4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质—— (教学方式:深化学习课梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.初步掌握对数函数的图象和性质. 2.会类比指数函数研究对数函数的性质.
3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用. 4.了解反函数的概念与图象特点.
(一)对数函数的图象和性质
项目 0
1
图象
定义域
值域
过定点 ,即x=1时,y=0
函数值 的变化 当01时, 当01时,
单调性
|微|点|助|解|
(1)注意点:讨论对数函数的性质时,若底数a的大小不确定,必须分a>1和0(2)图象的特点:函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象无限靠近y轴,但永远不会与y轴相交;在同一坐标系内,y=logax(a>0,且a≠1)的图象与y=lox(a>0,且a≠1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称.
(3)底数对图象的影响:比较图象与y=1的交点,此时y=1与对数函数图象交点的坐标为(a,1).交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大,即沿着直线y=1由左向右看,底数a增大(如图).
(二)反函数
1.定义
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数 互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.
2.性质
(1)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.
(2)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0). ( )
(2)函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上具有单调性. ( )
(3)由函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度可得y=log2x+1的图象. ( )
2.已知函数f(x)=logax的图象如图所示,则a的取值可能是 ( )
A.10 B.
C. D.
3.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f的值为 ( )
A.-log23 B.-log32
C. D.
4.若函数f(x)=log(a+1)x在(0,+∞)上单调递减,则a的取值范围为 .
题型(一) 对数函数的图象及应用
[例1] 函数y=|lg(x+1)|的图象是 ( )
听课记录:
[例2] 已知函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),则lg m+lg n的值是 .
听课记录:
[变式拓展]
若本例1中的函数y=|lg(x+1)|变为y=f(x)=|log3x|,若f(a)>f(2),则a的取值范围为 .
|思|维|建|模|
(1)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,0),即当x=1时,y=0,令其真数等于1,可得图象过定点的坐标.
(2)对数型函数图象的变换方法
①作y=f(|x|)的图象时,保留y=f(x)(x>0)的图象不变,当x<0时,y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称.
②作y=|f(x)|的图象时,保留y=f(x)的x轴及上方图象不变,把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可.
③有关对数函数平移也符合“左加右减,上加下减”的规律.
④y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称,y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
[针对训练]
1.设a与b均为实数,a>0且a≠1,已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则a+2b的值为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
2.函数f(x)=loga|x|+1(a>1)的图象大致为 ( )
3.若函数y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b= ,c= .
题型(二) 比较大小问题
[例3] 比较下列各组数的大小.
(1)lo与lo;
(2)lo3与lo3;
(3)loga2与loga3.
听课记录:
|思|维|建|模|
比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
[提醒] 比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小.
[针对训练]
4.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
5.已知lomA.nC.1题型(三) 反函数
[例4] 若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,函数f(x)=,则f(2)+g(4)= ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
听课记录:
|思|维|建|模|
互为反函数的函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
[针对训练]
6.函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(,a),则a的值为 ( )
A.2 B.
C.2或 D.3
7.函数y=log3x的反函数的定义域为 ( )
A.(0,+∞) B.
C.(1,4) D.[-1,4]
第1课时 对数函数的图象和性质
课前预知教材
(一)(0,+∞) R (1,0) y>0 y<0 y<0 y>0 减函数 增函数
(二)1.y=logax(a>0,且a≠1)
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)√ (3)×
2.A 3.B 4.(-1,0)
课堂题点研究
[例1] 选A 由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lg x的图象左移一个单位长度而得到,函数y=lg x的图象与x轴的交点是(1,0),故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0),即函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0,0),显然四个选项只有A选项满足.
[例2] 解析:因为函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),故3-m=1,且n=5,则m=2,n=5.所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.
答案:1
[变式拓展]
解析:
作出函数f(x)的图象,如图所示.由于f(2)=f,故结合图象可知,当f(a)>f(2)时,a的取值范围为∪(2,+∞).
答案:∪(2,+∞)
[针对训练]
1.选C 令f(x)=y=loga(x+b),由题图可知,f(0)=logab=2,f(-3)=loga(-3+b)=0,即解得故a+2b=2+4×2=10,故选C.
2.选C ∵函数f(x)=loga|x|+1(a>1)是偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称,当x>0时,f(x)=logax+1单调递增;当x<0时,f(x)=loga(-x)+1单调递减,又∵图象过(1,1),(-1,1)两点,结合选项可知选C.
3.解析:∵函数的图象恒过定点(3,2),∴将(3,2)代入y=loga(x+b)+c,得2=loga(3+b)+c.又当a>0,且a≠1时,loga1=0恒成立,∴c=2,3+b=1.∴b=-2,c=2.
答案:-2 2
[例3] 解:(1)y=lox在(0,+∞)上单调递减,因为<,所以lo>lo.
(2)法一 lo3-lo3
=-=.
因为y=lg x是增函数,所以lg所以lo3-lo3<0.所以lo3法二
因为在x∈(1,+∞)上,y=lox的图象在y=lox图象的上方,所以lo3(3)当a>1时,y=logax为增函数,所以loga2当0所以loga2>loga3.
[针对训练]
4.选D lo=log23>log2e,则c>a.因为b=ln 2=<1b.因此c>a>b,D正确.
5.选D 因为0<<1,lomn>1.故选D.
[例4] 选D 法一 ∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,f(x)==2x,∴g(x)=log2x,∴f(2)+g(4)=22+log24=6.
法二 ∵f(x)=,∴f(2)=4,故函数f(x)的图象经过点(2,4).∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,∴函数g(x)的图象经过点(4,2).∴g(4)=2,∴f(2)+f(4)=4+2=6.
[针对训练]
6.选B 法一 函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数为y=logax(a>0,且a≠1),故y=logax的图象过点(,a),则a=loga=.
法二 ∵函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(,a),∴函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(a,),∴aa==,即a=.
7.选D 由y=log3x,可知y∈[-1,4].所以反函数的定义域为x∈[-1,4].(共65张PPT)
4.4.2
对数函数的图象和性质
对数函数的图象和性质
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1．初步掌握对数函数的图象和性质．
2．会类比指数函数研究对数函数的性质．
3．掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
4．了解反函数的概念与图象特点．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)对数函数的图象和性质
项目 0＜a＜1 a＞1
图象
定义域 __________
(0，＋∞)
值域 _____
过定点 _____，即x＝1时，y＝0
函数值的变化 当0＜x＜1时，______，当x＞1时，______ 当0＜x＜1时，______，当x＞1时，______
单调性 _______ _______
R
(1,0)
y＞0
y＜0
y＜0
y＞0
减函数
增函数
续表
(3)底数对图象的影响：比较图象与y＝1的交点，此时y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)．
(二)反函数
1．定义
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数________
_______________互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．
2．性质
(1)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同．
(2)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
y＝logax
(a＞0，且a≠1)
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)． ( )
(2)函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是单调函数． ( )
(3)由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度可得y＝log2x＋1的图象.
( )
√
√
×
2．已知函数f(x)＝logax的图象如图所示，则a的取值可能是( )
√
解析：由函数图象的变化趋势可知，底数a>1，故选A.
√
4．若函数f(x)＝log(a＋1)x在(0，＋∞)上单调递减，则a的取值范围为____________．
解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以0(－1,0)
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 对数函数的图象及应用
[例1] 函数y＝|lg(x＋1)|的图象是( )
√
解析：由于函数y＝lg(x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象左移一个单位长度而得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1,0)，故函数y＝lg(x＋1)的图象与x轴的交点是(0,0)，即函数y＝|lg(x＋1)|的图象与x轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有A选项满足．
[例2] 已知函数f(x)＝loga(x－m)＋n的图象恒过定点(3,5)，则lg m＋lg n的值是________．
解析：因为函数f(x)＝loga(x－m)＋n的图象恒过定点(3,5)，故3－m＝1，且n＝5，则m＝2，n＝5.所以lg m＋lg n＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
1
[变式拓展]
若本例1中的函数y＝|lg(x＋1)|变为y＝f(x)＝|log3x|，若f(a)＞f(2)，
则a的取值范围为_____________________．
解析:作出函数f(x)的图象,如图所示.由于f(2)=f,故结合图象可知,当f(a)>f(2)时,
a的取值范围为∪(2,+∞).
|思|维|建|模|
(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0，令其真数等于1，可得图象过定点的坐标．
(2)对数型函数图象的变换方法
①作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x>0)的图象不变，当x<0时，y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．
②作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
③有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
④y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．
针对训练
1．设a与b均为实数，a>0且a≠1，已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则a＋2b的值为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
√
2．函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为( )
√
解析：∵函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，当x>0时，f(x)＝logax＋1单调递增；当x<0时，f(x)＝loga(－x)＋1单调递减，又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知选C.
3．若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝______，c＝______.
解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c.又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2,3＋b＝1.∴b＝－2，c＝2.
－2
2
题型(二) 比较大小问题
解:y=lox在(0,+∞)上单调递减,
因为<,所以lo>lo.
解:法一 lo3-lo3
=-=.
因为y=lg x是增函数,
所以lg所以lo3-lo3<0.所以lo3解：当a＞1时，y＝logax为增函数，所以loga2＜loga3；
当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，
所以loga2＞loga3.
|思|维|建|模|
比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
[提醒] 比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．
针对训练
√
4.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
解析:lo=log23>log2e,则c>a.因为b=ln 2=<1b.因此c>a>b,D正确.
√
5.已知lomA.nC.1解析:因为0<<1,lomn>1.故选D.
题型(三) 反函数
√
[例4] 若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,函数f(x)=,则f(2)+g(4)= ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:法一 ∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,f(x)==2x,
∴g(x)=log2x,∴f(2)+g(4)=22+log24=6.
法二 ∵f(x)=,∴f(2)=4,故函数f(x)的图象经过点(2,4).∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,∴函数g(x)的图象经过点(4,2).∴g(4)=2,∴f(2)+f(4)=4+2=6.
|思|维|建|模|
互为反函数的函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数．
(2)互为反函数的定义域与值域互换．
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
针对训练
√
解析:法一 函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数为y=logax(a>0,且a≠1),故y=logax的图象过点(,a),则a=loga=.
法二 ∵函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(,a),
∴函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(a,),∴aa==,即a=.
√
课时跟踪检测
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2
A级——达标评价
1．若函数f(x)＝2x的反函数是g(x)，则g(2)的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：易知g(x)＝log2x，因此g(2)＝log22＝1.
√
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2．已知a＝log20.3，b＝log3π，c＝log73，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．c＞a＞b D．b＞a＞c
解析：∵a＝log20.3＜log21＝0，∴a＜0.∵b＝log3π＞log33＝1，∴b＞1.∵0＝log71√
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3．函数f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
解析：因为f(x)＝loga(x＋2)(01
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√
√
5.(多选)已知a=log32,b=ln 2,c=lo2,d=,则( )
A.aC.ad
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解析:易知0得a=log32>log3==d,则C错误;又b=ln 2>ln==d,知D正确.
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6．函数f(x)＝ax－2＋loga(x－1)＋1(a＞0，且a≠1)的图象必经过点__________．
解析：当x＝2时，f(2)＝a0＋loga1＋1＝2，所以图象必经过点(2,2)．
(2,2)
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7．已知函数y＝log2(x＋2)＋m的图象不过第四象限，则实数m的取值范围为______________．
解析：由题意，得log22＋m≥0，所以m≥－1.
[－1，＋∞)
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解析:由题意得f(x)=logax(a>0,且a≠1,x>0),
因为f(x)的图象过点,所以loga=.所以=.所以a2=2.所以a=(负值舍去).
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9．(8分)比较下列各组数的大小．
(1)log0.13与log0.1π；
解：∵函数y＝log0.1x是减函数，π>3，
∴log0.13>log0.1π.
(2)log45与log65；
解：法一 ∵函数y＝log4x和y＝log6x都是增函数，
∴log45>log44＝1，log65∴log45>log65.
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法二 画出y＝log4x和y＝log6x在同一坐标系中的图象，如图所示，
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(3)3log45与2log23；
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2
(4)loga(a＋2)与loga(a＋3)(a＞0，且a≠1)．
解：∵a＋2＜a＋3，
故①当a＞1时，loga(a＋2)＜loga(a＋3)；
②当0＜a＜1时，loga(a＋2)＞loga(a＋3)．
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2
10．(10分)已知函数f(x)＝log3(ax＋b)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式与定义域；
1
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2
(2)函数f(x)的图象怎样由函数y＝log3(2x)的图象得到？
(3)求函数f(x)在[1,4]上的最大值和最小值．
解：易知f(x)在[1,4]上单调递增，
∴f(x)max＝f(4)＝log37，f(x)min＝f(1)＝log31＝0.
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2
B级——重点培优
11．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2＜x3＜x1 B．x1＜x3＜x2
C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1
√
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解析：分别作出三个函数的大致图象，如图所示．由图可知，x2＜x3＜x1.
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2
12．已知函数f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，函数h(x)是奇函数，且当x＞0时，h(x)＝f(x)－x，则h(－8)＝( )
A．－4 B．4
C．－5 D．5
解析：由于函数f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝log2x.所以当x＞0时，h(x)＝log2x－x.因为h(8)＝log28－8＝－5，又h(x)为奇函数，所以h(－8)＝－h(8)＝5.
√
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8
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11
12
13
14
15
3
4
2
f(x)＝logax(a＞1)(答案不唯一)
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2
解：先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得到f(x)＝|lg x|的图象(如图)．由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
1
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2
15．(12分)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
解：设P(x，y)为g(x)图象上的任意一点，
则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点．
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
1
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(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．课时跟踪检测(三十五) 对数函数的图象和性质
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若函数f(x)=2x的反函数是g(x),则g(2)的值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.已知a=log20.3,b=log3π,c=log73,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.aC.c>a>b D.b>a>c
3.函数f(x)=loga(x+2)(0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知log2a+log2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=logb的图象可能是 ( )
5.(多选)已知a=log32,b=ln 2,c=lo2,d=,则 ( )
A.aC.ad
6.函数f(x)=ax-2+loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象必经过点 .
7.已知函数y=log2(x+2)+m的图象不过第四象限,则实数m的取值范围为 .
8.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点,则a= .
9.(8分)比较下列各组数的大小.
(1)log0.13与log0.1π;
(2)log45与log65;
(3)3log45与2log23;
(4)loga(a+2)与loga(a+3)(a>0,且a≠1).
10.(10分)已知函数f(x)=log3(ax+b)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式与定义域;
(2)函数f(x)的图象怎样由函数y=log3(2x)的图象得到
(3)求函数f(x)在[1,4]上的最大值和最小值.
B级——重点培优
11.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 ( )
A.x2C.x112.已知函数f(x)的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称,函数h(x)是奇函数,且当x>0时,h(x)=f(x)-x,则h(-8)= ( )
A.-4 B.4
C.-5 D.5
13.设函数f(x)满足:①对 x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y);② x,y∈(0,+∞),且x≠y,都有>0,则该函数的解析式可以是 .
14.(12分)已知f(x)=|lg x|,且>a>b>1,试借助图象比较f(a),f(b),f(c)的大小.
15.(12分)已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上.
(1)写出函数g(x)的解析式;
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.
课时跟踪检测(三十五)
1.选A 易知g(x)=log2x,因此g(2)=log22=1.
2.选A ∵a=log20.3log33=1,∴b>1.∵0=log713.选A 因为f(x)=loga(x+2)(04.选B 由log2a+log2b=0,即为log2ab=0,即有ab=1;当a>1时,01,函数f(x)=ax在R上为减函数,g(x)=logb在(0,+∞)上为减函数,四个图象均不满足,在同一坐标系中的图象只能是B.
5.选AD 易知0log3==d,则C错误;又b=ln 2>ln==d,知D正确.
6.解析:当x=2时,f(2)=a0+loga1+1=2,所以图象必经过点(2,2).
答案:(2,2)
7.解析:由题意,得log22+m≥0,所以m≥-1.
答案:[-1,+∞)
8.解析:由题意得f(x)=logax(a>0,且a≠1,x>0),因为f(x)的图象过点,所以loga=.所以=.所以a2=2.所以a=(负值舍去).
答案:
9.解:(1)∵函数y=log0.1x是减函数,π>3,
∴log0.13>log0.1π.
(2)法一 ∵函数y=log4x和y=log6x都是增函数,∴log45>log44=1,log65log65.
法二 画出y=log4x和y=log6x在同一坐标系中的图象,如图所示,
由图可知log45>log65.
(3)∵3log45=log453=log4125==log2125=log2,2log23=log232=log29,又函数y=log2x是增函数,>9,∴log2>log29,即3log45>2log23.
(4)∵a+2故①当a>1时,loga(a+2)②当0loga(a+3).
10.解:(1)将点A(2,1),B(5,2)的坐标代入f(x),
得得
解得a=2,b=-1,则f(x)=log3(2x-1),定义域为.
(2)f(x)=log3(2x-1)=log32,
∴f(x)的图象由y=log3(2x)的图象向右平移个单位长度得到.
(3)易知f(x)在[1,4]上单调递增,
∴f(x)max=f(4)=log37,f(x)min=f(1)=log31=0.
11.选A 分别作出三个函数的大致图象,如图所示.由图可知,x212.选D 由于函数f(x)的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称,则f(x)=log2x.所以当x>0时,h(x)=log2x-x.因为h(8)=log28-8=-5,又h(x)为奇函数,所以h(-8)=-h(8)=5.
13.解析:因为函数f(x)满足对 x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),所以考虑函数f(x)=logax(a>0且a≠1).因为函数f(x)满足 x,y∈(0,+∞),且x≠y,都有>0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=logax(a>1)符合题意.
答案:f(x)=logax(a>1)(答案不唯一)
14.解:先作出函数y=lg x的图象,再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,于是得到f(x)=|lg x|的图象(如图).由图象可知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
由>a>b>1,得f>f(a)>f(b).
因为f==|-lg c|=|lg c|=f(c).所以f(c)>f(a)>f(b).
15.解:(1)设P(x,y)为g(x)图象上的任意一点,
则Q(-x,-y)是点P关于原点的对称点.
∵Q(-x,-y)在f(x)的图象上,∴-y=loga(-x+1),即y=g(x)=-loga(1-x).
(2)∵f(x)+g(x)≥m,即loga≥m.
设F(x)=loga=loga,x∈[0,1),由题意知,只要F(x)min≥m即可.
∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)min=F(0)=0.故m的取值范围为(-∞,0].