第2课时 指数函数性质的应用—— (教学方式:拓展融通课习题讲评式教学)
[课时目标]
1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.会判断指数型函数的单调性、最值问题.
2.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式.
题型(一) 比较大小
[例1] 比较下列各题中两个值的大小:
(1),;
(2)1.70.3,0.93.1;
(3),;
(4)0.20.3,0.30.2.
听课记录:
|思|维|建|模|
比较指数式大小的3种类型及处理方法
(1)底数相同,指数不同:利用指数函数的单调性来判断.
(2)底数不同,指数相同:利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断.
(3)底数不同,指数不同:通过中间量来比较.
[针对训练]
1.下列大小关系正确的是 ( )
A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43
2.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a
C.b题型(二) 简单指数不等式的解法
[例2] (1)解不等式≤2;
(2)已知<(a>0,且a≠1),求x的取值范围.
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需要进行分类讨论,即af(x)>ag(x) f(x)>g(x)(a>1)或f(x) [针对训练]
3.求满足下列条件的x的取值范围:
(1)3x-1>9x;
(2)0.2x<25;
(3)a-5x>ax+7(a>0,且a≠1).
题型(三) 指数型函数的单调性问题
[例3] 判断f(x)=的单调性,并求其值域.
听课记录:
[变式拓展]
1.把本例的函数改为“f(x)=”,求其单调区间.
2.若本例变为函数f(x)=在区间(-1,1)上单调递减,求实数m的取值范围.
|思|维|建|模|
(1)指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定:一是底数;二是f(x)的单调性,它由两个函数y=au,u=f(x)的复合而成的.
(2)求复合函数的单调区间时,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过f(u)和φ(x)的单调性求出y=f(φ(x))的单调性.
[针对训练]
4.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=.记a=f,b=f,c=f,则 ( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
5.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是 .
题型(四) 指数函数性质的综合
[例4] 已知函数f(x)=x3.
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)证明:f(x)>0.
听课记录:
|思|维|建|模|
解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.
(3)由于指数函数单调性与底数有关,因此要注意是否需要讨论.
[针对训练]
6.设a>0,函数f(x)=+是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)求f(x)在[1,3]上的值域.
第2课时 指数函数性质的应用
[例1] 解:(1)因为0<<1,所以函数y=在其定义域R上单调递减.又-1.8>-2.5,所以<.
(2)因为1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,
所以1.70.3>0.93.1.
(3)因为y=在R上是减函数,y=在R上为增函数,且-<0,所以>1,<1,所以>.
(4)因为0<0.2<0.3<1,所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在定义域R上均是减函数,且在区间(0,+∞)上函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方,所以0.20.2<0.30.2.又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数,可得0.20.3<0.20.2,所以0.20.3<0.30.2.
[针对训练]
1.选B 0.43<0.40=1=π0=30<30.4.
2.选C ∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,故1.50.6>0.60.6,又函数y=0.6x在R上是减函数,且1.5>0.6,所以0.61.5<0.60.6,故0.61.5<0.60.6<1.50.6.
[例2] 解:(1)∵2=,
∴原不等式可以转化为≤.
∵y=在R上是减函数,
∴3x-1≥-1.∴x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)①当0x+6.∴x2-4x-5>0.解得x<-1或x>5;
②当a>1时,函数f(x)=ax在R上是增函数,
∴x2-3x+1解得-15};
当a>1时,x的取值范围是{x|-1[针对训练]
3.解:(1)∵3x-1>9x,∴3x-1>32x.
又y=3x在定义域R上是增函数,
∴x-1>2x,∴x<-1.
即x的取值范围是(-∞,-1).
(2)∵0<0.2<1,∴指数函数f(x)=0.2x在R上是减函数.
又25=0.2-2,∴0.2x<25.即0.2x<0.2-2,
∴x>-2.即x的取值范围是(-2,+∞).
(3)当a>1时,∵a-5x>ax+7,∴-5x>x+7,解得x<-;当0ax+7,
∴-5x-.
综上所述,当a>1时,x的取值范围是;当0[例3] 解:令u=x2-2x,则原函数变为y=.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,又y=在(-∞,+∞)上单调递减,
∴f(x)=在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴y=,u∈[-1,+∞).
∴0<≤=3.∴原函数的值域为(0,3].
[变式拓展]
1.解:设t=-x2-x,则原函数变为y=3t.
当x∈时,t=-x2-x单调递增,y=3t单调递增,
因此f(x)=在上单调递增;
当x∈时,t=-x2-x单调递减,y=3t单调递增,因此f(x)=在上单调递减.
因此函数f(x)=的单调递增区间为,单调递减区间为.
2.解:由复合函数的同增异减性质可得,y=2x2+mx-3在(-1,1)上严格单调递增,即-≤-1,解得m≥4.所以m的取值范围是[4,+∞).
[针对训练]
4.选A 函数f(x)=是由函数y=eu和u=-(x-1)2复合而成的复合函数,y=eu为R上的增函数,u=-(x-1)2在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以c=f=f,又<2-<<1,所以fc>a,故选A.
5.解析:令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间上单调递增,在区间上单调递减.而y=2t在R上单调递增,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].
答案:(-∞,4]
[例4] 解:(1)由题意得2x-1≠0,即x≠0,
∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)由(1)知,f(x)的定义域关于原点对称.
令g(x)=+=,φ(x)=x3,
则f(x)=g(x)·φ(x).
∵g(-x)===-g(x),
φ(-x)=(-x)3=-x3=-φ(x),
∴f(-x)=g(-x)·φ(-x)=[-g(x)]·[-φ(x)]=g(x)·φ(x)=f(x).
∴f(x)=x3为偶函数.
(3)证明:当x>0时,2x>1,∴2x-1>0,
∴+>0.∵x3>0,∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称,知当x<0时,f(x)>0也成立.
故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f(x)>0.
[针对训练]
6.解:(1)由f(x)=f(-x),得+=+.即4x+=0,
所以=0.
根据题意,可得-a=0,
又a>0,所以a=1.
(2)由(1)可知f(x)=4x+,
设任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=+-=().因为0又x1+x2>0,所以>1.所以1->0.
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
所以函数f(x)在[1,3]上的最大值为
f(3)=43+=;
最小值为f(1)=4+=.
故f(x)在[1,3]上的值域为.(共66张PPT)
指数函数性质的应用
——(教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
1．进一步熟练掌握指数函数的图象、性质．会判断指数型函数的单调性、最值问题．
2．能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 比较大小
题型(二) 简单指数不等式的解法
题型(三) 指数型函数的单调性问题
4
题型(四) 指数函数性质的综合
5
课时跟踪检测
题型(一) 比较大小
01
[例1] 比较下列各题中两个值的大小:
(1),;
解:(1)因为0<<1,
所以函数y=在其定义域R上单调递减.
又-1.8>-2.5,所以<.
(2)1.70.3,0.93.1;
解:因为1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,
所以1.70.3>0.93.1.
(3),;
解:因为y=在R上是减函数,y=在R上为增函数,且-<0,
所以>1,<1,所以>.
(4)0.20.3,0.30.2.
解：因为0＜0.2＜0.3＜1，
所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2＜0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x在R上是减函数，可得0.20.3＜0.20.2，
所以0.20.3＜0.30.2.
|思|维|建|模|
比较指数式大小的3种类型及处理方法
(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断．
(2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断．
(3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较．
1．下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4<π0 B．0.43<π0<30.4
C．30.4<0.43<π0 D．π0<30.4<0.43
解析：0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4.
针对训练
√
2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b解析：∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.
√
题型(二) 简单指数不等式的解法
02
[例2] (1)解不等式≤2;
解:∵2=,
∴原不等式可以转化为≤.
∵y=在R上是减函数,
∴3x-1≥-1.
∴x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)已知<(a>0,且a≠1),求x的取值范围.
解:①当0∴x2-3x+1>x+6.
∴x2-4x-5>0.
解得x<-1或x>5;
②当a>1时，函数f(x)＝ax在R上是增函数，
∴x2－3x＋1∴x2－4x－5<0.
解得－1综上所述，当05}；
当a>1时，x的取值范围是{x|－1|思|维|建|模|
(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需要进行分类讨论，即af(x)>ag(x) f(x)>g(x)(a>1)或f(x)针对训练
3．求满足下列条件的x的取值范围：
(1)3x－1>9x；
解：∵3x－1>9x，∴3x－1>32x.
又y＝3x在定义域R上是增函数，
∴x－1>2x，∴x<－1.
即x的取值范围是(－∞，－1)．
(2)0.2x<25；
解： ∵0<0.2<1，∴指数函数f(x)＝0.2x在R上是减函数．
又25＝0.2－2，∴0.2x<25.
即0.2x<0.2－2，
∴x>－2.
即x的取值范围是(－2，＋∞)．
(3)a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)．
解：当a>1时,∵a-5x>ax+7,
∴-5x>x+7,
解得x<-;
当0ax+7,
∴-5x-.
综上所述,当a>1时,x的取值范围是;当0题型(三) 指数型函数的
单调性问题
03
[例3] 判断f(x)=的单调性,并求其值域.
解:令u=x2-2x,则原函数变为y=.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
又y=在(-∞,+∞)上单调递减,
∴f(x)=在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴y=,u∈[-1,+∞).
∴0<≤=3.
∴原函数的值域为(0,3].
2.若本例变为函数f(x)=在区间(-1,1)上单调递减,求实数m的取值范围.
解：由复合函数的同增异减性质可得，y＝2x2＋mx－3在(－1,1)上严格单调递增，
|思|维|建|模|
(1)指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定：一是底数；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)的复合而成的．
(2)求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性求出y＝f(φ(x))的单调性．
针对训练
√
4.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=.记a=f,b=f,c=f,则( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
解析:函数f(x)=是由函数y=eu和u=-(x-1)2复合而成的复合函数,y=eu为R上的增函数,u=-(x-1)2在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以c=f=f,又<2-<<1,所以f所以b>c>a,故选A.
5．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是___________．
(－∞，4]
题型(四) 指数函数性质的综合
04
解：由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)讨论f(x)的奇偶性；
解：由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称．
φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，
∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)
＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)．
(3)证明：f(x)>0.
|思|维|建|模|
解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．
针对训练
(2)求f(x)在[1,3]上的值域．
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
课时跟踪检测
05
1
3
4
5
6
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12
13
14
15
2
√
A级——达标评价
1.设a=,b=,c= ,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
解析:因为函数y=是减函数,所以c>b;又函数y=在(0,+∞)上单调递增,故a>c.故选A.
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2
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√
2.函数y=的单调递增区间为( )
A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
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解析:定义域为R.设u=1-x,y=.
因为u=1-x在(-∞,+∞)上为减函数,
y=在(-∞,+∞)上为减函数,所以y=在(-∞,+∞)上是增函数,故选A.
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√
3．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2,0)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
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2
√
4.不等式>3-2x的解集是( )
A.{x|-2C.{x|x<4} D.{x|x>-2}
解析:由>3-2x,得>3-2x,∴8-x2>-2x.即x2-2x-8<0,
解得-23-2x的解集是{x|-21
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2
√
5．已知x，y∈R，且2－x＋3－y>2y＋3x，则下列各式正确的是( )
A．x－y>0 B．x＋y<0
C．x－y<0 D．x＋y>0
解析：将不等式变形为2－x－3x>2y－3－y，令F(x)＝2－x－3x，则F(x)为减函数．又F(x)>F(－y)，∴x<－y.∴x＋y<0.故选B.
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[4，＋∞)
解析：由题意得2x－1－8≥0，即2x－1≥8＝23，∴x－1≥3.解得x≥4.
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2
7．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
解析：设g(x)＝a·2x－2－x.因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝0，解得a＝1.
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(－∞，1]
8.已知函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间是 .
解析:法一 由指数函数的性质可知y=在定义域上为减函数,故要求f(x)的单调递增区间,只需求y=|x-1|的单调递减区间.又y=|x-1|的单调递减区间为(-∞,1],所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1].
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法二 f(x)==可画出f(x)的图象(图略),得其单调递增区间为(-∞,1].
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9.(8分)设函数f(x)=,a是不为零的常数.
(1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x的取值范围;
解:由f(3)=得a=3.则不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22,解得x≥4.故x的取值范围是[4,+∞).
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2
(2)当x∈[－1,2]时，f(x)的最大值是16，求a的值．
解：当a＞0时，f(x)＝2ax－10是增函数，
则22a－10＝16，所以a＝7.
当a＜0时，f(x)＝2ax－10是减函数，
则2－a－10＝16，所以a＝－14.
综上，a＝－14或a＝7.
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10．(9分)已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6中x∈[0,3]．
(1)求函数f(x)的最大值和最小值；
解：由已知，得f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3)．
令t＝2x，因为0≤x≤3，所以1≤t≤8.
令h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8)．
当t∈[1,2]时，h(t)单调递减；当t∈(2,8]时，h(t)单调递增．
所以f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26.
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(2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围．
解：因为f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立，
所以a≤f(x)min恒成立．
由(1)知f(x)min＝－10，所以a≤－10.
故a的取值范围为(－∞，－10]．
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B级——重点培优
11．已知函数f(x)＝e－|x|，则使得f(2a)√
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√
√
12.(多选)以下关于数的大小的结论正确的是 ( )
A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2
C.1.70.3<0.93.1 D.>
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解析: =1.7x单调递增,2.5<3,∴1.72.5<1.73,A正确;y=0.8x单调递减,-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2,B正确;
又1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1,C错误;
==,==,∵<,∴<,D错误.
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{x|x＞1}
13.若函数f(x)=在(1,3)上单调递增,则关于x的不等式ax-1>1的解集为 .
解析:因为y=2x2-3x+1的对称轴是x=,开口向上,所以函数在(1,3)上单调递增.而f(x)在(1,3)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,得a>1,则ax-1>1=a0,故x-1>0,解得x>1.
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14.(12分)已知函数f(x)=2-x.
(1)求f(0)-××2-2的值;
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(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)，g(x)满足下列条件：
①h(x)为偶函数；②h(x)≥2且 x∈R使得h(x)＝2；③g(x)>0且g(x)恒过定点(0,1)．
写出一个符合题意的函数g(x)，并说明理由．
解：满足题意的函数g(x)＝2x.证明如下：
①因为h(x)＝2x＋2－x，
所以h(－x)＝2－x＋2－(－x)＝2－x＋2x＝h(x)，
所以h(x)＝2x＋2－x为偶函数．
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(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明；
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(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)>0恒成立，求实数k的取值范围．
解：因为不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)>0对任意的t∈R恒成立，
所以f(2t2－k)>－f(t2－2t)＝f(2t－t2)对任意的t∈R恒成立，
因为函数f(x)为R上的奇函数，且为增函数，则2t2－k>2t－t2，课时跟踪检测(三十一) 指数函数性质的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.设a=,b=,c= ,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
2.函数y=的单调递增区间为 ( )
A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
3.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
4.不等式>3-2x的解集是 ( )
A.{x|-2C.{x|x<4} D.{x|x>-2}
5.已知x,y∈R,且2-x+3-y>2y+3x,则下列各式正确的是 ( )
A.x-y>0 B.x+y<0
C.x-y<0 D.x+y>0
6.函数y=的定义域是 .
7.已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
8.已知函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间是 .
9.(8分)设函数f(x)=,a是不为零的常数.
(1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x的取值范围;
(2)当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值是16,求a的值.
10.(9分)已知函数f(x)=4x-2·-6中x∈[0,3].
(1)求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)若实数a满足f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范围.
B级——重点培优
11.已知函数f(x)=e-|x|,则使得f(2a)A. B.
C.(0,1) D.
12.(多选)以下关于数的大小的结论正确的是 ( )
A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2
C.1.70.3<0.93.1 D.>
13.若函数f(x)=在(1,3)上单调递增,则关于x的不等式ax-1>1的解集为 .
14.(12分)已知函数f(x)=2-x.
(1)求f(0)-××2-2的值;
(2)若函数h(x)=f(x)+g(x),且h(x),g(x)满足下列条件:
①h(x)为偶函数;②h(x)≥2且 x∈R使得h(x)=2;③g(x)>0且g(x)恒过定点(0,1).
写出一个符合题意的函数g(x),并说明理由.
15.(13分)已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并加以证明;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
课时跟踪检测(三十一)
1.选A 因为函数y=是减函数,所以c>b;又函数y=在(0,+∞)上单调递增,故a>c.故选A.
2.选A 定义域为R.设u=1-x,y=.因为u=1-x在(-∞,+∞)上为减函数,y=在(-∞,+∞)上为减函数,所以y=在(-∞,+∞)上是增函数,故选A.
3.选D 由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以x=≥1,解得a≥2.故选D.
4.选A 由>3-2x,得>3-2x,∴8-x2>-2x.即x2-2x-8<0,解得-23-2x的解集是{x|-25.选B 将不等式变形为2-x-3x>2y-3-y,令F(x)=2-x-3x,则F(x)为减函数.又F(x)>F(-y),∴x<-y.∴x+y<0.故选B.
6.解析:由题意得-8≥0,即≥8=23,∴x-1≥3.解得x≥4.
答案:[4,+∞)
7.解析:设g(x)=a·2x-2-x.因为f(x)为偶函数,所以g(x)是奇函数,所以g(0)=0,解得a=1.
答案:1
8.解析:法一 由指数函数的性质可知y=在定义域上为减函数,故要求f(x)的单调递增区间,只需求y=|x-1|的单调递减区间.又y=|x-1|的单调递减区间为(-∞,1],所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1].
法二 f(x)==可画出f(x)的图象(图略),得其单调递增区间为(-∞,1].
答案:(-∞,1]
9.解:(1)由f(3)=得a=3.则不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22,解得x≥4.故x的取值范围是[4,+∞).
(2)当a>0时,f(x)=2ax-10是增函数,
则22a-10=16,所以a=7.
当a<0时,f(x)=2ax-10是减函数,
则2-a-10=16,所以a=-14.
综上,a=-14或a=7.
10.解:(1)由已知,得f(x)=(2x)2-4·2x-6(0≤x≤3).
令t=2x,因为0≤x≤3,所以1≤t≤8.
令h(t)=t2-4t-6=(t-2)2-10(1≤t≤8).
当t∈[1,2]时,h(t)单调递减;当t∈(2,8]时,h(t)单调递增.所以f(x)min=h(2)=-10,f(x)max=h(8)=26.
(2)因为f(x)-a≥0恒成立,即a≤f(x)恒成立,所以a≤f(x)min恒成立.
由(1)知f(x)min=-10,所以a≤-10.
故a的取值范围为(-∞,-10].
11.选A 由题意可知f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-|-x|=e-|x|=f(x),所以f(x)为偶函数.当x>0时,f(x)=,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(x)>0.所以不等式f(2a)|a-1|,解得a<-1或a>,又a>0,所以a>,即正实数a的取值范围是.
12.选AB y=1.7x单调递增,2.5<3,∴1.72.5<1.73,A正确;y=0.8x单调递减,-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2,B正确;又1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,
∴1.70.3>0.93.1,C错误;==,==,∵<,∴<,D错误.
13.解析:因为y=2x2-3x+1的对称轴是x=,开口向上,所以函数在(1,3)上单调递增.而f(x)在(1,3)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,得a>1,则ax-1>1=a0,故x-1>0,解得x>1.
答案:{x|x>1}
14.解:(1)由题意知f(0)-××2-2=20-××2-2=1-=1-20=0.
(2)满足题意的函数g(x)=2x.证明如下:
①因为h(x)=2x+2-x,
所以h(-x)=2-x+2-(-x)=2-x+2x=h(x),
所以h(x)=2x+2-x为偶函数.
②h(x)=2x+2-x≥2=2=2=2,
当且仅当2x=2-x,即x=0时等号成立.
③g(x)=2x>0,g(x)恒过定点(0,1).
15.解:(1)对任意的x∈R,3x+1>0,则函数f(x)的定义域为R,
则f(0)==0,解得a=-1,此时,f(x)=,所以f(-x)====-f(x),所以当a=-1时,函数f(x)=为奇函数.
(2)由(1)知,f(x)===1-,
则函数f(x)在定义域R上单调递增,证明如下:
设任意的x1因为x1>0,则-<0,又+1>0,+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)因为不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0对任意的t∈R恒成立,
所以f(2t2-k)>-f(t2-2t)=f(2t-t2)对任意的t∈R恒成立,
因为函数f(x)为R上的奇函数,且为增函数,则2t2-k>2t-t2,
则3t2-2t-k>0对任意的t∈R恒成立,所以Δ=4+12k<0,解得k<-.
因此,实数k的取值范围是.