4.2.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质—— (教学方式:深化学习课梯度进阶式教学)
[课时目标] 掌握指数函数的图象和性质,学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题.
指数函数的图象与性质
项目 0
1
图象
定义域 R
值域
过定点 ,即x= 时,y=
函数值 的变化 当x>0时, ; 当x<0时, 当x<0时, ; 当x>0时,
单调性
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称
|微|点|助|解|
(1)当底数a大小不确定时,必须分a>1和0(2)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在x轴上方.
(3)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),,只要确定了这三个点的坐标,即可快速地画出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的大致图象.
(4)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称,根据这种对称性,就可以利用一个函数的图象,画出另一个函数的图象.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)将函数y=3x的图象向右平移2个单位长度得到y=3x-2的图象. ( )
(2)函数y=ax(a>0,且a≠1)的最小值为0. ( )
(3)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上单调递增. ( )
(4)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)不具备奇偶性. ( )
2.函数y=3-x的图象是 ( )
3.若函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,则a的取值范围是 .
4.已知函数y=2+ax-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点,则定点的坐标为 .
5.函数f(x)=2x+3的值域为 .
题型(一) 指数函数的图象
[例1] 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是 ( )
A.aC.1听课记录:
[例2] 若b<-1,则函数y=ax+b(a>1)的图象必定不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
听课记录:
|思|维|建|模| 处理函数图象问题的策略
抓住 特殊点 指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点
巧用 图象变换 函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)
利用 函数的性质 利用函数奇偶性与单调性的图象特点判断
[针对训练]
1.函数y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是 ( )
2.(多选)函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是 ( )
题型(二) 指数函数图象的应用
[例3] 若函数f(x)=2ax+m-n(a>0,且a≠1)的图象恒过点(-1,4),则m+n等于 ( )
A.3 B.1
C.-1 D.-2
[例4] 要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为 ( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)
C.(-∞,-3] D.[-3,+∞)
听课记录:
|思|维|建|模|
与指数函数相关的图象问题的解题策略
根据函数图象特征,确定指数型函数y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的参数,可借助图象的升、降确定a的范围,利用函数图象与y轴的交点,确定c的范围,也可利用图象的平移变化确定c的范围.
[针对训练]
3.已知函数f(x)=+b,且函数图象不经过第一象限,则b的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2] D.(-∞,-2)
4.已知直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点,求实数a的取值范围.
题型(三) 指数型函数的定义域、值域
[例5] 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;(2)y=;
(3)y=.
听课记录:
|思|维|建|模|
函数y=af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域的求法:
函数y=的定义域与y=f(x)的定义域相同.
(2)值域的求法:
①换元,令t=f(x);
②求t=f(x)的定义域x∈D;
③求t=f(x)的值域t∈M;
④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.
[提醒] 求定义域时注意使函数式有意义的条件,而求值域时注意整体性.
[针对训练]
5.函数y=的值域为 .
6.求函数y=的定义域、值域.
第1课时 指数函数的图象和性质
课前预知教材
(0,+∞) (0,1) 0 1 01 01 减函数 增函数
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.B 3.(1,+∞) 4.(2,3) 5.(3,+∞)
课堂题点研究
[例1] 选B 作直线x=1,由下到上分别与指数函数②,①,④,③相交(图略),所以b[例2] 选B
y=ax+b的图象是由指数函数y=ax(a>1)向下平移|b|个单位长度得到,且b<-1.如图,故选B.
[针对训练]
1.选D 由题意知a>0且a≠1,则函数y=x+a单调递增.当01时,y=ax单调递增,直线y=x+a在y轴上的截距大于1.只有D符合.
2.选CD 当a>1时,∈(0,1),因此x=0时,01,因此x=0时,y<0,且y=ax-在R上单调递减,故D符合.故选CD.
[例3] 选C 由已知,得m-1=0,2·am-1-n=4,解得m=1,n=-2.所以m+n=-1.
[例4] 选C 由已知,得3+t≤0,解得t≤-3.
[针对训练]
3.选C 由已知,得f(0)=2+b≤0,解得b≤-2.故选C.
4.解:
画出函数y=|2x-2|的图象如图所示.要使直线y=2a与该图象有两个公共点,则有0<2a<2,即0[例5] 解:(1)由已知得x应满足x-1≠0,∴x≠1.∴定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).
∵≠0,∴≠1.
∴y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)定义域为R.
∵|x|≥0,∴y==≥=1.∴此函数的值域为[1,+∞).
(3)由题意知1-≥0,∴≤1=.∴x≥0.故定义域为[0,+∞).
∵x≥0,∴≤1.
∵>0,∴0<≤1.
∴0≤1-<1.
∴0≤y<1.∴此函数的值域为[0,1).
[针对训练]
5.解析:函数的定义域为R,x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴≤=2,又∵>0,∴函数的值域为(0,2].
答案:(0,2]
6.解:函数的定义域为R.
∵y===1-,
又∵3x>0,∴1+3x>1,
∴0<<1,∴-1<-<0,
∴0<1-<1,
∴函数的值域为(0,1).(共60张PPT)
4.2.2
指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
掌握指数函数的图象和性质，学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
项目 01
图象
定义域 R
值域 __________
指数函数的图象与性质
(0，＋∞)
(0,1)
0
1
0y>1
0y>1
减函数
增函数
续表
|微|点|助|解|
(1)当底数a大小不确定时，必须分a>1和0(2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x轴上方．
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)将函数y＝3x的图象向右平移2个单位长度得到y＝3x－2的图象. ( )
(2)函数y＝ax(a>0，且a≠1)的最小值为0. ( )
(3)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上单调递增． ( )
(4)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)不具备奇偶性． ( )
√
×
×
√
2．函数y＝3－x的图象是( )
√
3．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是___________．
解析：结合指数函数的性质可知，若y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a>1.
(1，＋∞)
4．已知函数y＝2＋ax－2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点，则定点的坐标为________．
5．函数f(x)＝2x＋3的值域为____________．
解析：因为2x>0，所以2x＋3>3，即函数f(x)＝2x＋3的值域为(3，＋∞)．
(2,3)
(3，＋∞)
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 指数函数的图象
[例1] 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．aB．bC．1D．a√
解析：作直线x＝1，由下到上分别与指数函数②，①，④，③相交(图略)，所以b[例2] 若b<－1，则函数y＝ax＋b(a>1)的图象必定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
解析：y＝ax＋b的图象是由指数函数y＝ax(a>1)向下平移|b|个单位长度得到，且b<－1.如图，故选B.
|思|维|建|模| 处理函数图象问题的策略
抓住 特殊点 指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点
巧用 图象变换 函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)
利用 函数的性质 利用函数奇偶性与单调性的图象特点判断
针对训练
1．函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )
√
解析：由题意知a>0且a≠1，则函数y＝x＋a单调递增．当01时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.只有D符合．
√
√
[例3] 若函数f(x)＝2ax＋m－n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－1,4)，则m＋n等于( )
A．3 B．1 C．－1 D．－2
解析：由已知，得m－1＝0,2·am－1－n＝4，解得m＝1，n＝－2.所以m＋n＝－1.
题型(二) 指数函数图象的应用
√
[例4] 要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞)
解析：由已知，得3＋t≤0，解得t≤－3.
√
|思|维|建|模|
与指数函数相关的图象问题的解题策略
根据函数图象特征，确定指数型函数y＝ax＋b＋c(a>0，且a≠1)中的参数，可借助图象的升、降确定a的范围，利用函数图象与y轴的交点，确定c的范围，也可利用图象的平移变化确定c的范围．
针对训练
√
3.已知函数f(x)=+b,且函数图象不经过第一象限,则b的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2] D.(-∞,-2)
4．已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
解：画出函数y＝|2x－2|的图象如图所示.要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0题型(三) 指数型函数的定义域、值域
[例5] 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
解:由已知得x应满足x-1≠0,
∴x≠1.∴定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).
∵≠0,∴≠1.
∴y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)y=;
解:定义域为R.
∵|x|≥0,∴y==≥=1.
∴此函数的值域为[1,+∞).
(3)y=.
解:由题意知1-≥0,∴≤1=.
∴x≥0.故定义域为[0,+∞).
∵x≥0,∴≤1.
∵>0,∴0<≤1.
∴0≤1-<1.∴0≤y<1.
∴此函数的值域为[0,1).
|思|维|建|模|
函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域的求法：
函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域的求法：
①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
[提醒] 求定义域时注意使函数式有意义的条件，而求值域时注意整体性．
针对训练
(0,2]
5.函数y=的值域为 .
解析:函数的定义域为R,x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴≤=2,
又∵>0,∴函数的值域为(0,2].
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1．函数y＝1－3x(y≥0)的定义域是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：因为1－3x≥0，即3x≤1，所以x≤0，即x∈(－∞，0]．
√
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2．函数y＝2x＋1的图象是( )
√
解析：当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.
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3．若函数y＝2x在区间[2，a]上的最大值比最小值大4，则a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵y＝2x在R上是增函数，∴y＝2x在[2，a]上单调递增．
∴y＝2x的最小值为4，最大值为2a.故2a－4＝4，即a＝3.
√
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√
4.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于( )
A.原点对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.直线y=-x对称
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解析:设点(x,y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点,则点(-x,y)为g(x)=π-x
=的图象上的点.因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数f(x)=
πx与g(x)=的图象关于y轴对称.
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5．函数f(x)＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0√
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解析：由于f(x)的图象单调递减，所以00，b<0.故选D.
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{x|x≠±1}
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7．函数f(x)＝2·ax－1＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点_______．
解析：令x－1＝0，得x＝1.又f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1,3)．
(1,3)
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8．若0解析：函数y＝ax的图象过点(0,1)，向下平移|b|个单位长度，因为b＜－1，所以函数f(x)＝ax＋b的图象一定不经过第一象限．
一
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9．(8分)画出函数y＝|2x－1|的函数图象，根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值．
解：函数的图象如图所示，由图象可知，函数的定义域为R；值域为[0，＋∞)；在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；有最小值为0，无最大值．
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(2)y=;
解:要使函数式有意义,
则-|x|≥0,解得x=0.
所以函数y=的定义域为{x|x=0}.
因为x=0,所以==1.
即函数y=的值域为{y|y=1}.
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(3)y=
解:定义域为R.
因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
所以≤=16.
又>0,
所以函数y=的值域为(0,16].
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B级——重点培优
11．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
√
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解析：由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知01
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13.已知实数a,b满足等式=,给出下列五个关系式:①01
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解析:作y=与y=的图象(图略).当a=b=0时,==1;当ab>0时,也可以使=.故①②⑤都可能成立,不可能成立的关系式是③④.
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15．(14分)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图所示，求a，b的值；
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(2)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．
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要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，
则m＝0或m≥3.
故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．课时跟踪检测(三十) 指数函数的图象和性质
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.函数y=1-3x(y≥0)的定义域是 ( )
A.[0,+∞) B.(-∞,0]
C.[1,+∞) D.(-∞,+∞)
2.函数y=的图象是 ( )
3.若函数y=2x在区间[2,a]上的最大值比最小值大4,则a= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于 ( )
A.原点对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.直线y=-x对称
5.函数f(x)=(a>0,且a≠1)的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ( )
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.06.函数y=的定义域为 .
7.函数f(x)=2·ax-1+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .
8.若09.(8分)画出函数y=|2x-1|的函数图象,根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值.
10.(8分)求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;(2)y=;
(3)y=.
B级——重点培优
11.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是 ( )
12.设函数f(x)=则满足f(x+1)A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,1) D.(0,1)
13.已知实数a,b满足等式=,给出下列五个关系式:①014.(12分)函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值.
15.(14分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图所示,求a,b的值;
(2)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数根,求m的取值范围.
课时跟踪检测(三十)
1.选B 因为1-3x≥0,即3x≤1,所以x≤0,即x∈(-∞,0].
2.选A 当x=0时,y=2,且函数单调递增,故选A.
3.选C ∵y=2x在R上是增函数,∴y=2x在[2,a]上单调递增.∴y=2x的最小值为4,最大值为2a.故2a-4=4,即a=3.
4.选C 设点(x,y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点,则点(-x,y)为g(x)=π-x=的图象上的点.因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于y轴对称.
5.选D 由于f(x)的图象单调递减,所以00,b<0.故选D.
6.解析:由x2-1≠0,得x≠±1.即函数y=的定义域为{x|x≠±1}.
答案:{x|x≠±1}
7.解析:令x-1=0,得x=1.又f(1)=2×1+1=3,所以f(x)的图象恒过定点(1,3).
答案:(1,3)
8.解析:函数y=ax的图象过点(0,1),向下平移|b|个单位长度,因为b<-1,所以函数f(x)=ax+b的图象一定不经过第一象限.
答案:一
9.解:函数的图象如图所示,由图象可知,函数的定义域为R;值域为[0,+∞);在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;有最小值为0,无最大值.
10.解:(1)要使函数式有意义,则1-3x≥0,即3x≤1=30.
因为函数y=3x在R上是增函数,所以x≤0.
故函数y=的定义域为(-∞,0].
因为x≤0,所以0<3x≤1.所以0≤1-3x<1.所以∈[0,1).即函数y=的值域为[0,1).
(2)要使函数式有意义,则-|x|≥0,解得x=0.
所以函数y=的定义域为{x|x=0}.
因为x=0,所以==1.即函数y=的值域为{y|y=1}.
(3)定义域为R.
因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
所以≤=16.又>0,所以函数y=的值域为(0,16].
11.选A 由函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象可知012.选C 函数f(x)=的图象如图,显然函数f(x)在R上单调递减,∵f(x+1)2x,解得x<1.
13.解析:作y=与y=的图象(图略).当a=b=0时,==1;当ab>0时,也可以使=.故①②⑤都可能成立,不可能成立的关系式是③④.
答案:2
14.解:①当00,且a≠1)在[1,2]上单调递减,
所以最大值f(x)max=f(1)=a1=a,最小值f(x)min=f(2)=a2,
所以a-a2=,解得a=或a=0(舍去);
②当a>1时,函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上单调递增,
所以最大值f(x)max=f(2)=a2,最小值f(x)min=f(1)=a1=a,
所以a2-a=,解得a=或a=0(舍去).
综上所述,a=或a=.
15.解:(1)由题图知f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),所以
又a>0,且a≠1,所以a=,b=-3.
(2)由(1)知f(x)=()x-3,则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示,
要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根,
则m=0或m≥3.
故m的取值范围为[3,+∞)∪{0}.