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2025秋北师版九上数学第一章综合评价
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是(D)
A．∠BAC＝∠DAC B．OA＝OC
C．AC⊥BD D．AC＝BD
2．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)
A．10° B．20° C．30° D．45°
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3 cm，点D为AB的中点，则CD的长是(A)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
4．下列命题是假命题的是(C)
A．四个角相等的四边形是矩形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是菱形
D．对角线垂直的平行四边形是菱形
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为(－1，1)，AB平行于x轴，则点C的坐标为(B)
A．(3，3) B．(3，5) C．(3，4) D．(4，4)
6．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为(C)
A．6 cm B．4 cm C．2 cm D．1 cm
7．如图，在菱形中ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC∶BD＝3∶4，AE⊥CD于点E，则AE的长是(B)
A．4 B． C．5 D．
8．如图，正方形ABCD的周长为28，N为BD上一点，NG⊥BC，NM⊥CD，则四边形MNGC的周长是(B)
A．7 B．14 C．18 D．24
9．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是(D)
A． B． C．1 D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为(D)
A． B．4 C．5 D．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm，3 cm，则它的面积是__3__cm2.
12．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(3，5)，则点C的坐标为__(3，－5)__．
13．如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是__22.5__度．
14．已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是__AD＝DC(答案不唯一)__．
15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为__2__．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝4 cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为____cm.
17．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为__6__．
18．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝3，∠ABC＝60°，点M为BC边上一点且BM＝2CM，过M作MN∥AB交AC，AD于点O，N，连接BN.若点P，Q分别为OC，BN的中点，则PQ的长度为____．
三、解答题(共66分)
19．(6分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F.求证：AE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵AE⊥BD，DF⊥AC，∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，∴△AOE≌△DOF(AAS)，∴AE＝DF.
20．(6分)如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH(HL)，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形．
21．(8分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD.又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC.
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABD＝∠E＝50°，∴∠BAO＝90°－∠ABD＝40°.
22．(10分)如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AB＝8，求菱形的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.又∵AB＝AC, ∴△ABC是等边三角形．∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°. ∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴AF＝AD，EC＝BC.∵四边形ABCD为菱形， ∴AD綊BC，∴AF綊EC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形；
(2)在Rt△ABE中，AE＝＝4，∴S菱形ABCD＝8×4＝32.
23．(10分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接DB交EF于点O，延长OB至G，使OG＝OD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．
解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF；
(2)四边形DEGF是菱形．理由如下：在正方形ABCD中，AB＝BC，∵AE＝CF，∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∴BD垂直平分EF，∴EO＝FO.又∵OG＝OD，DE＝DF，∴四边形DEGF是菱形．
24．(12分)如图，在△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E.
(1)求证：EO＝FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
解：(1)∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OC＝OF，∴OE＝OF；
(2)当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．即AO＝CO，EO＝FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB，同理，∠ACF＝∠ACG，∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝(∠ACB＋∠ACG)＝×180°＝90°，∴四边形AECF是矩形；
(3)当△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°时，在AC边上存在点O(为其中点)，使四边形AECF是正方形．∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵MN∥BC，∴AC⊥MN，即AC⊥EF.由(2)知，四边形AECF是矩形，∴矩形AECF是正方形．
25．(14分)操作与证明：如图①，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AF.取AF中点M，EF的中点N，连接MD，MN.
(1)连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
(2)在(1)的条件下，请判断MD，MN的数量关系和位置关系，得出结论．
结论1：DM，MN的数量关系是__相等__；
结论2：DM，MN的位置关系是__垂直__；
拓展与探究：
(3)如图②，将图①中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，∴CE＝CF，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形；
(2)相等；垂直．证明：∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF＝2DM，∵MN是△AEF的中位线，∴AE＝2MN，∵AE＝AF，∴DM＝MN；∵∠DMF＝∠DAF＋∠ADM，AM＝MD，∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，∴∠DMN＝∠BAD＝90°，∴DM⊥MN；
(3)(2)中的两个结论还成立，证明：连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN＝AE，由题意得，AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF，CE＝CF，又∵BC＋CE＝CD＋CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM＝AF，∴DM＝MN；∵△ABE≌△ADF，∴∠1＝∠2，∵AB∥DF，∴∠1＝∠3，同理可证：∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∵DM＝AM，∴∠MAD＝∠5，∴∠DGE＝∠5＋∠4＝∠MAD＋∠3＝90°，∵MN∥AE，∴∠DMN＝∠DGE＝90°，∴DM⊥MN.
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(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是(D)
A．∠BAC＝∠DAC B．OA＝OC
C．AC⊥BD D．AC＝BD
2．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)
A．10° B．20° C．30° D．45°
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3 cm，点D为AB的中点，则CD的长是(A)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
4．下列命题是假命题的是(C)
A．四个角相等的四边形是矩形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是菱形
D．对角线垂直的平行四边形是菱形
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为(－1，1)，AB平行于x轴，则点C的坐标为(B)
A．(3，3) B．(3，5) C．(3，4) D．(4，4)
6．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为(C)
A．6 cm B．4 cm C．2 cm D．1 cm
7．如图，在菱形中ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC∶BD＝3∶4，AE⊥CD于点E，则AE的长是(B)
A．4 B． C．5 D．
8．如图，正方形ABCD的周长为28，N为BD上一点，NG⊥BC，NM⊥CD，则四边形MNGC的周长是(B)
A．7 B．14 C．18 D．24
9．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是(D)
A． B． C．1 D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为(D)
A． B．4 C．5 D．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm，3 cm，则它的面积是__3__cm2.
12．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(3，5)，则点C的坐标为__(3，－5)__．
13．如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是__22.5__度．
14．已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是__AD＝DC(答案不唯一)__．
15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为__2__．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝4 cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为____cm.
17．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为__6__．
18．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝3，∠ABC＝60°，点M为BC边上一点且BM＝2CM，过M作MN∥AB交AC，AD于点O，N，连接BN.若点P，Q分别为OC，BN的中点，则PQ的长度为____．
三、解答题(共66分)
19．(6分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F.求证：AE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵AE⊥BD，DF⊥AC，∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，∴△AOE≌△DOF(AAS)，∴AE＝DF.
20．(6分)如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH(HL)，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形．
21．(8分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD.又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC.
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABD＝∠E＝50°，∴∠BAO＝90°－∠ABD＝40°.
22．(10分)如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AB＝8，求菱形的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.又∵AB＝AC, ∴△ABC是等边三角形．∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°. ∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴AF＝AD，EC＝BC.∵四边形ABCD为菱形， ∴AD綊BC，∴AF綊EC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形；
(2)在Rt△ABE中，AE＝＝4，∴S菱形ABCD＝8×4＝32.
23．(10分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接DB交EF于点O，延长OB至G，使OG＝OD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．
解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF；
(2)四边形DEGF是菱形．理由如下：在正方形ABCD中，AB＝BC，∵AE＝CF，∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∴BD垂直平分EF，∴EO＝FO.又∵OG＝OD，DE＝DF，∴四边形DEGF是菱形．
24．(12分)如图，在△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E.
(1)求证：EO＝FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
解：(1)∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OC＝OF，∴OE＝OF；
(2)当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．即AO＝CO，EO＝FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB，同理，∠ACF＝∠ACG，∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝(∠ACB＋∠ACG)＝×180°＝90°，∴四边形AECF是矩形；
(3)当△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°时，在AC边上存在点O(为其中点)，使四边形AECF是正方形．∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵MN∥BC，∴AC⊥MN，即AC⊥EF.由(2)知，四边形AECF是矩形，∴矩形AECF是正方形．
25．(14分)操作与证明：如图①，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AF.取AF中点M，EF的中点N，连接MD，MN.
(1)连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
(2)在(1)的条件下，请判断MD，MN的数量关系和位置关系，得出结论．
结论1：DM，MN的数量关系是__相等__；
结论2：DM，MN的位置关系是__垂直__；
拓展与探究：
(3)如图②，将图①中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，∴CE＝CF，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形；
(2)相等；垂直．证明：∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF＝2DM，∵MN是△AEF的中位线，∴AE＝2MN，∵AE＝AF，∴DM＝MN；∵∠DMF＝∠DAF＋∠ADM，AM＝MD，∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，∴∠DMN＝∠BAD＝90°，∴DM⊥MN；
(3)(2)中的两个结论还成立，证明：连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN＝AE，由题意得，AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF，CE＝CF，又∵BC＋CE＝CD＋CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM＝AF，∴DM＝MN；∵△ABE≌△ADF，∴∠1＝∠2，∵AB∥DF，∴∠1＝∠3，同理可证：∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∵DM＝AM，∴∠MAD＝∠5，∴∠DGE＝∠5＋∠4＝∠MAD＋∠3＝90°，∵MN∥AE，∴∠DMN＝∠DGE＝90°，∴DM⊥MN.
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