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2025秋北师版九上数学
第一章检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．顺次连接四边形ABCD各边的中点后所得四边形是正方形，则四边形ABCD是( D )
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等且垂直的四边形
2．(天津中考)如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是( D )
A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)
3．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( B )
A．5 B．4 C．3.5 D．3
4．如图，点E，F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是( A )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．如图，四边形ABCD是菱形，下列式子可以求出其面积的是( D )
A．AE·BC B．AF·CD
C．AC·BD D．BC·DG
6．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为( B )
A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶1
7．(重庆中考)如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为( C )
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
8．(株洲中考)如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( D )
A．OB＝CE B．△ACE是直角三角形
C．BC＝AE D．BE＝CE
9．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图①，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图②，AC＝( A )
A． B．2 C． D．2
10．(黔西南州中考)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG.下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF.其中正确的结论是( D )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，连接AF，DE.若AB＝6，AF＝5，则AE的长为__4__．
12．(镇江中考)如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为__135°__．
13．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是__AE＝AF(答案不唯一)__(写出一个即可).
14．(十堰中考)“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝__110__°.
15．(2023·陕西)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.点E在边AD上，且ED＝3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM＋PN＝4，则线段PC的长为__2__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE，CF.求证：CE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△CDF和△CBE中，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴CE＝CF
17．(9分)(2023·鄂州)如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD.
(1)尺规作图(请用2B铅笔)：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
解：(1)如图所示
(2)四边形AEFD是菱形，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BF，∴∠DAF＝∠AFC，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠FAE，∴∠FAE＝∠AFC，∴EA＝EF，∵AE＝AD，∴AD＝EF，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AE＝AD，∴四边形AEFD是菱形
18．(9分)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的长．
解：(1)在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF.又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B.又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB(AAS)，∴DF＝AB (2)∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF.∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8
19．(9分)(大庆中考)如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF，连接AE，CD.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若AE＝AC，求证：AB＝DB.
解：(1)∵EB＝CF，∴EB＋EC＝CF＋EC，∴BC＝EF，∵AB＝DF，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE(SSS)，∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形
(2)连接AD交BF于点O，∵四边形ABDF是平行四边形，∴OB＝OF，∵BE＝CF，∴OB－BE＝OF－CF，∴OE＝OC，∵AE＝AC，∴AO⊥EC，∴四边形ABDF是菱形，∴AB＝DB
20．(9分)如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求 ABCD的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB.∵CF＝AE，∴CD－CF＝AB－AE，∴DF＝BE且DC∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形BFDE是矩形
(2)∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，∴∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝2，DE＝AE＝2，由(1)知四边形BFDE是矩形，∴BF＝DE＝2，∠ABF＝90°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝∠DAB＝30°，∴AB＝BF＝×2＝6，∴ ABCD的面积＝AB·DE＝6×2＝12
21．(10分)【阅读理解问题】请阅读下列材料，并完成相应的任务．
三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图1，任意锐角∠ABC可看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F.若EF＝2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线．
证明：如图2，取EF的中点G，连接AG……
任务：
(1)完成材料中的证明过程；
(2)如图3，在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线相交于点F.若BF＝AC，则∠F的度数为__30°__．
解：(1)∵四边形BCAD是矩形，∴AD∥BC，∠DAC＝90°.∴∠F＝∠CBF，∠EAF＝90°.∵点G是EF的中点，∴AG＝EF＝FG.∴∠F＝∠GAF.∵EF＝2AB，∴AG＝AB.∴∠ABG＝∠AGB＝∠F＋∠GAF＝2∠F＝2∠CBF.∴∠ABC＝3∠CBF.∴射线BF是∠ABC的一条三等分线
22．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D为AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．
解：(1)∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD
(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形
(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC.∵D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.由(2)知当D为AB中点时，四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形
23．(11分)(1)如图①，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，求证：AP＝MN；
(2)如图②，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N.求证：EF＝ME＋FN；
(3)在(2)的条件下，若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．
解：(1)过B点作BH∥MN交CD于点H，∵BM∥NH，∴四边形MBHN为平行四边形．∴BH＝MN.∵MN⊥AP，∴BH⊥AP，∴∠BAP＋∠ABH＝90°.又∵∠ABH＋∠CBH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH.在△ABP和△BCH中，∠BAP＝∠CBH，AB＝BC，∠ABP＝∠BCH，∴△ABP≌△BCH(ASA)，∴AP＝BH，∴AP＝MN
(2)连接FA，FP，FC.∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，∴FA＝FC.又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP.∴FP＝FC.∴∠FPC＝∠FCP.∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC.又∵∠FPC＋∠FPB＝180°，∴∠FAB＋∠FPB＝180°.∴∠ABC＋∠AFP＝180°.∴∠AFP＝90°.∴FE＝AP.又∵AP＝MN，∴ME＋EF＋FN＝AP.∴EF＝ME＋FN
(3)连接AC.由(2)知EF＝MN，∵MN＝AP，∴EF＝AP，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC＝2.当点P和点B重合时，EF最小，最小值＝AP＝AB＝1.当点P和点C重合时，EF最大，最大值＝AP＝AC＝
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第一章检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．顺次连接四边形ABCD各边的中点后所得四边形是正方形，则四边形ABCD是( D )
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等且垂直的四边形
2．(天津中考)如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是( D )
A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)
3．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( B )
A．5 B．4 C．3.5 D．3
4．如图，点E，F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是( A )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．如图，四边形ABCD是菱形，下列式子可以求出其面积的是( D )
A．AE·BC B．AF·CD
C．AC·BD D．BC·DG
6．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为( B )
A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶1
7．(重庆中考)如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为( C )
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
8．(株洲中考)如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( D )
A．OB＝CE B．△ACE是直角三角形
C．BC＝AE D．BE＝CE
9．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图①，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图②，AC＝( A )
A． B．2 C． D．2
10．(黔西南州中考)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG.下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF.其中正确的结论是( D )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，连接AF，DE.若AB＝6，AF＝5，则AE的长为__4__．
12．(镇江中考)如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为__135°__．
13．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是__AE＝AF(答案不唯一)__(写出一个即可).
14．(十堰中考)“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝__110__°.
15．(2023·陕西)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.点E在边AD上，且ED＝3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM＋PN＝4，则线段PC的长为__2__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE，CF.求证：CE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△CDF和△CBE中，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴CE＝CF
17．(9分)(2023·鄂州)如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD.
(1)尺规作图(请用2B铅笔)：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
解：(1)如图所示
(2)四边形AEFD是菱形，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BF，∴∠DAF＝∠AFC，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠FAE，∴∠FAE＝∠AFC，∴EA＝EF，∵AE＝AD，∴AD＝EF，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AE＝AD，∴四边形AEFD是菱形
18．(9分)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的长．
解：(1)在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF.又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B.又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB(AAS)，∴DF＝AB (2)∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF.∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8
19．(9分)(大庆中考)如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF，连接AE，CD.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若AE＝AC，求证：AB＝DB.
解：(1)∵EB＝CF，∴EB＋EC＝CF＋EC，∴BC＝EF，∵AB＝DF，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE(SSS)，∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形
(2)连接AD交BF于点O，∵四边形ABDF是平行四边形，∴OB＝OF，∵BE＝CF，∴OB－BE＝OF－CF，∴OE＝OC，∵AE＝AC，∴AO⊥EC，∴四边形ABDF是菱形，∴AB＝DB
20．(9分)如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求 ABCD的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB.∵CF＝AE，∴CD－CF＝AB－AE，∴DF＝BE且DC∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形BFDE是矩形
(2)∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，∴∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝2，DE＝AE＝2，由(1)知四边形BFDE是矩形，∴BF＝DE＝2，∠ABF＝90°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝∠DAB＝30°，∴AB＝BF＝×2＝6，∴ ABCD的面积＝AB·DE＝6×2＝12
21．(10分)【阅读理解问题】请阅读下列材料，并完成相应的任务．
三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图1，任意锐角∠ABC可看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F.若EF＝2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线．
证明：如图2，取EF的中点G，连接AG……
任务：
(1)完成材料中的证明过程；
(2)如图3，在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线相交于点F.若BF＝AC，则∠F的度数为__30°__．
解：(1)∵四边形BCAD是矩形，∴AD∥BC，∠DAC＝90°.∴∠F＝∠CBF，∠EAF＝90°.∵点G是EF的中点，∴AG＝EF＝FG.∴∠F＝∠GAF.∵EF＝2AB，∴AG＝AB.∴∠ABG＝∠AGB＝∠F＋∠GAF＝2∠F＝2∠CBF.∴∠ABC＝3∠CBF.∴射线BF是∠ABC的一条三等分线
22．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D为AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．
解：(1)∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD
(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形
(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC.∵D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.由(2)知当D为AB中点时，四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形
23．(11分)(1)如图①，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，求证：AP＝MN；
(2)如图②，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N.求证：EF＝ME＋FN；
(3)在(2)的条件下，若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．
解：(1)过B点作BH∥MN交CD于点H，∵BM∥NH，∴四边形MBHN为平行四边形．∴BH＝MN.∵MN⊥AP，∴BH⊥AP，∴∠BAP＋∠ABH＝90°.又∵∠ABH＋∠CBH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH.在△ABP和△BCH中，∠BAP＝∠CBH，AB＝BC，∠ABP＝∠BCH，∴△ABP≌△BCH(ASA)，∴AP＝BH，∴AP＝MN
(2)连接FA，FP，FC.∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，∴FA＝FC.又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP.∴FP＝FC.∴∠FPC＝∠FCP.∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC.又∵∠FPC＋∠FPB＝180°，∴∠FAB＋∠FPB＝180°.∴∠ABC＋∠AFP＝180°.∴∠AFP＝90°.∴FE＝AP.又∵AP＝MN，∴ME＋EF＋FN＝AP.∴EF＝ME＋FN
(3)连接AC.由(2)知EF＝MN，∵MN＝AP，∴EF＝AP，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC＝2.当点P和点B重合时，EF最小，最小值＝AP＝AB＝1.当点P和点C重合时，EF最大，最大值＝AP＝AC＝
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