数 ____ 函数 在(0，＋∞)上_________，在
(－∞，0)上单调
递减
奇
非奇非偶
奇
单调递增
单调递减
增
增
单调递减
|微|点|助|解|
一般幂函数的性质
(1)当α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．
(2)当α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
微点练明
√
×
√
√
√
4．已知幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm－1是偶函数，则m的值为_______．
解析：∵f(x)为幂函数，∴m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.当m＝4时，f(x)＝x3是奇函数，不合题意，舍去；当m＝－1时，f(x)＝x－2是偶函数，∴m＝－1.
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(3,5]
课时跟踪检测
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解析：只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式．
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解析：因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
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5．函数f(x)＝(a－b)x ＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)C．f(a)＝f(b) D．以上都不对
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√
6．任意两个幂函数图象的交点个数是( )
A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个
C．最少0个，最多三个 D．最少0个，最多二个
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解析：因为所有幂函数的图象都过(1,1)，所以最少有1个交点；当函数为y＝x3和y＝x时，它们有3个交点，如图所示．
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√
7．已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于( )
A．1 B．2
C．1或3 D．3
解析：因为f(x)＝x4－m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0，即m<4.又因为m∈N*，所以m＝1,2,3.又因为f(x)＝x4－m是奇函数，所以4－m是奇数，所以m＝1或m＝3.
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8．(多选)下列关于幂函数y＝xα的性质，描述正确的有( )
A．当α＝－1时，函数在其定义域上是减函数
B．当α＝0时，函数图象是一条直线
C．当α＝2时，函数是偶函数
D．当α＝3时，函数有一个零点0
√
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11．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是___________．
解析：因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．故α<0.
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(－∞，0)
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(－∞，0)
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(－∞，0)∪(1，＋∞)
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14．为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是______．
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15．(13分)已知幂函数f(x)＝(m2＋3m－9)xm－1在(0，＋∞)上单调递减，m∈R.
(1)求f(x)的解析式；
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16．(17分)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm(m∈R)，且f(x)图象不过原点．
(1)求出f(x)的表达式，并写出它的单调区间；
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(2)记g(x)＝f(x)－2ax(a∈R)，判断函数g(x)的奇偶性，并证明．
16课时跟踪检测(二十五) 幂函数
(满分100分，选填小题每题5分)
1．下列函数不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
2．已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于( )
A．2 B．1
C． D．0
3．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
4．函数y＝x－2在区间上的最大值是( )
A. B．－1
C．4 D．－4
5．函数f(x)＝(a－b)x＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)C．f(a)＝f(b) D．以上都不对
6．任意两个幂函数图象的交点个数是( )
A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个
C．最少0个，最多三个 D．最少0个，最多二个
7．已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于( )
A．1 B．2
C．1或3 D．3
8．(多选)下列关于幂函数y＝xα的性质，描述正确的有( )
A．当α＝－1时，函数在其定义域上是减函数
B．当α＝0时，函数图象是一条直线
C．当α＝2时，函数是偶函数
D．当α＝3时，函数有一个零点0
9．(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点，则幂函数f(x)具有的性质是( )
A．在其定义域上为增函数
B．在(0，＋∞)上单调递减
C．奇函数
D．定义域为R
10．已知函数f(x)＝x，若0A．f(a)B．fC．f(a)D．f11．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
12．函数y＝x的单调递减区间为______．
13．已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，则当x∈______________时，有f(x)>g(x)．
14．为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．
15．(13分)已知幂函数f(x)＝(m2＋3m－9)xm－1在(0，＋∞)上单调递减，m∈R.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若(2－a)>(2a－1)，求实数a的取值范围．
16．(17分)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm(m∈R)，且f(x)图象不过原点．
(1)求出f(x)的表达式，并写出它的单调区间；
(2)记g(x)＝f(x)－2ax(a∈R)，判断函数g(x)的奇偶性，并证明．
课时跟踪检测(二十五)
1．C 2.A 3.B 4.C
5．选A ∵f(x)为幂函数，∴
∴∴f(x)＝x，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且a>b>0，∴f(a)>f(b)．
6．选A 因为所有幂函数的图象都过(1,1)，所以最少有1个交点；当函数为y＝x3和y＝x时，它们有3个交点，如图所示．
7．选C 因为f(x)＝x4－m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0，即m<4.又因为m∈N*，所以m＝1,2,3.又因为f(x)＝x4－m是奇函数，所以4－m是奇数，所以m＝1或m＝3.
8．选CD 对于A选项，y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，不能说在定义域上单调递减，故错误．对于B选项，y＝x0，x≠0，图象是直线y＝1并且除掉点(0,1)，故错误．对于C选项，y＝x2，定义域为R，是偶函数，故正确．对于D选项，y＝x3，只有一个零点0，故正确．故选CD.
9．选BC 设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，因为幂函数图象过点，所以f(x)＝x，所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减．
10．选C 因为函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，又011．解析：因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．故α<0.
答案：(－∞，0)
12．解析：∵幂函数y＝x是偶函数，关于y轴对称，且x>0时，y＝x单调递增，∴当x<0时，y＝x单调递减．∴y＝x的单调递减区间是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
13．解析：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，由题意，得2＝()α，即α＝2，－＝(－2)β，即β＝－1.所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.画出f(x)与g(x)的图象如图所示．从图中可看出当x<0或x>1时，f(x)>g(x)．
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
14．解析：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝x.由x＝3，得x＝9.
答案：9
15．解：(1)由函数f(x)＝(m2＋3m－9)xm－1为幂函数得m2＋3m－9＝1，解得m＝2或m＝－5，又函数在(0，＋∞)上单调递减，
则m－1<0，即m<1，
所以m＝－5，f(x)＝x－6＝.
(2)由(1)得m＝－5，
所以不等式为(2－a)>(2a－1)，
设函数g(x)＝x，则函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以解得116．解：(1)由m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，又f(x)图象不过原点，故f(x)＝，单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无单调递增区间．
(2)函数g(x)是定义域上的奇函数，
证明：g(x)＝－2ax，定义域为D＝{x|x≠0}，
任取x∈D，都有－x∈D，即定义域关于原点对称，又由g(－x)＝－＋2ax＝－g(x)，
所以函数g(x)是定义域上的奇函数．