4.1.2 指数幂及其运算性质
—— (教学方式:深化学习课梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.能正确运用根式运算性质化简求值.
2.掌握并运用有理数指数幂的运算性质.
3.能结合教材探究了解无理数指数幂.
4.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算.
(一)分数指数幂的意义
正分数 指数幂 规定:= (a>0,m,n∈N*,n>1)
负分数 指数幂 规定:== (a>0,m,n∈N*,n>1)
0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于 , 0的负分数指数幂 意义
|微|点|助|解|
(1)分数指数幂是指数概念的又一推广,分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种新的写法.在这样的规定下,根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式不同而已.
(2)指数的概念扩充到有理数指数后,当a≤0时,有时有意义,有时无意义.如==-1,但就不是实数了.为了保证在取任何有理数时,都有意义,所以规定a>0.
(3)注意幂指数不能随意约分.如===2,而=在实数范围内无意义.
(4)负分数指数幂在有意义的情况下,总表示正数,而不是负数.
(二)有理数指数幂的运算性质与无理数指数幂
1.有理数指数幂的运算性质
(1)aras= (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= (a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
|微|点|助|解|
(1)有理数指数幂除上述运算性质外,还有如下性质:
①ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈Q);②=(a>0,b>0,r∈Q).
(2)有理数指数幂的几个常见结论:①当a>0时,ab>0;
②当a≠0时,a0=1,而当a=0时,a0无意义;
③若ar=as(a>0,且a≠1),则r=s;
④乘法公式仍适用于分数指数幂,如:=-=a-b(a>0,b>0).
(3)有理数指数幂的运算性质均在有意义的条件下才能成立,否则,不一定成立.如不一定等于()8,因为当m<0时,没有意义.
2.无理数指数幂
一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
基础落实训练
1.下列运算结果中,正确的是 ( )
A.a2·a3=a5 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(-1)0=1 D.(-a2)3=a6
2.计算的结果是 ( )
A.π B.
C.-π D.
3.下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是 (填序号).
①-=(-x(x>0);
② =(y<0);
③=(x>0);
④=-(x≠0);
⑤=(a>0).
4.若10x=3,10y=4,则1= .
题型(一) 根式与分数指数幂的互化
[例1] 将下列根式化成分数指数幂的形式.
(1)·;(2);
(3) ·;
(4)()2·.
听课记录:
|思|维|建|模|
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质运算.
(3)当所求根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简.
[针对训练]
1.把根式化为分数指数幂,把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数).
(1);(2);(3)(a+b;(4).
题型(二) 利用指数幂的运算性质化简求值
[例2] 化简求值:
(1)-++-3-1;
(2)(a-2b-3)(-4a-1b)÷(12a-4b-2c);
(3)2÷4×3.
听课记录:
|思|维|建|模|
1.指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,以便于运用指数幂的运算性质.
2.化简指数幂常用技巧
(1)=(ab≠0);
(2)a=,=(式子有意义);
(3)1的代换,如1=a-1a,1=等. [针对训练]
2.化简(a,b为正数)的结果是 ( )
A. B.ab
C. D.a2b
3.求下列各式的值:
(1);(2)2××;
(3);(4)(a>0).
题型(三) 指数幂运算中的条件求值
[例3] 已知+=3,求下列各式的值:
(1)a+a-1;
(2)a2+a-2;
(3).
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式进行适当变形,构造出能用已知条件表示的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.
(2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a>0,b>0):
①a±2+b=(±)2;
②(+)(-)=a-b;
③+=(+)(a-+b);
④-=(-)(a++b).
[针对训练]
4.已知10m=2,10n=4,则1的值为 ( )
A.2 B.
C. D.2
5.已知a2x=+1,则= ( )
A.2-1 B.2-2
C.2+1 D.+1
4.1.2 指数幂及其运算性质
课前预知教材
(一) 0 没有
(二)1.(1)ar+s (2)ars (3)arbr 2.实数
[基础落实训练]
1.A 2.D 3.③⑤ 4.
课堂题点研究
[例1] 解:(1)·=·=.
(2)原式=··=.
(3)原式=·=.
(4)原式=()2··=.
[针对训练]
1.解:(1)=.
(2)=2.
(3)(a+b=.
(4)=(x3+y.
[例2] 解:(1)原式=(0.33+(44+-=-+43+2-=.
(2)原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)
=-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=-ac-1=-.
(3)原式=2÷()(3)
=·3=.
[针对训练]
2.选C 原式==·=,故选C.
3.解:(1)原式=
===3.
(2)原式=2×××(3×22=×=2×3=6.
(3)原式==-=-=-5.
(4)原式====(a>0).
[例3] 解:(1)将+=3两边平方,
得a+a-1+2=9,即a+a-1=7.
(2)将a+a-1=7两边平方,可得a2+a-2+2=49,
∴a2+a-2=47.
(3)∵+=()3+()3
=(+)(a-·+a-1)
=3(a+a-1-1)=3(7-1)=18,
而a2+a-2=47,∴原式===3.
[针对训练]
4.选B 1====.
5.选A 令ax=t,则t2=+1,所以===t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-1.(共57张PPT)
指数幂及其运算性质
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
4.1.2
课时目标
1．能正确运用根式运算性质化简求值．
2．掌握并运用有理数指数幂的运算性质．
3．能结合教材探究了解无理数指数幂．
4．结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)分数指数幂的意义
0
没有
|微|点|助|解|
(1)分数指数幂是指数概念的又一推广,分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种新的写法.在这样的规定下,根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式不同而已.
(2)指数的概念扩充到有理数指数后,当a≤0时,有时有意义,有时无意义.如==-1,但就不是实数了.为了保证在取任何有理数时,都有意义,所以规定a>0.
(3)注意幂指数不能随意约分.如===2,而=在实数范围内无意义.
(4)负分数指数幂在有意义的情况下,总表示正数,而不是负数.
(二)有理数指数幂的运算性质与无理数指数幂
1．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝_____ (a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝____ (a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q)．
ar＋s
ars
arbr
|微|点|助|解|
(1)有理数指数幂除上述运算性质外,还有如下性质:
①ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈Q);②=(a>0,b>0,r∈Q).
(2)有理数指数幂的几个常见结论:①当a>0时,ab>0;②当a≠0时,a0=1,而当a=0时,a0无意义;③若ar=as(a>0,且a≠1),则r=s;④乘法公式仍适用于分数指数幂,如:==a-b(a>0,b>0).
(3)有理数指数幂的运算性质均在有意义的条件下才能成立,否则,不一定成立.如不一定等于()8,因为当m<0时,没有意义.
2．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的______.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
实数
基础落实训练
解析：a2·a3＝a2＋3＝a5，故A正确；(－a2)3＝－a6，(－a3)2＝a6，故B、D错误；当a＝1时无意义，故C错误．
√
√
2.计算的结果是( )
A.π B.
C.-π D.
③⑤
3.下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是 (填序号).
①-=(-x(x>0);
② =(y<0);
③=(x>0);
④=-(x≠0);
⑤=(a>0).
4．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.
课堂题点研究·迁移应用融通
[例1] 将下列根式化成分数指数幂的形式．
题型(一) 根式与分数指数幂的互化
解：
解：
解：
解：
|思|维|建|模| 根式与分数指数幂互化的规律
1．把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数)．
针对训练
解：
解：
解：
解：
题型(二) 利用指数幂的运算性质化简求值
解：
|思|维|建|模|
1．指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，以便于运用指数幂的运算性质．
2.化简指数幂常用技巧
(1)=(ab≠0);
(2)a=,=(式子有意义);
(3)1的代换,如1=a-1a,1=等.
针对训练
√
2.化简(a,b为正数)的结果是( )
A. B.ab
C. D.a2b
解：
解：
解：
解：
题型(三) 指数幂运算中的条件求值
解:(1)将+=3两边平方,
得a+a-1+2=9,即a+a-1=7.
(2)a2＋a－2；
解：将a＋a－1＝7两边平方，可得a2＋a－2＋2＝49，
∴a2＋a－2＝47.
(3).
解:∵+=()3+()3
=(+)(a-·+a-1)
=3(a+a-1-1)
=3(7-1)=18,
而a2+a-2=47,
∴原式===3.
|思|维|建|模|
(1)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式进行适当变形，构造出能用已知条件表示的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．
(2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a＞0，b＞0)：
针对训练
√
解析：
√
课时跟踪检测
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√
解析：由题意可知a≥0，排除A、B、C选项，故选D.
A级——达标评价
1.把根式a化成分数指数幂是( )
A.(-a B.-(-a
C.- D.
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2.·=( )
A. B.5
C. D.25
解析:·==[()2=.
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3．设a>0，则下列运算正确的是( )
√
解析:易知A正确;对于选项B,=a0=1,B错误;对于选项C,a÷=,C错误;对于选项D,==,D错误.
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解析：
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√
6．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝______，(2α)β＝______.
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8．如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成________个．
解析：经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64个．
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解：
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解：
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B级——重点培优
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解析:∵2a=m,5b=m,∴2=,5=.
∴2×5=·=.又+=2,∴m2=10.∴m=或m=-(舍去).
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√
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14．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a＞0，且a≠1)，则a4m＋n的值为________．
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2
解:设ax=by=cz=k,
则k>0,a=,b=,c=,
因此abc===k0=1.课时跟踪检测(二十八) 指数幂及其运算性质
(满分90分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.把根式a化成分数指数幂是 ( )
A.(-a B.-(-a
C.- D.
2.·= ( )
A. B.5
C. D.25
3.设a>0,则下列运算正确的是 ( )
A.=a B.=0
C.a÷= D.=a
4.化成分数指数幂为 ( )
A. B.
C. D.
5.若0
0,且ab+a-b=2,则ab-a-b等于 ( )
A. B.2或-2
C.-2 D.2
6.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= .
7.计算·(-3a-1b)÷= .
8.如果在某种细菌培养过程中,细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个),那么经过1小时,一个这种细菌可以分裂成 个.
9.(8分)计算下列各式的值:
(1);(2)(a>0);
(3);
(4)+0.1-2+-3π0+.
10.(8分)已知a=3,求+++的值.
B级——重点培优
11.设2a=5b=m,且+=2,则m= ( )
A. B.10
C.20 D.100
12.,,这三个数的大小关系为 ( )
A.<< B.<<
C.<< D.<<
13.(多选)已知10a=2,102b=5,则下列结论正确的是 ( )
A.a+2b=1 B.ab<
C.10a+b>4 D.a>b
14.已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0,且a≠1),则a4m+n的值为 .
15.(10分)若a,b,c为正实数,ax=by=cz,++=0,求abc.
课时跟踪检测(二十八)
1.选D 由题意可知a≥0,排除A、B、C选项,故选D.
2.选C ·==[()2=.
3.选A 易知A正确;对于选项B,=a0=1,B错误;对于选项C,a÷=,C错误;对于选项D,==,D错误.
4.选B 原式===(=.
5.选C 由ab+a-b=2,得(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8.因此a2b+a-2b=6,所以(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.由题意得01,故ab-a-b<0,所以ab-a-b=-2.故选C.
6.解析:利用一元二次方程根与系数的关系,得α+β=-2,αβ=.则2α·2β==2-2=,(2α)β=2αβ=.
答案:
7.解析:原式==-b2.
答案:-b2
8.解析:经过1小时可分裂6次,可分裂成26=64个.
答案:64
9.解:(1)原式==29×32=4 608.
(2)原式==a0=1.
(3)原式===π.
(4)原式=++-3+=+100+-3+=100.
10.解:+++=++=++=+=+==-1.
11.选A ∵2a=m,5b=m,∴2=,5=.
∴2×5=·=.又+=2,∴m2=10.∴m=或m=-(舍去).
12.选B ===,===,=.因为<<,所以<<.
13.选ABC 因为10a·102b=10a+2b=10,所以a+2b=1,故A正确;易知a>0,b>0,由基本不等式得a+2b≥2,所以ab≤,当且仅当a=2b=时取等号,又因为10a≠102b,即a≠2b,所以等号不成立,所以ab<,故B正确;10a+b=10a·10b=2×=2>4,故C正确;由(10a)2=102a=4<5=102b,得a14.解析:因为所以①×②得a3m=26.所以am=22.将am=22代入②得22·a-n=28,所以an=2-6.所以a4m+n=·an=(am)4·an=(22)4·2-6=22=4.
答案:4
15.解:设ax=by=cz=k,
则k>0,a=,b=,c=,
因此abc===k0=1.