4.1.1 n次方根与根式
[课时目标] 理解n次方根、根式的概念,明确正数的偶次方根有两个,偶次根式下被开方数必须非负.
逐点清(一) n次方根
[多维理解]
n次方根的定义与性质
一般地,如果 ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*
当n为奇数时,任意实数a都有n次方根,且只有一个,记作
当n为偶数时,正数的偶次方根有两个,且是 ,记作 .负数没有偶次方根,零的偶次方根为
正数a的正n次方根叫做a的 (n∈N*,n>1)
|微|点|助|解|
(1)在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数的n次方等于a.
(2)n次方根实际上就是立方根与平方根的推广.
(3)n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.
[微点练明]
1.(多选)若xn=a(x≠0),则下列说法正确的是 ( )
A.当n为奇数时,x的n次方根为a
B.当n为奇数时,a的n次方根为x
C.当n为偶数时,x的n次方根为±a
D.当n为偶数时,a的n次方根为±x
2.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.=3 B.16的4次方根是±2
C.=±3 D.=|x+y|
逐点清(二) 根 式
[多维理解]
根式的定义与性质
式子叫做 ,这里n叫做 ,a叫做被开方数
(1) = (2)()n= (n∈N*,且n>1)
|微|点|助|解|
根式符号的注意点
(1)n>1,且n∈N*.
(2)当n为大于1的奇数时,对任意的实数a都有意义,它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根,从而有()n=a.
(3)当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义;(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根,a的另一个n次方根是-,从而有(±)n=a.
(4)式子对任意a∈R都有意义.
[微点练明]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)()5=-2. ( )
(2)()4=-2. ( )
(3)()4=2. ( )
(4)=-5. ( )
(5)()n总有意义. ( )
(6) 总有意义. ( )
2.已知xy≠0,且=-2xy,则以下结论正确的是 ( )
A.xy<0 B.xy>0
C.x>0,y>0 D.x<0,y<0
3.若x≠0,则|x|-+的值为 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
4.若=,则实数a的取值范围是 ( )
A.R B.
C. D.不存在
逐点清(三) 根式的化简与求值
[典例] 已知-3
听课记录:
[变式拓展]
若将本例中“-3 |思|维|建|模|
化简根式的注意点
(1)在根式计算中,含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,而中a可以是任何实数.
(2)对于形如(m>0,n>0)的双重根式,当满足a>b>0,a+b=m,ab=n时,有=±.
[针对训练]
化简下列各式:
(1);
(2)+;
(3)(a≤1);
(4)+.
4.1.1 n次方根与根式
[多维理解] xn=a 相反数 ± 0 n次算术根
[微点练明]
1.选BD 当n为奇数时,a的n次方根只有1个,为x;当n为偶数时,由于(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有2个,为±x.所以B、D的说法是正确的,故选BD.
2.选BD 负数的3次方根是一个负数,=-3,故A错误;16的4次方根有两个,为±2,故B正确;=3,故C错误;是非负数,所以=|x+y|,故D正确.
[多维理解] 根式 根指数 a |a| a
[微点练明]
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√
2.选A 由=|2xy|=-2xy,xy≠0知xy<0.所以x,y异号,A正确.
3.选C 因为x≠0,所以|x|-+=|x|-|x|+=1.
4.选B =|3a-1|,=1-3a.因为|3a-1|=1-3a,故3a-1≤0,所以a≤.
[典例] 解:原式=-
=|x-1|-|x+3|,∵-3∴当-3原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;
当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
∴原式=
[变式拓展]
解:原式=-
=|x-1|-|x+3|.
∵x≤-3,∴x-1<0,x+3≤0,
∴原式=-(x-1)+(x+3)=4.
[针对训练]
解:(1)=-2.
(2)+=|π-4|+π-4=4-π+π-4=0.
(3)∵a≤1,
∴=|3a-3|=3|a-1|=3-3a.
(4)+=a+|1-a|=(共47张PPT)
n次方根与根式
—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
4.1.1
课时目标
理解n次方根、根式的概念，明确正数的偶次方根有两个，偶次根式下被开方数必须非负．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) n次方根
逐点清(二) 根 式
逐点清(三) 根式的化简与求值
4
课时跟踪检测
逐点清(一) n次方根
01
多维理解
n次方根的定义与性质
xn＝a
相反数
0
n次算术根
|微|点|助|解|
(1)在n次方根的概念中，关键是数a的n次方根x满足xn＝a，因此求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.
(2)n次方根实际上就是立方根与平方根的推广．
(3)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算．
微点练明
√
1．(多选)若xn＝a(x≠0)，则下列说法正确的是( )
A．当n为奇数时，x的n次方根为a
B．当n为奇数时，a的n次方根为x
C．当n为偶数时，x的n次方根为±a
D．当n为偶数时，a的n次方根为±x
√
解析：当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于(±x)n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以B、D的说法是正确的，故选BD.
√
√
逐点清(二) 根 式
02
多维理解
根式的定义与性质
根式
根指数
|a|
a
a
微点练明
√
×
×
√
×
√
√
√
√
逐点清(三) 根式的化简与求值
03
[变式拓展]
若将本例中“－3|思|维|建|模|
化简根式的注意点
针对训练
课时跟踪检测
04
1．若a是实数，则下列式子可能没有意义的是( )
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
√
2．若正数x，y满足x3＝8，y4＝81，则x＋y＝( )
A．1 B．3
C．5 D．7
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：对于A，因为偶次根式的结果只能是正数，A错误；对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，B错误；根据指数幂的运算法则可知C、D正确．故选CD.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:因为+=3,a>0,
所以=9,a+=7,
即==.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
解析：原式＝|a－(b＋c)|－|b＋c－a|＝(b＋c－a)－(b＋c－a)＝0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
－1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
b－a
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解:f====,
因为0故f=-a.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解:f==.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)探求f(x)＋f(1－x)的值；
解:由f(x)=,得f(1-x)===,故有f(x)+f(1-x)=1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解:由(2)知,f+f+…+f
=++…+=1×50=50.课时跟踪检测(二十七) n次方根与根式
(满分90分,选填小题每题5分)
1.若a是实数,则下列式子可能没有意义的是 ( )
A. B.
C. D.
2.若正数x,y满足x3=8,y4=81,则x+y= ( )
A.1 B.3
C.5 D.7
3.若m3=64,则= ( )
A.±8 B.8
C.4 D.2
4.若m=,n=,则m+n的值为 ( )
A.-7 B.-1
C.1 D.7
5.化简 等于 ( )
A.π-π-1 B.π-1-π
C.π+π-1 D.0
6.当a>0时, 等于 ( )
A.x B.x
C.-x D.-x
7.已知a,b∈R,下列各式总能成立的有 ( )
A.(-)6=a-b B.=a2+b2
C.-=a-b D.=a+b
8.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.的运算结果是±3
B.16的4次方根是2
C.当n为大于1的偶数时, 只有当a≥0时才有意义
D.当n为大于1的奇数时, 对任意a∈R都有意义
9.若+=3,则的值为 ( )
A. B.
C. D.
10.已知a,b,c为△ABC的三边长,化简-|b+c-a|的结果为 ( )
A.2(b+c)-2a B.2(b+a)-2c
C.2a D.0
11.当x<0时,x++= .
12.若x>3,则-|2-x|= .
13.已知二次函数f(x)=ax2+bx+0.1的图象如图所示,则= .
14.(12分)设f(x)=,若015.(13分)已知f(x)=,a是大于0的常数,
(1)求f;
(2)探求f(x)+f(1-x)的值;
(3)利用(2)的结论求f+f+…+f的值.
课时跟踪检测(二十七)
1.选D 当a<0时,a的偶次方根无意义.
2.选C 因为正数x,y满足x3=8,y4=81,所以x==2,y==3,所以x+y=2+3=5.
3.选D 因为m3=64,所以m=4.则==2,故选D.
4.选C m+n=|π-3|+|π-4|=π-3+4-π=1.
5.选A
==
==|π-1-π|=π-π-1.
6.选C 由题设得-ax3≥0,因为a>0,所以x≤0.故=-x.故选C.
7.选B A显然错误;B中,∵a2+b2≥0,∴B一定成立;C和D中,∵a,b∈R,∴=|a|,=|b|,=|a+b|,故C和D错误.
8.选CD 对于A,因为偶次根式的结果只能是正数,A错误;对于B,正数的偶次方根的结果有正有负,B错误;根据指数幂的运算法则可知C、D正确.故选CD.
9.选A 因为+=3,a>0,所以=9,a+=7,即==.
10.选D 原式=|a-(b+c)|-|b+c-a|=(b+c-a)-(b+c-a)=0.
11.解析:原式=x+|x|+=x-x+1=1.
答案:1
12.解析:∵x>3,∴-|2-x|=-|2-x|=|x-3|-|2-x|=x-3-(x-2)=-1.
答案:-1
13.解析:由题图知f(-1)=a-b+0.1<0,∴a-b<0,∴=|a-b|=-(a-b)=b-a.
答案:b-a
14.解:f====,因为015.解:(1)f==.
(2)由f(x)=,得f(1-x)===,故有f(x)+f(1-x)=1.
(3)由(2)知,f+f+…+f=+
+…+=1×50=50.