4.2.1 指数函数的概念——（教学方式：基本概念课——逐点理清式教学）
[课时目标]
1.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.会从形式上判断一个函数是否是指数函数.
2.会从实际问题中抽象出指数函数模型并能解决相应问题.
逐点清(一) 指数函数的概念
[多维理解]
一般地,函数 叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
|微|点|助|解|
指数函数只是一个形式定义,判断一个函数是指数函数的关键有三点:
(1)底数a为大于0且不等于1的常数,不能是自变量;
(2)指数处只有一个自变量,而且不是含自变量的多项式;
(3)ax的系数是1.
[微点练明]
1.如果函数f(x)=2a·3x和g(x)=2x-(b+3)都是指数函数,则ab= ( )
A. B.1
C.9 D.8
2.若函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数,则 ( )
A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1
C.a=1 D.a=-3
3.(多选)下列函数是指数函数的是 ( )
A.y=52x
B.y=-4x
C.y=x3
D.y=(6a-3)x
4.若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1)∪(1,+∞) B.[0,1)∪(1,+∞)
C.∪(1,+∞) D.
逐点清(二) 求指数函数的解析式或值
[多维理解]
(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
[微点练明]
1.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),且f(1)=2,则f(0)+f(2)= ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
2.若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为 ( )
A.-2 B.2 C.-2 D.2
3.设函数f(x)=若f=8,则a= ( )
A. B. C.1 D.2
*4.已知函数f(x)是指数函数,且f=,则f(3)= .
逐点清(三) 指数增长与衰减的应用
在实际问题中,经常遇到指数增长模型,形如y=kax(k∈R,且k≠0,a>0,且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
[典例] 有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内,该种树的产量年增长率为20%,如果不砍伐,从第6年到第10年,该种树的产量年增长率为10%,现有两种砍伐方案:
甲方案:栽植5年后不砍伐,等到10年后砍伐.乙方案:栽植5年后砍伐重栽,然后过5年再砍伐一次.
请计算后回答:10年内哪一个方案可以得到较多的木材
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段.
(2)在实际问题中,对于平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示.
[针对训练]
1.若镭经过100年后剩余量为原来的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩余量为y,则x,y的函数关系是 ( )
A.y=(0.957 6 B.y=(0.957 6)100x
C.y= D.y=1-(0.042 4
2.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=c(c,m为常数).求c,m的值.
4.2.1 指数函数的概念
[多维理解] y=ax(a>0,且a≠1)
[微点练明]
1.选D 根据题意可得2a=1 a=,
-(b+3)=0 b=-3,则ab==8.
2.选C 因为函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数,则且a+4≠1,解得a=1.
3.选AD 对于A,y=52x=25x为指数函数;对于B,y=-4x不是指数函数;对于C,y=x3不是指数函数;对于D,当a>且a≠时,6a-3>0且6a-3≠1,则y=(6a-3)x为指数函数.
4.选C 依题意得2a-1>0,且2a-1≠1,解得a>,且a≠1,即a的取值范围是∪(1,+∞).
[微点练明]
1.选B 由f(1)=2 a=2 f(x)=2x,所以f(0)+f(2)=20+22=5.
2.选B 因为函数f(x)=ax是指数函数,所以a-1=1,a>0,且a≠1,即a=4.所以f(x)=4x.则f==2.
3.选D f=4×-=3,则f=f(3)=a3,得a3=8,解得a=2.故选D.
4.解析:设f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f===,得a=5,故f(x)=5x.因此,f(3)=53=125.
答案:125
[典例] 解:设该种树的最初栽植量为a,甲方案在10年后的木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4.01a.乙方案在10年后的木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.∵a>0,∴4.98a>4.01a,即y2>y1,∴10年内乙方案可以得到较多的木材.
[针对训练]
1.选A 由100年后剩余量为原来的95.76%,故x年后的剩余量y=(0.957 6.
2.解:由题意可得
解得故c,m的值分别为128,.(共46张PPT)
4.2.1
指数函数的概念
—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1．了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．会从形式上判断一个函数是否是指数函数．
2．会从实际问题中抽象出指数函数模型并能解决相应问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 指数函数的概念
逐点清(二) 求指数函数的解析式或值
逐点清(三) 指数增长与衰减的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 指数函数的概念
01
多维理解
一般地，函数_____________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
y＝ax(a＞0，且a≠1)
|微|点|助|解|
指数函数只是一个形式定义,判断一个函数是指数函数的关键有三点:
(1)底数a为大于0且不等于1的常数,不能是自变量;
(2)指数处只有一个自变量,而且不是含自变量的多项式;
(3)ax的系数是1.
微点练明
√
2．若函数f(x)＝(a2＋2a－2)(a＋4)x为指数函数，则( )
A．a＝1或a＝－3 B．a>0且a≠1
C．a＝1 D．a＝－3
√
√
√
4．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
√
逐点清(二) 求指数函数的
解析式或值
02
多维理解
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式．
1．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2，则f(0)＋f(2)＝( )
A．4 B．5 C．6 D．8
解析：由f(1)＝2 a＝2 f(x)＝2x，所以f(0)＋f(2)＝20＋22＝5.
微点练明
√
√
解析:因为函数f(x)=·ax是指数函数,所以a-1=1,a>0,且a≠1,即a=4.所以f(x)=4x.则f==2.
√
3.设函数f(x)=若f=8,则a=( )
A. B.
C.1 D.2
解析: f=4×=3,
则f=f(3)=a3,
得a3=8,
解得a=2.故选D.
125
解析:设f(x)=ax(a>0,且a≠1),
则f===,
得a=5,
故f(x)=5x.
因此,f(3)=53=125.
逐点清(三) 指数增长与衰减的应用
03
在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
[典例] 有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．
请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？
解：设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.乙方案在10年后的木材产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.∵a>0，∴4.98a>4.01a，即y2>y1，∴10年内乙方案可以得到较多的木材．
|思|维|建|模|
(1)由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段.
(2)在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．
针对训练
√
1.若镭经过100年后剩余量为原来的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩余量为y,则x,y的函数关系是 ( )
A.y=(0.957 6 B.y=(0.957 6)100x
C.y= D.y=1-(0.042 4
解析:由100年后剩余量为原来的95.76%,故x年后的剩余量y=(0.957 6.
2.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=c(c,m为常数).
求c,m的值.
解:由题意可得
解得
故c,m的值分别为128,.
课时跟踪检测
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1．下列函数为指数函数的是( )
A．y＝2·3x B．y＝－3x
C．y＝5x D．y＝1x
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解析：∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，∴2a－3＝1，a＞0，且a≠1.解得a＝2.∴f(x)＝2x.∴f(1)＝2.故选D.
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4．函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，对于任意实数x，y都有( )
A．f(xy)＝f(x)f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故选C.
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5．某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )
A．12 h B．4 h
C．3 h D．2 h
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6．已知一种产品的成本是a元，今后m年，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0A．y＝a(1＋p%)x(0B．y＝a(1－p%)x(0C．y＝a(p%)x(0D．y＝a－(p%)x(01
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解析：∵产品的成本是a元，1年后，成本为a－p%·a＝a(1－p%)；2年后，成本为a(1－p%)－a(1－p%)·p%＝a(1－p%)2；…，∴x年后，成本y＝a(1－p%)x(01
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9.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>1)的图象经过点E，B，则a等于( )
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11．函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)等于( )
A．－2x B．2－x
C．－2－x D．2x
解析：当x<0时，f(x)＝2x，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝2－x.又f(x)是R上的奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
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12．已知指数函数f(x)＝(2b－3)ax经过点(1,2)，则a＝______，f(a＋b)＝______.
解析：由指数函数的定义可知2b－3＝1，即b＝2.将点(1,2)代入f(x)＝ax，得a＝2.故f(x)＝2x，a＋b＝4，所以f(a＋b)＝f(4)＝24＝16.
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14．(12分)已知指数函数y＝g(x)满足g(3)＝8，定义域为R的函数f(x)＝g(x)－g(－x)．
(1)求y＝g(x)，y＝f(x)的解析式；
解：根据题意，函数y＝g(x)为指数函数，设g(x)＝ax，若g(3)＝8，则a3＝8，解得a＝2，则g(x)＝2x，f(x)＝g(x)－g(－x)＝2x－2－x，
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解： f(x)＝2x－2－x，函数定义域为R，
则f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，函数f(x)为奇函数．
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(2)若g(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．
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2课时跟踪检测(二十九) 指数函数的概念
(满分90分,选填小题每题5分)
1.下列函数为指数函数的是 ( )
A.y=2·3x B.y=-3x
C.y=5x D.y=1x
2.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,则f(1)= ( )
A.8 B.
C.4 D.2
3.若点(a,27)在函数y=()x的图象上,则的值为 ( )
A. B.1
C.2 D.0
4.函数f(x)=ax(a>0且a≠1),对于任意实数x,y都有 ( )
A.f(xy)=f(x)f(y)
B.f(xy)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)f(y)
D.f(x+y)=f(x)+f(y)
5.某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过 ( )
A.12 h B.4 h
C.3 h D.2 h
6.已知一种产品的成本是a元,今后m年,计划使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数x(0A.y=a(1+p%)x(0B.y=a(1-p%)x(0C.y=a(p%)x(0D.y=a-(p%)x(07.已知函数f(x)=+2,则f(1)与f(-1)的大小关系是 ( )
A.f(1)>f(-1) B.f(1)C.f(1)=f(-1) D.不确定
8.已知f(x)=3x,g(x)=9x,若f(a)g(b)=,则下列各式正确的是 ( )
A.a+b=-1 B.a+b=1
C.a+2b=-1 D.a+2b=1
9.如图所示,面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E.若指数函数y=ax(a>1)的图象经过点E,B,则a等于 ( )
A. B.
C.2 D.3
10.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent,假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有升,则m的值为 ( )
A.10 B.9
C.8 D.5
11.函数y=f(x)是R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x,则当x>0时,f(x)等于 ( )
A.-2x B.2-x
C.-2-x D.2x
12.已知指数函数f(x)=(2b-3)ax经过点(1,2),则a= ,f(a+b)= .
13.设函数f(x)=则f(f(-4))= .
14.(12分)已知指数函数y=g(x)满足g(3)=8,定义域为R的函数f(x)=g(x)-g(-x).
(1)求y=g(x),y=f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
15.(13分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)求a的值;
(2)若g(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.
课时跟踪检测(二十九)
1.C
2.选D ∵函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,∴2a-3=1,a>0,且a≠1.解得a=2.∴f(x)=2x.∴f(1)=2.故选D.
3.选A 点(a,27)在函数y=()x的图象上,所以27=()a,即33=,所以=3,解得a=6,所以=.故选A.
4.选C f(x+y)==axay=f(x)f(y).故选C.
5.选C 设需经过x次分裂,则2x=4 096,解得x=12.所以所需时间t==3(h).
6.选B ∵产品的成本是a元,1年后,成本为a-p%·a=a(1-p%);2年后,成本为a(1-p%)-a(1-p%)·p%=a(1-p%)2;…,∴x年后,成本y=a(1-p%)x(07.选B ∵f(x)=+2,∴f(1)=+2=,f(-1)=+2=4.∵<4,∴f(1)8.选C 由3a·9b=知3a·32b=3-1.即a+2b=-1.
9.选A 设点C(0,m)(m>0),则由已知条件可得A,E,B.因为点E,B在指数函数y=ax(a>1)的图象上,所以解得m=2,所以a=-(舍去)或a=.
10.选D 由题设可得方程组
由2ae5n=a e5n=,代入ae(m+5)n= emn=,联立两个等式可得解得m=5.故选D.
11.选C 当x<0时,f(x)=2x,当x>0时,-x<0,则f(-x)=2-x.又f(x)是R上的奇函数,所以当x>0时,f(x)=-f(-x)=-2-x.
12.解析:由指数函数的定义可知2b-3=1,即b=2.将点(1,2)代入f(x)=ax,得a=2.故f(x)=2x,a+b=4,所以f(a+b)=f(4)=24=16.
答案:2 16
13.解析:依题意,知f(-4)==16,f(16)==4,所以f(f(-4))=f(16)=4.
答案:4
14.解:(1)根据题意,函数y=g(x)为指数函数,设g(x)=ax,若g(3)=8,则a3=8,解得a=2,则g(x)=2x,f(x)=g(x)-g(-x)=2x-2-x,
(2)f(x)=2x-2-x,函数定义域为R,
则f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),函数f(x)为奇函数.
15.解:(1)由已知,得a2=,∵a>0且a≠1,∴a=.
(2)当x≤0时,g(x)=f(x)=,设x>0,则-x<0,则g(-x)==3x,因为g(x)是定义在R上的偶函数,所以g(x)=g(-x)=3x,所以函数g(x)的解析式为g(x)=
