4.3.1 对数的概念——（教学方式：基本概念课——逐点理清式教学）
[课时目标]
要准确把握对数的定义,以及ab=N(a>0,且a≠1) logaN=b的等价关系,学会将对数与幂进行相互转化.会进行对数式与指数式的互化,会求简单的对数值.
逐点清(一) 对数的概念
[多维理解]
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x= ,其中a叫做对数的 ,N叫做 .
2.常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 以10为底的对数叫做常用对数
自然对数 以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数
[微点练明]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)对数log39和log93的意义一样. ( )
(2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3. ( )
(3)对数运算的实质是求幂指数. ( )
(4)若ln N=2,则N=2e. ( )
2.lg 7与ln 8的底数分别是 ( )
A.10,10 B.e,e
C.10,e D.e,10
3.已知b=c,则有 ( )
A.a2b=c B.=b
C.bc=2a D.=b
4.在M=lo(x+1)中,要使式子有意义,x的取值范围为 ( )
A.(-∞,3] B.(3,4)∪(4,+∞)
C.(4,+∞) D.(3,4)
逐点清(二) 对数与指数的关系
[多维理解]
1.对数与指数的关系
当a>0,a≠1时,ax=N x= .
2.对数与指数的关系示意图
[微点练明]
1.已知loga9=-2,则a的值为 ( )
A.-3 B.-
C.3 D.
2.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 ( )
A.100=1与lg 1=0
B.2=与log27=-3
C.log39=2与32=9
D.log55=1与51=5
3.求下列各式中x的值.
(1)log3x=-3;(2)logx49=4;
(3)lg 0.000 01=x;(4)ln=-x.
逐点清(三) 对数性质的应用
[多维理解]
对数的性质
(1)loga1= (a>0,且a≠1);
(2)logaa= (a>0,且a≠1);
(3)零和负数 ;
(4)= .
|微|点|助|解|
1.利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解.
2.对数恒等式的作用
(1)化简求值,如=x+2(a>0,且a≠1,x>-2).
(2)将有关数值转化成幂的形式,如3=.
[微点练明]
1.已知log3(log2x)=0,那么x= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.设=25,则x的值等于 ( )
A.10 B.13
C.100 D.±1 001
3.已知logx27=,则x= .
4.计算:3log22+2log31-3log77+3ln 1= .
5.已知2log2x=log7y,且x=14,则xy的值为 .
4.3.1 对数的概念
[多维理解] 1.logaN 底数 真数
2.lg N ln N
[微点练明]
1.(1)× (2)× (3)√ (4)× 2.C
3.选B 由题意得(a2)c=b,即=b.
4.选B 由对数的概念可得
解得34.
[多维理解] 1.logaN
[微点练明]
1.选D ∵loga9=-2,a>0,且a≠1,
∴a-2=9.解得a=.故选D.
2.选ACD 指数式100=1化为对数式为lg 1=0,A正确;指数式2=化为对数式为log27=-,B不正确;对数式log39=2化为指数式为32=9,C正确;对数式log55=1化为指数式为51=5,D正确.
3.解:(1)由题意得x=3-3=.
(2)由x4=49,x>0且x≠1,得x=.
(3)由10x=0.000 01=10-5,得x=-5.
(4)由e-x==,得x=-.
[多维理解] (1)0 (2)1 (3)没有对数 (4)N(a>0,且a≠1,N>0)
[微点练明]
1.选B 因为log3(log2x)=0,
所以log2x=1.则x=2.
2.选B 由对数的性质,得=2x-1=25.所以x=13.
3.解析:logx27==3×=3×2=6.所以x6=27,所以x6=33,又x>0,所以x=.
答案:
4.解析:原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0.
答案:0
5.解析:由对数的性质,得log2x2=log7y,令z=log2x2=log7y,则x2=2z,y=7z.因为x=14,所以x2y=196,即2z·7z=(2×7)z=14z=196,解得z=2.所以x=2,y=49,从而xy=98.
答案:98(共43张PPT)
4.3.1
对数的概念
—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
要准确把握对数的定义，以及ab＝N(a>0，且a≠1) logaN＝b的等价关系，学会将对数与幂进行相互转化．会进行对数式与指数式的互化，会求简单的对数值．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 对数的概念
逐点清(二) 对数与指数的关系
逐点清(三) 对数性质的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 对数的概念
01
多维理解
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝______，其中a叫做对数的______ ，N叫做______ ．
logaN
底数
真数
2．常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 ______
自然对数 以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数 ______
lg N
ln N
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数log39和log93的意义一样． ( )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3. ( )
(3)对数运算的实质是求幂指数． ( )
(4)若ln N＝2，则N＝2e. ( )
微点练明
×
×
√
×
2．lg 7与ln 8的底数分别是( )
A．10,10 B．e，e
C．10，e D．e,10
3．已知loga2b＝c，则有( )
A．a2b＝c B．a2c＝b
C．bc＝2a D．c2a＝b
解析：由题意得(a2)c＝b，即a2c＝b.
√
√
√
4．在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( )
A．(－∞，3] B．(3,4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(3,4)
逐点清(二) 对数与指数的关系
02
多维理解
1．对数与指数的关系
当a>0，a≠1时，ax＝N x＝_______.
2．对数与指数的关系示意图
logaN
微点练明
√
√
2.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 ( )
A.100=1与lg 1=0 B.2=与log27=-3
C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5
解析:指数式100=1化为对数式为lg 1=0,A正确;指数式2=化为对数式为log27=-,B不正确;对数式log39=2化为指数式为32=9,C正确;对数式log55=1化为指数式为51=5,D正确.
√
√
3．求下列各式中x的值．
(1)log3x＝－3；
(2)logx49＝4；
(3)lg 0.000 01＝x；
解：由10x＝0.000 01＝10－5，得x＝－5.
逐点清(三) 对数性质的应用
03
多维理解
对数的性质
(1)loga1＝____ (a>0，且a≠1)；
(2)logaa＝ ____(a>0，且a≠1)；
(3)零和负数__________ ；
0
1
没有对数
N(a＞0，且a≠1，N＞0)
|微|点|助|解|
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2.对数恒等式的作用
(1)化简求值,如=x+2(a>0,且a≠1,x>-2).
(2)将有关数值转化成幂的形式,如3=.
微点练明
1．已知log3(log2x)＝0，那么x＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：因为log3(log2x)＝0，所以log2x＝1.则x＝2.
2.设=25,则x的值等于( )
A.10 B.13
C.100 D.±1 001
解析:由对数的性质,得=2x-1=25.所以x=13.
√
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3.已知logx27=,则x= .
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课时跟踪检测
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1．(多选)下列说法正确的是( )
A．只有正数有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以5为底25的对数等于2
解析：B错误，如(－2)2＝4就不能化成对数式，D错误，对数式的真数a应大于0.
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4.(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 ( )
A.e0=1与ln 1=0
B.=与log8=-
C.log39=2与=3
D.log77=1与71=7
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解析:e0=1 ln 1=0,故A正确;= log8=-,故B正确;log39=2 32=9,=3 log93=,故C不正确;log77=1 71=7,故D正确.
5．(多选)下列等式正确的有( )
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若lg x＝10，则x＝10
D．若ln x＝e，则x＝e2
解析：lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；若lg x＝10，则x＝1010，故C错误；若ln x＝e，则x＝ee，故D错误．
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7.若a>0,=,则a等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:因为=,a>0,所以a==.设a=x,所以=a.所以x=3.
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8．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1 B．0 C．x D．y
解析：由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1.∴logxyx＝log2(12)＝0.
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10．若log(x＋1)(2x2＋1)＝2，则x＝______.
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11．若a＝log23，则2a＋2－a＝________.
解析：∵a＝log23，∴2a＝2log23＝3.
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2课时跟踪检测(三十二) 对数的概念
(满分90分,选填小题每题5分)
1.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.只有正数有对数
B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以5为底25的对数等于2
D.=-5成立
2.方程=的解是 ( )
A. B.
C. D.9
3.若log2[log0.5(log2x)]=0,则x的值是 ( )
A. B.2
C. D.1
4.(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 ( )
A.e0=1与ln 1=0
B.=与log8=-
C.log39=2与=3
D.log77=1与71=7
5.(多选)下列等式正确的有 ( )
A.lg(lg 10)=0
B.lg(ln e)=0
C.若lg x=10,则x=10
D.若ln x=e,则x=e2
6.使式子log(2x-1)有意义的x的取值范围是 ( )
A.(2,+∞) B.
C.(-∞,2) D.∪(1,2)
7.若a>0,=,则a等于 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
8.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(yx)的值是 ( )
A.1 B.0
C.x D.y
9.声强是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度,用I表示.由于声强I的变化范围非常大,为方便起见,引入声强级的概念,规定声强级L=lg,其中I0=10-12 W/m2,称为基准声强,声强级的单位是Bel, Bel又称为1 dB,生活在30 dB左右的安静环境有利于人的睡眠,而长期生活在90 dB以上的噪音环境中会严重影响人的健康,根据所给信息,可得90 dB声强级的声强是30 dB声强级的声强的 ( )
A.3倍 B.103倍
C.106倍 D.10500倍
10.若lo(2x2+1)=2,则x= .
11.若a=log23,则2a+2-a= .
12.已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则的值为 .
13.(10分)已知logax=4,logay=5(a>0,且a≠1),求A=的值.
14.(10分)已知logab=logba(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).
求证:a=b或a=.
15.(10分)若log2[lo(log2x)]=log3[lo(log3y)]=log5[lo(log5z)]=0,试确定x,y,z的大小关系.
课时跟踪检测(三十二)
1.选AC B错误,如(-2)2=4就不能化成对数式,D错误,对数式的真数a应大于0.
2.选A ∵==2-2,∴log3x=-2.∴x=3-2=.
3.选A 因为log2[log0.5(log2x)]=0,所以log0.5(log2x)=1.所以log2x=0.5.所以x=.
4.选ABD e0=1 ln 1=0,故A正确;= log8=-,故B正确;log39=2 32=9,=3 log93=,故C不正确;log77=1 71=7,故D正确.
5.选AB lg(lg 10)=lg 1=0,故A正确;lg(ln e)=lg 1=0,故B正确;若lg x=10,则x=1010,故C错误;若ln x=e,则x=ee,故D错误.
6.选D 要使式子log(2x-1)有意义,则即解得7.选B 因为=,a>0,所以a==.设a=x,所以=a.所以x=3.
8.选B 由x2+y2-4x-2y+5=0,则(x-2)2+(y-1)2=0,∴x=2,y=1.∴logxyx=log2(12)=0.
9.选C 设90 dB和30 dB声强级的声强分别是I1,I2,由题意,得90=10lg,30=10lg.则I1=I0·109,I2=I0·103,所以==106.
10.解析:依题意得
解得x=2.
答案:2
11.解析:∵a=log23,∴2a==3.
∴2a+2-a=2a+=3+=.
答案:
12.解析:由log3(log5a)=0得log5a=1,即a=5.同理b=5,故=1.
答案:1
13.解:由logax=4,得x=a4;
由logay=5,得y=a5.
所以A=
=·
=·(·y-2=·
=(a4·(a5==1.
14.证明:设logab=logba=k,
则b=ak,a=bk,所以b=(bk)k=.
因为b>0,且b≠1,所以k2=1,
即k=±1.当k=-1时,a=;
当k=1时,a=b.
所以a=b或a=,命题得证.
15.解:由log3[lo(log3y)]=0,
得lo(log3y)=1,log3y=,
y==(310.
由log2[lo(log2x)]=0,得lo(log2x)=1,log2x=,x==(215.
由log5[lo(log5z)]=0,得lo(log5z)=1,log5z=,z==(56,
∵310>215>56,∴y>x>z.
