4.3.2 对数的运算—— (教学方式:深化学习课梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.理解对数的运算性质,能熟练运用对数的运算性质化简求值.
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
(一)对数的运算性质
1.对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么,
(1)loga(MN)= ;
(2)loga= ;
(3)logaMn= (n∈R).
|微|点|助|解|
(1)对数运算性质的语言表达:“积的对数=对数的和”,“商的对数=对数的差”.
(2)对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.
2.对数运算中的常用结论
已知a>0,且a≠1.
(1)loga=logaM-1=-logaM(M>0);
(2)loga=loga=logaM(M>0,n,p∈N*,p,n>1);
(3)推广:logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N*,N1,N2,…,Nk均大于0).
(二)换底公式
1.对数换底公式
logab= (a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
2.推论
(1)logab·logba=1(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).
(2)logab·logbc·logca=1(a>0,b>0,c>0,且a,b,c≠1).
(3)恒等式:loMn=logaM(n∈R,m≠0).
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)loga[(-2)×(-3)]=loga(-2)+loga(-3). ( )
(2)logaM·logaN=loga(M+N). ( )
(3)loga(M+N)=logaM+logaN. ( )
(4)loga=. ( )
2.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg 的值为 ( )
A.a-b2 B.a-2b
C. D.
3.计算log92×log43= ( )
A.4 B.2 C. D.
4.若lg 3=a,lg 2=b,用a,b表示log43= .
题型(一) 对数运算性质的应用
[例1] 计算下列各式的值:
(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;
(2);
(3)log535-2log5+log57-log51.8.
听课记录:
|思|维|建|模| 对数式化简或求值的常用方法
(1)对于同底数的对数式,化简的常用方法是:
①“收”,即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数式转化为一个对数式;
②“拆”,即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).
(2)对常用对数的化简要创设情境,充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题.
(3)对含有多重对数符号的对数,应从内向外逐层化简.
(4)当真数是形如“±”的式子时,常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”.
[针对训练]
1.计算:
(1)2(lg )2+lg ×lg 5+;
(2)log535+2lo-log5-log514.
(3)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2.
题型(二) 对数换底公式的应用
[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.
听课记录:
[变式拓展]
1.本例条件不变,试用a,b表示log2898.
2.若把本例中条件“2b=3”换为3b=2,其他条件不变,则结论又如何呢
|思|维|建|模|
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
[针对训练]
2.已知log37=a,log74=b,用a,b表示log427.
3.求值:
(1)log23×log35×log516;
(2)(log32+log92)(log43+log83).
题型(三) 对数运算性质的综合应用
[例3] (1)设3a=4b=36,求+的值;
(2)已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
[针对训练]
4.已知a>b>1,且logab+logba=,ab=ba,求a的值.
题型(四) 实际问题中的对数运算
[例4] 某化工厂生产一种溶液,按市场需求,杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,要使产品达到市场要求,则至少应过滤的次数为(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
听课记录:
|思|维|建|模|
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中,先将题目中数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算.
[针对训练]
5.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev=(e为自然对数的底数,ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度.
4.3.2 对数的运算
课前预知教材
(一)1.(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)nlogaM
(二)1.
[基础落实训练] 1.(1)× (2)× (3)×
(4)× 2.B 3.D 4.
课堂题点研究
[例1] 解:(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2
=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2
=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2
=(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2
=lg 5+lg 2=1.
(2)原式=
==.
(3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2log55=2.
[针对训练]
1.解:(1)原式=lg ×(2lg +lg 5)+=lg ×(lg 2+lg 5)+(1-lg )=lg +1-lg =1.
(2)原式=log5+2lo=log553-1=3-1=2.
(3)法一 原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.
法二 原式=2lg 5+2lg 2+(1-lg 2)(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+1-(lg 2)2+(lg 2)2=2+1=3.
[例2] 解:因为2b=3,所以b=log23,
即log32=.
所以log1456==
===.
[变式拓展]
1.解:log2898=====.
2.解:因为3b=2,所以b=log32.又a=log37,
所以log1456===.
[针对训练]
2.解:由log37=a,log74=b,可得ab=log37×log74=log34=2log32.则log427===
=.
3.解:(1)原式=××===4.
(2)原式=
=
=×=.
[例3] 解:(1)法一 由3a=4b=36,
得a=log336,b=log436,
由换底公式得=log363,=log364,
∴+=2log363+log364=log3636=1.
法二 由3a=4b=36,两边取以6为底数的对数,得alog63=blog64=log636=2,
∴=log63,=log64=log62,
∴+=log63+log62=log66=1.
(2)令2x=3y=5z=k(k>0),
∴x=log2k,y=log3k,z=log5k,
∴=logk2,=logk3,=logk5,
由++=1,得logk2+logk3+logk5=logk30=1,∴k=30,
∴x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.
[针对训练]
4.解:∵a>b>1,且logab+logba=,即+logba=,∴设logba=t,则t>1.∴t+=,解得t=2或t=(舍去),即logba=2.
∴a=b2.∵ab=ba,∴(b2)b=b2b=,
∴2b=b2,解得b=2或b=0(舍去),∴a=4.
[例4] 选C 设至少需要过滤n次,则0.02×=0.001,即=.
所以nlg=lg,即n(lg 2-lg 3)=-lg 20,即n==≈7.4.又n∈N,所以n≥8.所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求.
[针对训练]
5.解:因为v=ln
=2 000ln,且M=2m,
所以v=2 000×ln 3≈2 000×1.099=2 198(m/s).
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时,火箭的最大速度约为2 198 m/s.(共65张PPT)
4.3.2
对数的运算
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1．理解对数的运算性质，能熟练运用对数的运算性质化简求值．
2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)对数的运算性质
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么，
(1)loga(MN)＝______________；
(3)logaMn＝ ________(n∈R)．
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
|微|点|助|解|
(1)对数运算性质的语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”．
(2)对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．
2.对数运算中的常用结论
已知a>0,且a≠1.
(1)loga=logaM-1=-logaM(M>0);
(2)loga=loga=logaM(M>0,n,p∈N*,p,n>1);
(3)推广:logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)
(k∈N*,N1,N2,…,Nk均大于0).
(二)换底公式
1．对数换底公式
基础落实训练
×
×
×
×
√
√
4．若lg 3＝a，lg 2＝b，用a，b表示log43＝________.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 对数运算性质的应用
[例1] 计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
解：原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
|思|维|建|模|
对数式化简或求值的常用方法
(1)对于同底数的对数式，化简的常用方法是：
①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；
②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差)．
(2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．
(3)对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简．
针对训练
(2)log535+2lo-log5-log514.
解:(原式=log5+2lo=log553-1
=3-1=2.
解：法一 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
法二 原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.
题型(二) 对数换底公式的应用
[例2] 已知log37＝a,2b＝3，试用a，b表示log1456.
[变式拓展]
1．本例条件不变，试用a，b表示log2898.
2．若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他条件不变，则结论又如何呢？
|思|维|建|模|
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
针对训练
2．已知log37＝a，log74＝b，用a，b表示log427.
解：由log37＝a，log74＝b，可得ab＝log37×log74＝log34＝2log32.
3．求值：
(1)log23×log35×log516；
题型(三) 对数运算性质的综合应用
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
|思|维|建|模|
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
针对训练
即logba＝2.
∴a＝b2.
∵ab＝ba，∴(b2)b＝b2b＝bb2，
∴2b＝b2，解得b＝2或b＝0(舍去)，∴a＝4.
题型(四) 实际问题中的对数运算
√
解析:设至少需要过滤n次,
则0.02×=0.001,即=.
所以nlg=lg,即n(lg 2-lg 3)=-lg 20,
即n==≈7.4.
又n∈N,所以n≥8.
所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求.
|思|维|建|模|
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
针对训练
5.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev=
(e为自然对数的底数,ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度.
解:因为v=ln
=2 000ln,且M=2m,
所以v=2 000×ln 3≈2 000×1.099=2 198(m/s).
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时,火箭的最大速度约为2 198 m/s.
课时跟踪检测
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解析：根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知③与⑤正确．
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6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于______．
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8．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数，直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N b＝logaN，现在已知a＝log48，b＝log24，则4a＝________，a＋b＝________.
(用最简结果作答)
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x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 …
ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 …
A．1.334 B．1.244 C．2.747 D．3.733
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14．计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)＝________.
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解：因为log425＝log25，所以A＝{log52，log25,2}，B＝{log25，－2}，即A∩B＝{log25}．因为log521
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解：证明：设x1，x2为[2，＋∞)上任意两个实数，且2≤x11，
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2课时跟踪检测(三十三) 对数的运算
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若a>0,a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式:
=nlogax;=logaxn;③logax=-loga;④ =logax;⑤=loga.其中正确的有 ( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.计算lg 2-lg-eln 2等于 ( )
A.-1 B.
C.3 D.-5
3.化简得log832的值为 ( )
A. B.2
C.4 D.
4.已知10x=3,10y=5,则用x,y表示lg为 ( )
A. B.
C.2x+y-1 D.2x-y+1
5.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48) ( )
A.1033 B.1053
C.1073 D.1093
6.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,则ab的值等于 .
7.已知m>0,且10x=lg(10m)+lg,则x= .
8.十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数,直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=N b=logaN,现在已知a=log48,b=log24,则4a= ,a+b= .(用最简结果作答)
9.(8分)计算下列各式的值:
(1)log3+lg 25+lg 4+;
(2)2log32-log3+log38-.
10.(10分)设xa=yb=zc,且+=,求证:z=xy.
B级——重点培优
11.17世纪初,苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,在此基础上,布里格斯制作了第一个常用对数表,在科学技术中,还常使用以无理数e为底数的自然对数,其中e=2.718 28…,对数是简化运算的有效工具,依据下表数据,计算ln的结果约为 ( )
x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 …
ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 …
A.1.334 B.1.244
C.2.747 D.3.733
12.(多选)若实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的有 ( )
A.+=1 B.+=lg 20
C.+=2 D.+=
13.已知2lg(x-2y)=lg x+lg y,则的值为 ( )
A.1 B.4
C.1或4 D.或4
14.计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)= .
15.(18分)已知集合A={log52,log425,2},集合B=.记集合A中最小元素为a,集合B中最大元素为b.
(1)求A∩B及a,b的值;
(2)证明:函数f(x)=x+在[2,+∞)上单调递增;并用上述结论比较a+b与的大小.
课时跟踪检测(三十三)
1.选A 根据对数的运算性质logaMn=nlogaM(M>0,a>0,且a≠1)知③与⑤正确.
2.选A 原式=lg-2=-1.
3.选D log832===.
4.选C 因为10x=3 x=lg 3,10y=5 y=lg 5,所以lg=lg 9-lg 2=2lg 3-(1-lg 5)=2lg 3+lg 5-1=2x+y-1.
5.选D 由已知得,lg=lg M-lg N=361×lg 3-80×lg 10≈361×0.48-80=93.28=lg 1093.28.故与最接近的是1093.
6.解析:∵lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,∴lg a+lg b=-=2.∴ab=100.
答案:100
7.解析:lg(10m)+lg=lg 10+lg m+lg=1,所以10x=1=100,所以x=0.
答案:0
8.解析:已知a=log48,b=log24,所以4a==8,a+b=+2=+2=.
答案:8
9.解:(1)原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=.
(2)原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7.
10.证明:设xa=yb=zc=k,k>0,且k≠1,则a=logxk,b=logyk,c=logzk.因为+=,所以+=,即logkx+logky=logkz.所以logk(xy)=logkz,即z=xy.
11.选A ln=ln(31.9×1.312)=[ln(31.9)+ln(1.312)]=(ln 3.19+ln 2+ln 5+2ln 1.31)=4.002 5÷3≈1.334.
12.选AB 由已知,得a=log210,b=log510,+=+=lg 2+lg 5=1,故A正确;+=+=lg 4+lg 5=lg 20,故B正确;+=+=lg 2+lg 25=lg 50,故C、D不正确.
13.选B 由对数的运算性质可得,lg(x-2y)2=lg(xy),所以(x-2y)2=xy.即x2-5xy+4y2=0,所以(x-y)(x-4y)=0.所以=1或=4.又x-2y>0,x>0,y>0,所以>2.所以=4.
14.解析:法一 原式==·=log25·(3log52)=13log25·=13.
法二 原式===·=13.
答案:13
15.解:(1)因为log425=log25,所以A={log52,log25,2},B={log25,-2},即A∩B={log25}.因为log52(2)证明:设x1,x2为[2,+∞)上任意两个实数,且2≤x11,
f(x1)-f(x2)=-
=x1-x2+-=(x1-x2)×<0,即f(x1)所以f(x)在[2,+∞)上单调递增.
所以f(x)>f(2)=.所以log52+log25=+log25=f(log25)>.
