板块综合 函数性质的综合应用(阶段小结课—习题讲评式教学)
1．浸润的核心素养
奇偶性、单调性、对称性是函数最重要的三个性质，通过学习，学生利用函数图象去研究函数的性质，学会用抽象的符号语言描述函数的单调性、奇偶性及最大(小)值，发展学生的数学抽象、逻辑推理等学科素养．
2．渗透的数学思想
(1)在解决与函数性质有关的问题时，常利用函数的图象来解决，即利用数形结合的思想方法，将问题化难为易、化抽象为具体．
(2)如果涉及到的函数中含有参数或解题结果不能确定，需要应用分类讨论的思想方法，把整个问题划分为几个部分逐一解决，最后合并为一种结果．
(3)函数、方程与不等式密切相关，相互转化，在解决函数的定义域、值域或与其有关的问题时，一般把函数问题转化为不等式、方程等来解决，即应用转化与化归、函数与方程的思想方法．
题型(一) 利用函数单调性与奇偶性比较大小
[例1] 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0，则当n∈N*时，有( )
A．f(－n)
B．f(n＋1)C．f(n－1)D．f(n＋1)听课记录：
|思|维|建|模|
利用函数单调性与奇偶性比较大小的求解策略
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
[针对训练]
1．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－2)，b＝g(1)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b2．已知偶函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增，则下列关系式成立的是( )
A．fB．f(－3)C．f(4)D．f(4)题型(二) 利用函数奇偶性与单调性解不等式
[例2] 已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
听课记录：
[例3] 设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用函数奇偶性与单调性解不等式的策略
(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”，转化为简单不等式(组)求解．
[提醒] 列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域．
[针对训练]
3．已知函数f(x)是定义在区间[－a－1,2a]上的偶函数，且在区间[0,2a]上单调递增，则不等式f(x－1)＜f(a)的解集为( )
A．[－1,3] B．(0,2)
C．(0,1)∪(2,3] D．[－1,0)∪(1,2)
4．已知奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(2)＝0，则不等式(x＋1)f(x＋1)＞0的解集为____________．
题型(三) 函数奇偶性、单调性与对称性的综合
函数的对称性
(1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点(a,0)对称．
(2)两个函数图象的对称
①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；
②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；
③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．
[例4] 已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x＋1)为偶函数，若f(3)＝1，则不等式f(2x＋1)<1的解集为 ( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
听课记录：
|思|维|建|模|
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法
图象法 根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论
性质法 根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题
[针对训练]
5．若函数y＝f(x)在(0,2)上单调递增，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(1)B．fC．fD．f题型(四) 函数的新定义问题
[例5] 对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(－x0)＝－f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”，已知f(x)＝－aex－4在R上为“局部奇函数”，则实数a的取值范围是( )
A．[－4，＋∞) B．[－4,0)
C．(－∞，－4] D．(－∞，4]
听课记录：
|思|维|建|模|
解决函数“新定义”问题的策略
(1)理解新函数的定义：深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．
(2)学会转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式．
(3)代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题．
[针对训练]
6．(多选)若函数f(x)同时满足：
①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；
②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”．
下列函数中的“理想函数”有( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ D．f(x)＝－x
板块综合 函数性质的综合应用
[题型(一)]
[例1] 选B ∵对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∴若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)>0，即若x2>x1，则f(x2)>f(x1)，若x2－x1<0，则f(x2)－f(x1)<0，即若x2n>n－1≥0，∴f(n＋1)[针对训练]
1．选C 法一 易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∴a＝g(－2)＝g(2)，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴g(1)法二 (特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，a＝g(－2)＝4，b＝g(1)＝1，c＝g(3)＝9，从而可得b2．选D 法一 ∵f(x)为偶函数，∴f(－4)＝f(4)．又f(x)在(－∞，－2]上单调递增，∴f(－4)即f(4)法二 ∵f(x)为偶函数，且在(－∞，－2]上单调递增，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，其图象关于y轴对称．又4>>|－3|，∴f(4)[题型(二)]
[例2] 选D ∵函数f(x)为奇函数，f(1)＝－1，
∴f(－1)＝1.又函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
∴－1≤x－2≤1.解得1≤x≤3.故选D.
[例3] 解析：作出f(x)的大致图象如图所示．不等式(x－1)f(x)≤0可化为或
由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1答案：{x|x≤0或1[针对训练]
3．选B 因为函数f(x)是定义在区间[－a－1，2a]上的偶函数，所以－a－1＋2a＝0，解得a＝1，故f(x－1)＜f(a)可化为f(|x－1|)＜f(1)，因为f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以|x－1|＜1，解得0＜x＜2.
4．解析：∵f(x)是奇函数且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(2)＝0，∴f(－2)＝0，
当x＋1＞0，即x＞－1时，由(x＋1)f(x＋1)＞0，可得f(x＋1)＞0，即x＋1＞2，解得x＞1；
当x＋1＜0，即x＜－1时，由(x＋1)f(x＋1)＞0，可得f(x＋1)＜0，即x＋1＜－2，解得x＜－3.综上，不等式(x＋1)f(x＋1)＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[题型(三)]
[例4] 选A ∵f(x＋1)是偶函数，∴f(1－x)＝f(1＋x)．故f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减．∵f(3)＝1，∴f(－1)＝f(3)＝1.∴f(2x＋1)<1 －1<2x＋1<3.解得－1[针对训练]
5．选B ∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x)．故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．∴f＝f，f＝f.又f(x)在(0,2)上单调递增，<1<，∴f[题型(四)]
[例5] 选B 由局部奇函数的定义可知，f(－x0)＝－ae－4＝－f(x0)＝ae＋4，从而a＝－<0，因为e>0，所以e＋e≥2＝2，当且仅当e＝e，即x0＝0时，不等式取等号，从而－4≤a<0，即实数a的取值范围是[－4,0)．故选B.
[针对训练]
6．选CD ①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为减函数．A中的函数是奇函数但在整个定义域上不是减函数，B中的函数是偶函数而且也不是减函数，C和D中的函数既是奇函数又是减函数．(共74张PPT)
板块综合 函数性质的综合应用
(阶段小结课—习题讲评式教学)
建构知识体系
1．浸润的核心素养
奇偶性、单调性、对称性是函数最重要的三个性质，通过学习，学生利用函数图象去研究函数的性质，学会用抽象的符号语言描述函数的单调性、奇偶性及最大(小)值，发展学生的数学抽象、逻辑推理等学科素养．
融通学科素养
2．渗透的数学思想
(1)在解决与函数性质有关的问题时，常利用函数的图象来解决，即利用数形结合的思想方法，将问题化难为易、化抽象为具体．
(2)如果涉及到的函数中含有参数或解题结果不能确定，需要应用分类讨论的思想方法，把整个问题划分为几个部分逐一解决，最后合并为一种结果．
(3)函数、方程与不等式密切相关，相互转化，在解决函数的定义域、值域或与其有关的问题时，一般把函数问题转化为不等式、方程等来解决，即应用转化与化归、函数与方程的思想方法．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 利用函数单调性与奇偶性比较大小
题型(二) 利用函数奇偶性与单调性
解不等式
题型(三) 函数奇偶性、单调性与
对称性的综合
4
5
课时跟踪检测
题型(四) 函数的新定义问题
题型(一) 利用函数单调性与
奇偶性比较大小
01
[例1] 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则当n∈N*时，有( )
A．f(－n)C．f(n－1)√
解析：∵对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∴若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)>0，即若x2>x1，则f(x2)>f(x1)，若x2－x1<0，则f(x2)－f(x1)<0，即若x2n>n－1≥0，∴f(n＋1)|思|维|建|模|
利用函数单调性与奇偶性比较大小的求解策略
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
√
1．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－2)，b＝g(1)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b针对训练
解析：法一 易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∴a＝g(－2)＝g(2)，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴g(1)法二 (特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，a＝g(－2)＝4，b＝g(1)＝1，c＝g(3)＝9，从而可得b√
题型(二) 利用函数奇偶性与
单调性解不等式
02
[例2] 已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
解析：∵函数f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1.又函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．∴－1≤x－2≤1.解得1≤x≤3.故选D.
√
[例3] 设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为_________________．
{x|x≤0或1|思|维|建|模|
利用函数奇偶性与单调性解不等式的策略
(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”，转化为简单不等式(组)求解．
[提醒] 列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域．
3．已知函数f(x)是定义在区间[－a－1,2a]上的偶函数，且在区间[0,2a]上单调递增，则不等式f(x－1)＜f(a)的解集为( )
A．[－1,3] B．(0,2)
C．(0,1)∪(2,3] D．[－1,0)∪(1,2)
√
针对训练
解析：因为函数f(x)是定义在区间[－a－1，2a]上的偶函数，
所以－a－1＋2a＝0，解得a＝1，
故f(x－1)＜f(a)可化为f(|x－1|)＜f(1)，
因为f(x)在区间[0,2]上单调递增，
所以|x－1|＜1，解得0＜x＜2.
4．已知奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(2)＝0，则不等式(x＋1)f(x＋1)＞0的解集为______________________．
解析：∵f(x)是奇函数且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(2)＝0，∴f(－2)＝0，
(－∞，－3)∪(1，＋∞)
当x＋1＞0，即x＞－1时，
由(x＋1)f(x＋1)＞0，可得f(x＋1)＞0，
即x＋1＞2，解得x＞1；
当x＋1＜0，即x＜－1时，
由(x＋1)f(x＋1)＞0，可得f(x＋1)＜0，
即x＋1＜－2，解得x＜－3.
综上，不等式(x＋1)f(x＋1)＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
题型(三) 函数奇偶性、单调性
与对称性的综合
03
函数的对称性
(1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点(a,0)对称．
(2)两个函数图象的对称
①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；
②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；
③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．
[例4] 已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x＋1)为偶函数，若f(3)＝1，则不等式f(2x＋1)<1的解集为 ( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
√
解析：∵f(x＋1)是偶函数，∴f(1－x)＝f(1＋x)．
故f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在(－∞，1)上单调递减．
∵f(3)＝1，∴f(－1)＝f(3)＝1.
∴f(2x＋1)<1 －1<2x＋1<3.
解得－1|思|维|建|模|
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法
图象法 根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论
性质法 根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题
针对训练
√
题型(四) 函数的新定义问题
04
[例5] 对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(－x0)＝－f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”，已知f(x)＝－aex－4在R上为“局部奇函数”，则实数a的取值范围是( )
A．[－4，＋∞) B．[－4,0)
C．(－∞，－4] D．(－∞，4]
√
|思|维|建|模| 解决函数“新定义”问题的策略
(1)理解新函数的定义：深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．
(2)学会转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式．
(3)代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题．
针对训练
√
√
解析：①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为减函数．A中的函数是奇函数但在整个定义域上不是减函数，B中的函数是偶函数而且也不是减函数，C和D中的函数既是奇函数又是减函数．
课时跟踪检测
05
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解析：A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除；只有D符合题意，故选D.
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2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f(x)＝x＋1，则下列大小关系正确的是( )
A．f(1)>f(2) B．f(1)>f(－2)
C．f(－1)>f(－2) D．f(－1)解析：∵当x≥0时，f(x)＝x＋1单调递增，∴f(1)又∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，∴f(－1)1
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3．已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是( )
A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，1]
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解析：因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥f(－1)．又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数．所以f(2x＋1)≥f(－1)等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1.
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√
4．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
解析：由f(a)≥f(－2)得f(|a|)≥f(2)，
∴|a|≤2，∴－2≤a≤2.
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5．(多选)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且在区间[a，b](aA．有最大值4 B．有最小值－4
C．有最大值3 D．有最小值－3
√
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解析：法一 根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选BC.
法二 当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，
即－3≤－f(x)≤4，
所以－4≤f(x)≤3，
即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3.
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6．已知偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 024，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
解析：因为偶函数的图象关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等．又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2 024，故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2 024.
2 024
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8．已知函数f(x)是偶函数，且其在(0，＋∞)上单调递增．请你写出一个符合以上条件的函数____________________．
f(x)＝|x|(答案不唯一)
解析：因为函数f(x)＝|x|的定义域为R，且f(－x)＝|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x|为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝|x|满足题意．
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3
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(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解：由(1)知f(x)为R上的增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)．所以1＋m≥2m－3，即m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
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10．(10分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：① x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f(2)＝1.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
解：函数f(x)的定义域关于原点对称．
令y＝1，则f(x)＝f(x)＋f(1)，∴f(1)＝0.
令x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.
令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．
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(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
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(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；
解：∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，且f(2)＝1，∴f(4)＝2.
又由(1)(2)知函数f(x)是偶函数且在(0,4]上单调递增，
∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.
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(4)求不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集．
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A．D(x)是偶函数
B． x∈R，D(D(x))＝1
C．对于任意的有理数t，都有D(x＋t)＝D(x)
D．不存在三个点A(x1，D(x1))，B(x2，D(x2))，C(x3，D(x3))，使ABC为正三角形
√
√
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14.(12分)如图，在等腰直角△ABC中，A(－3,0)，B(1,0)，记△ABC位于直线x＝t(t>－3)左侧的图形的面积为f(t)．
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(1)试求函数y＝f(t)的解析式；
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(2)已知函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知函数g(t)＝2t·f(t)－7t的定义域为[－1，m]，且－11
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解：函数g(t)的图象不存在对称中心，理由如下：
依题意g(t)＝－t3＋2t2，t∈[－1，m]，
假设h(t)＝g(t＋a)－b＝－(t＋a)3＋2(t＋a)2－b，t∈[－1,1]为奇函数，
则h(0)＝0，化简得b＝－a3＋2a2(*)，
故h(t)＝－(t＋a)3＋2(t＋a)2＋a3－2a2，
又因为h(1)＋h(－1)＝0，
所以－(1＋a)3＋2(1＋a)2－(－1＋a)3＋2(－1＋a)2＋2a3－4a2＝0，
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则当u＝2时，ymin＝5，于是当x＝1时，g(x)取得最小值5，
因为对 x∈[1，＋∞)，都有g(x)≥m恒成立，则m≤5，
所以m的取值范围是(－∞，5]．阶段质量评价(二) 第三章 函数的概念与性质
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
1．下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝
C．y＝x3 D．y＝
2．已知函数f(x)＝则f的值为( )
A. B．－
C. D．18
3．已知幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不过原点，则实数m的取值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．1或2
4．函数y＝＋1的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[4，＋∞)
5．若f(x)满足关系式f(x)＋2f＝3x，则f(2)＝( )
A．1 B．－1
C．－ D.
6．已知函数f(x)＝x＋(x>－2)，则( )
A．f(x)有最小值－1 B．f(x)有最大值－1
C．f(x)有最小值3 D．f(x)有最大值3
7．已知函数f(x＋1)是偶函数，当10恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b8．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式 ＜0的解集为( )
A．(－2,2) B．(－2,0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．)
9．已知f(x)＝ ，则( )
A．f(－x)＝f(x) B．f＝f(x)
C．f＝－f(x) D．f＝－f(x)
10．函数f(x)＝的图象可能是( )
11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是( )
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，－1]上单调递减
D．若x＞0时，f(x)＝x2－2x，则x＜0时，f(x)＝－x2－2x
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)
12．函数f(x)＝＋的定义域为__________．
13．已知函数f(x)满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1.则f(2 024)＝________.
14．已知函数f(x)＝则f＝__________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知二次函数f(x)的最大值为2，且f(0)＝f(2)＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2m, m＋3]上不具有单调性，求实数m的取值范围．
16．(15分)已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
17．(15分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．
18．(17分)已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，并且当x＜0时，f(x)＞0.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求证：f(x)是R上的减函数；
(3)若a∈R，求关于x的不等式f(3x2)－f(ax－a)＞f(x2＋x)＋f(ax)的解集．
19．(17分)设函数g(x)＝＋1，函数h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f(x)＝g(x)h(x)．
(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域．
(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．
(3)是否存在自然数a，使得函数f(x)的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由.
阶段质量评价(二)
1．选C 对于A，是偶函数，不满足要求；对于B，是奇函数，但在(0，＋∞)上单调递减；对于C，是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增；对于D，是非奇非偶函数．
2．选C 由题意得f(3)＝32－3－3＝3，那么＝，所以f＝f＝1－2＝.
3．选D 由题意可知，解得m＝1或m＝2，经检验，符合题意．
4．选D 因为x2＋9≥9，所以≥3.所以＋1≥4，即函数y＝＋1的值域为[4，＋∞)．故选D.
5．选B ∵f(x)满足关系式f(x)＋2f＝3x，∴
①－②×2得－3f(2)＝3.∴f(2)＝－1.故选B.
6．选C ∵x>－2，∴x＋2>0.∴f(x)＝x＋＝(x＋2)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＋2＝，即x＝－1时取等号．∴f(x)有最小值3，无最大值．故选C.
7．选D ∵函数f(x＋1)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f＝f.∵当10，∴函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．则f(2)8．选B ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增．
∴＝＜0，∴xf(x)＜0，即或解得x＞2或－2＜x＜0.∴不等式＜0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．
9．选ACD f(－x)＝＝＝f(x)，A正确；f＝ ＝＝－f(x)，B错误，C正确；f＝ ＝＝－f(x)，D正确．
10．选ABC 由于函数表达式中含有参数a，要对参数进行分类讨论．若a＝0，则f(x)＝＝，C符合；若a＞0，则函数定义域为R，B符合；若a＜0，则x≠±，A符合，所以不可能是D.
11．选ABD 由奇函数在x＝0处有定义知，f(0)＝0，故A正确；由图象的对称性可知B正确；由于奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，故C不正确；当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，所以－f(x)＝f(－x)＝x2＋2x，所以f(x)＝－x2－2x，故D正确．
12．解析：要使原函数有意义，则解得x≥1且x≠2.∴函数f(x)＝＋的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．
答案：[1,2)∪(2，＋∞)
13．解析：∵f(x＋2)＝2f(x)，∴f(2 024)＝f(2 022＋2)＝2f(2 022)＝2f(2 020＋2)＝22f(2 020)＝…，即有f(0＋2×1 012)＝21 012f(0)＝21 012.
答案：21 012
14．解析：由题意知f＝－2＋2＝，则f＝f＝＋－1＝＋－1＝.作出函数f(x)的图象，
如图所示，结合图象，令－x2＋2＝1，解得x＝±1；令x＋－1＝3，解得x＝2±，又x＞1，所以x＝2＋，所以(b－a)max＝2＋－(－1)＝3＋.
答案： 3＋
15．解：(1)∵二次函数f(x)的最大值为2，且f(0)＝f(2)＝0，∴函数f(x)的对称轴方程为x＝1.设f(x)＝a(x－1)2＋2，
∵f(0)＝0，∴a＝－2.∴f(x)＝－2(x－1)2＋2＝－2x2＋4x.
(2)要使f(x)在区间[2m, m＋3]上不具有单调性，则2m＜1＜m＋3，解得－2＜m＜.故实数m的取值范围为.
16．解：(1)因为m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
所以m与m＋1中必定有一个偶数．
所以m2＋m为偶数．所以函数f(x)＝x(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，且在其定义域上为增函数．
(2)因为函数f(x)经过点(2，)，
所以＝2，即2＝2，
所以m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0，
解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1.
因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以由f(2－a)＞f(a－1)，
得解得1≤a＜.
故实数a的取值范围是.
17．解：(1)由题意可知，2≥30.
所以5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，
所以x≤－或x≥3.又1≤x≤10，
所以3≤x≤10，x的取值范围为[3,10]．
(2)易知获得的利润
y＝＝120，x∈[1,10]，令t＝∈，则y＝120(－3t2＋t＋5)．当t＝，即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元．
18．解：(1)取x＝y＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.取y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)为奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1－x2＜0，f(x1－x2)＞0，
∴f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＞0.又f(x)为奇函数，∴f(－x2)＝－f(x2)，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)是R上的减函数．
(3)∵f(x)为奇函数，∴－f(ax－a)＝f(a－ax)，不等式f(3x2)－f(ax－a)＞f(x2＋x)＋f(ax)可化为
f(3x2)＋f(a－ax)＞f(x2＋x)＋f(ax)，
即f(3x2＋a－ax)＞f(x2＋x＋ax)．
∵f(x)是R上的减函数，∴3x2＋a－ax＜x2＋x＋ax，即2x2－(2a＋1)x＋a＜0，即(x－a)(2x－1)＜0.当a＝时，不等式的解集为 ；当a＞时，不等式的解集为；当a＜时，不等式的解集为.
19．解：(1)f(x)＝，其定义域为[0，a]．
(2)当a＝时，令t＝＋1，则t∈，且x＝(t－1)2，所以y＝f(t)＝＝，所以y＝.因为y＝t－2＋在上单调递减，所以f(t)＝在上单调递增，即此时f(x)的值域为.
(3)令t＝＋1，则t∈[1,1＋ ]且x＝(t－1)2，所以y＝.因为y＝t－2＋在[1,2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以y＝在[1,2]上单调递增，在[2,1＋ ]上单调递减．
当t＝2时，的最大值为，
所以a≥1，又1＜t≤2时，＜，
又f(x)的值域恰为，
所以由＝，解得t＝1或t＝4，
即f(x)的值域恰为时，1＋≤4 0＜a≤9，故所求a的取值集合为{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．