中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第2章
课标要求 1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分。 2.能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。 3.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出分式方程； 4.能解可化为一元一次方程的分式方程。 5.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示一些绝对值较小的数（包括在计算器上表示）。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第2章《分式》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”和“方程与不等式”。本章是衔接“整式运算”与“二次根式”“函数”的关键桥梁，系统构建了分式知识体系：从分式定义（分母含字母的代数式）→基本性质（约分/通分）→四则运算（乘除、加减）→整数指数幂（零/负指数幂）→分式方程（解法与应用）。通过本章的学习，学生能够掌握分式的基本概念和运算方法，能够解决简单的实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力
学情分析 知识基础 1.已掌握整式运算、因式分解及等式性质。 2.具备分数运算经验，但易混淆分式与整式的差异（如忽略“分母≠0”的条件）。 学习障碍 1.概念层面：分式值为零需“分子=0且分母≠0”，学生常遗漏分母限制。 2.运算层面：异分母加减通分时，最简公分母确定困难（尤其含多项式时）。 3.应用层面：将“至少”“不超过”等实际语言转化为分式方程时逻辑不清。
单元目标 （一）教学目标 1.了解分式的概念，明确分式与整式的区别，求分式有/无意义及值为零的条件。 2.理解分式的基本性质，掌握分式的约分、通分方法。 3.掌握分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则，能够熟练进行分式的运算。 4.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示一些绝对值较小的数。 5.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能理解其解法和检验方法。 6.通过类比分数学习分式，体会数学知识之间的内在联系。 7.经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型。 8.培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流。 （二）教学重点、难点 重点 1.分式概念的理解。 2.分式的基本性质、运算法则以及整数指数幂。 3.分式的加法和减法运算规则。 4.分式方程的解法及应用 难点 1.分式有、无意义的条件，及分式值为零的条件。 2.理解分式的基本性质，并能运用这些性质解决实际问题。 3.理解分式加减运算的原理，能够灵活运用运算规则进行计算。 4.分式方程的解法和检验方法。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数2.1分式的概念及基本性质22.2分式的加法和减法32.3分式的乘法和除法22.4整数指数幂32.5可化为一元一次方程的分式方程2第2章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1 分式的概念及基本性质（1）1.理解分式的定义，能够判断一个式子是否为分式。 2.掌握分式有、无意义的条件，以及分式值为零的条件。1.能够判断一个式子是否为分式。 2.在实际问题中正确识别分式模型，并能够根据条件判断分式的意义。任务一：情境导入，初步接触分式。 任务二：探究新知，理解分式的概念。 任务三：例题精讲，探究分式有意义的条件。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.1 分式的概念及基本性质（2）1.掌握分式基本性质，能运用性质进行分式变形。 2.熟练约分至最简分式（分子分母无公因式），能判断分式是否为最简形式。 3.类比分数的基本性质，自主探究分式的基本性质，提高类比推理能力和自主学习能力。 4.感受数学变形的简洁美，养成步步检验的习惯。1.能运用性质进行分式变形。 2.能约分至最简分式、能判断分式是否为最简形式。任务一：复习回顾，回顾分数的基本性质。 任务二：探究新知，探究分式的基本性质。 任务三：例题精讲，化分式为最简分式。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.2 分式的加法和减法（1）1.理解同分母分式的加减法规则，掌握同分母分式加减运算的方法。 2.能够正确进行同分母分式的加减运算，并能够对结果进行化简。 3.通过类比分数的加减运算，引导学生自主探究同分母分式的加减法规则，培养学生的类比推理能力和自主学习能力。能够正确进行同分母分式的加减运算，并能够对结果进行化简。 任务一：复习导入，回顾同分母分数的运算法则。 任务二：探究新知，探究同分母分式的加减运算法则。 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结2.2 分式的加法和减法（2）1.理解最简公分母的概念，掌握求最简公分母的方法。 2.掌握通分的方法，能够将异分母分式化为同分母分式。 3.类比分式的通分自主探究分式的通分方法，提高类比推理能力和自主学习能力。能够正确进行通分。 任务一：复习导入，回顾异分母分数的运算法则。 任务二：探究新知，探究异分母分式的加减运算法则。 任务三：例题精讲，进行通分。 任务四：巩固练习，课堂小结2.2 分式的加法和减法（3）1.理解异分母分式加减法的法则，能够正确进行异分母分式的加减运算。 2.会将异分母分式化为同分母分式后再进行加减运算，并化简结果。 3.通过类比异分母分数的加减法，推导异分母分式加减法的法则，体会类比迁移的思想方法。会将异分母分式化为同分母分式后再进行加减运算，并化简结果，能够正确进行异分母分式的加减运算。 任务一：复习巩固，回顾异分母分式加减法的法则。 任务二：探究新知，探究异分母分式加减法。 任务三：例题精讲，进行异分母分式的加减运算。 任务四：巩固练习，课堂小结2.3 分式的乘法和除法（1）1.掌握分式乘除法则，能正确进行同分母、异分母分式的乘除运算。 2.理解分式乘除混合运算的顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），能准确计算并化简结果。 3.通过类比分数运算，经历分式运算法则的推导过程，培养逻辑推理能力。1.能正确进行同分母、异分母分式的乘除运算。 2.能准确进行混合运算计算并化简结果。 任务一：复习导入，回顾分数的乘法运算法则。 任务二：新知探究，探究分式乘除法则。 任务三：例题精讲，进行分式的乘除运算。 任务四：巩固练习，课堂小结2.3 分式的乘法和除法（2）1.掌握分式乘方法则，能正确计算单项式和多项式分式的乘方及混合运算。 2.理解运算顺序，能将混合运算统一为乘法（如除法转化为乘除数的倒数）。 3.类比分数的乘方运算自主探索分式乘方的法则，提高类比推理能力和自主学习能力。能正确计算单项式和多项式分式的乘方及混合运算。任务一：复习导入，回顾分数的乘方。 任务二：新知探究，探究分式的乘方。 任务三：例题精讲，进行分式的乘方及混合运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.4.1 同底数幂的除法1.能够理解并掌握同底数幂的除法法则，熟练进行同底数幂的除法运算。 2.能够正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 3.自主探索同底数幂的除法法则，培养学生的观察、猜想、验证等自主学习能力和数学思维能力。1.熟练进行同底数幂的除法运算。 2.能够正确处理底数为多项式或负数的情况。任务一：新知导入，观察计算过程。 任务二：新知探究，同底数幂的除法法则的推导 任务三：例题精讲，进行同底数幂的除法运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.4.2 零次幂和负整数指数幂1.能够理解并掌握零次幂和负整数指数幂的概念及其性质，熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算。 2.能用科学记数法表示微观数据，并解决分式化简问题。 3.能够正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。1.能熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算。 2.能用科学记数法表示微观数据，并解决分式化简问题。任务一：复习导入，回顾同底数幂的除法。 任务二：新知探究，零次幂和负整数指数幂 任务三：例题精讲，进行零次幂和负整数指数幂的运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.4.3 整数指数幂的基本性质1.掌握整数指数幂的四条基本性质（同底数幂、幂乘方、积乘方、商乘方），能规范化简复杂表达式。 2.学生能够熟练进行整数指数幂的综合运算，正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 3.感受数学的统一美（整数指数性质贯通），培养符号规范与步骤严谨意识。1.理解因式分解的概念，能够准确判断一个式子是否为因式分解。 2.明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能够通过整式乘法验证因式分解的正确性。任务一：复习导入，回顾幂的运算性质。 任务二：新知探究，将指数的范围拓展 任务三：例题精讲，运用性质进行运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.5 可化为一元一次方程的分式方程（1）1.学生能够理解并掌握分式方程的概念及其解法。 2.学生能够熟练进行分式方程的解法，包括去分母、化简、检验等步骤。 3.学生能够正确处理增根问题，提高运算能力。能够熟练进行分式方程的解法，包括去分母、化简、检验等步骤。 任务一：情境导入，列分式方程。 任务二：新知探究，探究分式方程的概念。 任务三：例题精讲，解分式方程。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.5 可化为一元一次方程的分式方程（2）1.能够理解并掌握分式方程的实际应用，包括如何从实际问题中抽象出分式方程。 2.掌握“列→解→验→答”四步法，并验证实际合理性。 3.发展数学抽象思维和综合分析问题的能力。掌握“列→解→验→答”四步法，并验证实际合理性。任务一：情境导入，列分式方程。 任务二：新知探究，探究分式方程的应用。 任务三：例题精讲，建立模型。 任务四：巩固练习，课堂小结。第2章 小结与评价1.能够系统回顾和总结分式的基本概念、性质、运算规则以及分式方程的解法和应用。 2.能够熟练进行分式的化简、加减乘除运算，解决分式方程及其应用问题，提高运算能力和解题技巧。 3.通过知识结构图和典型例题，梳理分式章节的核心内容，形成知识体系。能够熟练进行分式的化简、加减乘除运算，解决分式方程及其应用问题。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第三课时《异分母分式的加法和减法》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《异分母分式的加法和减法》是湘教版八年级上册第2章《分式》的第二节第三课时的内容。异分母分式的加法和减法是分式运算的核心内容之一，是学生在学习分式运算过程中必须掌握的重要技能。它是在同分母分式加减法的基础上进一步拓展的，是解决实际问题中复杂分式运算的关键。通过学习异分母分式的加减法，学生能够进一步巩固分式的基本性质和通分方法，培养学生的代数运算能力和逻辑思维能力。同时，这一内容也为后续学习分式方程和更复杂的代数运算奠定基础。
学习者分析 学生在小学阶段已经学习了异分母分数的加减法，对分数的通分和加减运算有一定的理解。在初中阶段，学生也学习了分式的概念、基本性质、同分母分式的加减法以及通分方法，能够进行简单的分式化简。但是，异分母分式的加减运算比分数更加复杂，因为分式中涉及字母的运算，学生可能会在理解上存在困难。例如，学生可能会忽略通分的重要性，或者在通分过程中出现错误。
教学目标 1.理解异分母分式加减法的法则，能够正确进行异分母分式的加减运算。 2.会将异分母分式化为同分母分式后再进行加减运算，并化简结果。 3.通过类比异分母分数的加减法，推导异分母分式加减法的法则，体会类比迁移的思想方法。 4.培养严谨的数学思维习惯，提高数学运算的准确性。
教学重点 异分母分式加减法的法则及其应用。
教学难点 在异分母分式加减运算过程中正确处理符号问题和化简问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 通分：（1），； （2） . 解：（1） ，; （2），. 问题：1.怎么进行分式的通分？ 2.当分式的分母不同时，怎么进行分式的加减运算？ 3.异分母分式的加减运算法则是什么？ 教师讲授： 三定法 1.定系数：系数的最小公倍数 2.定字母：所有字母或含有字母的式子 3.定指数：最高次幂 分母都是单项式时：先用三定法确定最简公分母，再利用分式的基本性质进行通分. 分母含有多项式时：先将分母分解因式，再找最简公分母，最后利用分式的基本性质进行通分. 异分母分式的加减运算法则：异分母的分式相加（减），取各个分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母（这样的公分母称为最简公分母），利用分式的基本性质，把它们化成同分母的分式（这个过程叫作通分），然后再相加（减）. 学生活动1： 认真计算，举手回答问题 回顾分式的通分与异分母分式的加减运算法则 回顾不同情形如何进行通分活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：异分母分式的加减运算 【做一做】 计算： 教师提问：我们应该怎么计算呢？ 教师讲授：先通分，再相加 解：原式= = += 例6计算：. 解：由于最简公分母是12xy，于是 = 例7计算：(1); (2) . 解：(1) (2) 【归纳】 当分母含多项式时，先将分母分解因式，再通分. 分式的加减运算的结果必须是最简分式或整式. 当分子是多项式时，需打括号 例8计算：x+1+. 解： 【归纳】如果一个分式与一个整式相加减，可以把整式的分母看成1，先通分，再进行加减运算。学生活动2： 认真思考，运用已学知识完成习题 认真听讲,进行异分母分式的加法运算 认真计算 认真思考，进行分母为多项式的异分母分式的加减运算 认真思考，进行分母为多项式的异分母分式的加减运算 认真听讲，了解计算时的注意事项 认真思考，将整式化为以1为分母的分式 认真听讲活动意图说明：通过类比异分母分数的加减法，推导异分母分式加减法的法则，体会类比迁移的思想方法。同时让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节三：课堂总结教师活动4： 异分母分式加减的一般步骤： 一、通分：1.确定最简公分母 2.将各分式化为同分母分式 二、同分母分式的加减运算：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减 三、约分：将所得结果化为最简分式或整式学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知，是正数，则（ ） A．是正数 B．是负数 C．有可能是0 D．无法判断 2.已知，则A的取值是 A．-3 B．3 C．-6 D．6 3.凸透镜在我们的生活中有着广泛的应用，如照相机等．凸透镜成像公式也称高斯成像公式，用表示，其中表示焦距，表示物距，表示像距．已知，，则（ ） A． B． C． D． 选做题： 4.若，则代数式的值为 ． 5.已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为 ． 6.填空： （填“>”、“=”、“<”）． 【综合拓展类作业】 7.化简：(1) (2)
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如果，那么化简的结果是（ ） A．0 B． C．2 D．3 2.若分式有意义，则下列关于运算结果的说法中正确的是（ ） A．不可能是负数 B．不可能是正数 C．不可能是0 D．有可能是0 3.为整数，符合条件的整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【综合拓展类作业】 4.已知，求的值．
教学反思 部分学生在确定最简公分母时因式分解不彻底，导致通分错误。 在通分和加减运算过程中，部分学生容易忽略负号或混淆加减运算的符号。 当分母为多项式时，通分和化简过程可能涉及复杂的因式分解和符号处理，学生容易出错。 改进措施： 1.设计不同形式的练习（如填空、选择、计算、应用题），提高学生的运算能力和问题解决能力。 2.及时反馈学生的作业和练习情况，针对共性问题进行集中讲解，确保学生掌握知识点。 3.收集学生的典型错误，进行错误分析，帮助学生识别和纠正错误。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 分式
2.2 分式的加法和减法（3）
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解异分母分式加减法的法则，能够正确进行异分母分式的加减运算。
2.会将异分母分式化为同分母分式后再进行加减运算，并化简结果。
3.通过类比异分母分数的加减法，推导异分母分式加减法的法则，体会类比迁移的思想方法。
学习重点：
异分母分式加减法的法则及其应用。
学习难点：
在异分母分式加减运算过程中正确处理符号问题和化简问题。
教学过程
一、复习回顾
通分：（1），； （2） .
问题：1.怎么进行分式的通分？
2.当分式的分母不同时，怎么进行分式的加减运算？
3.异分母分式的加减运算法则是什么？
二、新知探究
探究：异分母分式的加减运算
教材第34页
【做一做】
计算：
例6计算：.
例7计算：(1)； (2) .
【归纳】
当分母含多项式时，先______________，再______________.
分式的加减运算的结果必须是______________或______________.
当分子是多项式时，需______________.
例8计算：x+1+.
【归纳】如果一个分式与一个整式相加减，可以把整式的分母看成_____，先通分，再进行加减运算。
三、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.已知，是正数，则（ ）
A．是正数 B．是负数 C．有可能是0 D．无法判断
2.已知，则A的取值是
A．-3 B．3 C．-6 D．6
3.凸透镜在我们的生活中有着广泛的应用，如照相机等．凸透镜成像公式也称高斯成像公式，用表示，其中表示焦距，表示物距，表示像距．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
选做题
4.若，则代数式的值为 ．
5.已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为 ．
6.填空： （填“>”、“=”、“<”）．
【综合拓展类作业】
7.化简：(1) (2)
四、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
五、作业布置
1.如果，那么化简的结果是（ ）
A．0 B． C．2 D．3
2.若分式有意义，则下列关于运算结果的说法中正确的是（ ）
A．不可能是负数 B．不可能是正数 C．不可能是0 D．有可能是0
3.为整数，符合条件的整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4.已知，求的值．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】A
【解析】解：
∵，是正数，
∴分子，分母 ，
∴ ，
即是正数，
故选∶A
2.【答案】C
【解析】，
，
得到5x+1=A(x-2)+11(x-1)=(A+11)x-2A-11，
∴A+11=5，-2A-11=1，
∴A=-6.
故选C.
3.【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
4.【答案】
【解析】解：∵，
∴，
，
故答案为：．
5.【答案】180．
【解析】解：
∵为整数，且为整数，
∴或或或，
解得：或或或，
∴符合条件的的值的积为：
故答案为：．
6.【答案】>．
【解析】解：根据题意有：x+10，
∴，
即：
，
∵，
∴，
即，
∴>，
故答案为：．
7.【答案】（1）解：
；
（2）解：
作业布置：
1.【答案】A
【解析】解：∵，
，
．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：
，
∵分式有意义，
∴，
∴，
∴不存在这种情形，
∴，
又∵的值可以为负，也可以为正，
∴的值可以为负，也可以为正，但不可以为0，
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：当时，
，
∵为整数，
∴为整数，
∴或，
∴或；
当时，
，
∵为整数，
∴为整数，
∴，
∴（舍去）；
综上所述，或；
故选B．
4．【答案】解：∵
∴
解得：
∴
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
第2章 分式
2.2 分式的加法和减法（3）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解异分母分式加减法的法则，能够正确进行异分母分式的加减运算。
01
会将异分母分式化为同分母分式后再进行加减运算，并化简结果。
02
通过类比异分母分数的加减法，推导异分母分式加减法的法则，体会类比迁移的思想方法。
03
02
新知导入
通分：（1），； （2） .
解： （1） ，
;
（2），
;
02
新知导入
三定法
1.定系数：系数的最小公倍数
2.定字母：所有字母或含有字母的式子
3.定指数：最高次幂
分母都是单项式时：先用三定法确定最简公分母，再利用分式的基本性质进行通分.
分母含有多项式时：先将分母分解因式，再找最简公分母，最后利用分式的基本性质进行通分.
02
新知导入
异分母分式的加减运算法则：异分母的分式相加（减），取各个分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母（这样的公分母称为最简公分母），利用分式的基本性质，把它们化成同分母的分式（这个过程叫作通分），然后再相加（减）.
03
新知探究
做一做
计算：
第一步
先通分
解：原式=
= +
第二步
再相加
=
03
新知探究
计算：.
例6
解：由于最简公分母是12xy，于是
=
03
新知探究
计算：(1); (2) .
例7
解： (1)
当分母含多项式时，先将分母分解因式，再通分
分式的加减运算的结果必须是最简分式或整式.
03
新知探究
计算：(2).
例7
解： (2)
当分子是多项式时，需打括号
03
新知探究
计算：x+1+.
例8
解：
如果一个分式与一个整式相加减，可以把整式的分母看成1，先通分，再进行加减运算。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.已知，是正数，则（ ）
A．是正数 B．是负数 C．有可能是0 D．无法判断
2.已知，则A的取值是（ ）
A．-3 B．3 C．-6 D．6
A
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.凸透镜在我们的生活中有着广泛的应用，如照相机等．凸透镜成像公式也称高斯成像公式，用表示，其中表示焦距，表示物距，表示像距．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.若，则代数式的值为 ．
5.已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为 ．
6.填空：_____________（填“>”、“=”、“<”）．
180
>
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.化简：(1) (2)
（1）解：；
（2）解：.
05
课堂小结
一般步骤：
一、通分：1.确定最简公分母
2.将各分式化为同分母分式
二、同分母分式的加减运算：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减
三、约分：将所得结果化为最简分式或整式
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如果，那么化简的结果是（ ）
A．0 B． C．2 D．3
2.若分式有意义，则下列关于运算结果的说法中正确的是（ ）
A．不可能是负数
B．不可能是正数
C．不可能是0
D．有可能是0
A
C
06
作业布置
【知识技能类作业】
3.为整数，符合条件的整数的个数是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5
B
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.已知，求的值．
解：∵
∴
解得：
∴
07
板书设计
异分母分式的加法运算法则：
一般步骤：
一、通分：
二、同分母分式的加减运算：
三、约分：
2.2 分式的加法和减法（3）
习题讲解书写部分
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine
