4.4.3 不同函数增长的差异
—— (教学方式:深化学习课梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长速度的差异.
2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的比较.
三种常见函数模型的增长差异
项目 y=ax(a>1) y=kx (k>0) y=logax (a>1)
在(0,+∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
图象的变化 随x增大逐渐与y轴平行 增长速度固定 随x增大逐渐与x轴平行
增长 速度 ①y=ax(a>1):随着x的增大,y增长速度越来越快,会远远大于y=kx(k>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度越来越慢; ②存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax
|微|点|助|解|
(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型;
(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长很大时,常常选用对数函数模型;
(3)一次函数增长速度不变,平稳变化;
(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. ( )
(2)对任意的x>0,kx>logax. ( )
(3)对任意的x>0,ax>logax. ( )
(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型. ( )
2.下列函数中,随x的增大而增大且速度最快的是 ( )
A.y=ex B.y=ln x
C.y=3x D.y=e-x
3.某公司为了适应市场需求,对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用 ( )
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
4.某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为 .
题型(一) 几个函数模型增长差异的比较
[例1] 已知三个变量y1,y2,y3随变量x变化数据如下表:
x 1 2 4 6 8 …
y1 2 4 16 64 256 …
y2 4 8 16 24 32 …
y3 0 1 2 2.585 3 …
则反映y1,y2,y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是 ( )
A.y1=4x,y2=2x,y3=log2x
B.y1=2x,y2=4x,y3=log2x
C.y1=log2x,y2=4x,y3=2x
D.y1=2x,y2=log2x,y3=4x
听课记录:
|思|维|建|模| 常见的函数模型及增长特点
常见函数模型 增长特点
一次 函数模型 一次函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变
指数 函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”
对数 函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓
[针对训练]
1.“红豆生南国,春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图,那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间t的关系的函数是 ( )
A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t
C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2
2.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).有以下结论:
①当x>1时,甲走在最前面;
②当x>1时,乙走在最前面;
③当0
1时,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.
其中,正确结论的序号为 .
题型(二) 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
[例2] 函数f(x)=2x和 g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 024),g(2 024)的大小.
听课记录:
|思|维|建|模| 比较函数增长情况的方法
解析法 直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数,其中当x较大时,指数型函数增长速度最快,一次函数增长速度其次,对数型函数增长速度最慢
表格法 通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异
图象法 在同一直角坐标系中画出各函数的图象,观察图象并借助计算器,便能直观地得出这三个函数增长速度的差异
[针对训练]
3.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)指出图中C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).
题型(三) 函数模型的选择
[例3] 某公司为了实现60万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元时,按利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该公司的要求
听课记录:
|思|维|建|模|
开放型的探究题,函数模型不是确定的,需要我们去探索,去尝试,找到最合适的模型,解题过程为
(1)用待定系数法求出函数的解析式;
(2)检验:将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最适合的函数模型;
(3)利用所求出的函数模型解决问题.
[针对训练]
4.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表:
月份 1 2 3
产量(千件) 50 52 53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系. 请问:用以上哪个模拟函数较好 请说明理由.
4.4.3 不同函数增长的差异
课前预知教材
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.A 3.D 4.y=-x+50(0 课堂题点研究
[例1] 选B 从题表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,呈指数型函数变化,变量y3的增长速度最慢,呈对数型函数变化,故选B.
[针对训练]
1.选A 根据已知所给的关系图,观察得到图象在第一象限,且从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数的增长趋势可得,用指数函数拟合最好,故选A.
2.解析:四个函数的大致图象如图所示,根据图象易知,③④⑤正确.
答案:③④⑤
[例2] 解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1x2.从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),所以f(2 024)>g(2 024).又g(2 024)>g(6),所以f(2 024)>g(2 024)>g(6)>f(6).
[针对训练]
3.解:(1)由函数图象特征及变化趋势,
知直线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,
曲线C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x);
当x∈(x1,x2)时,g(x)当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x).
g(x)呈直线增长,函数值变化是均匀的,
f(x)随着x的增大而逐渐增大,其函数值变化得越来越慢.
[例3] 解:
作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(如图所示).观察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合公司的要求.
[针对训练]
4.解:将(1,50),(2,52)分别代入两个解析式得或(a>0),
解得(两方程组的解相同).
所以两个函数分别为y=2x+48或y=2x+48.
当x=3时,对于y=2x+48有y=54;
当x=3时,对于y=2x+48有y=56.
由于56与53.9的误差较大,所以选y=ax+b较好.(共57张PPT)
4.4.3
不同函数增长的差异
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长速度的差异.
2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的比较.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
三种常见函数模型的增长差异
项目 y＝ax(a>1) y＝kx(k>0) y＝logax(a>1)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
图象的变化 随x增大逐渐与y轴平行 增长速度固定 随x增大逐渐与x轴平行
增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
|微|点|助|解|
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型；
(3)一次函数增长速度不变，平稳变化；
(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型． ( )
(2)对任意的x＞0，kx＞logax. ( )
(3)对任意的x＞0，ax＞logax. ( )
(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型． ( )
√
×
×
√
2．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝3x D．y＝e－x
√
3．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用( )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
√
4．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为___________________________．
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 几个函数模型增长差异的比较
[例1] 已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化数据如下表：
x 1 2 4 6 8 …
y1 2 4 16 64 256 …
y2 4 8 16 24 32 …
y3 0 1 2 2.585 3 …
则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是( )
A．y1＝4x，y2＝2x，y3＝log2x
B．y1＝2x，y2＝4x，y3＝log2x
C．y1＝log2x，y2＝4x，y3＝2x
D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝4x
√
解析：从题表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化，故选B.
|思|维|建|模| 常见的函数模型及增长特点
常见函数模型 增长特点
一次函数模型 一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变
指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”
对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓
针对训练
1．“红豆生南国，春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间t的关系的函数是( )
A．指数函数y＝2t
B．对数函数y＝log2t
C．幂函数y＝t3
D．二次函数y＝2t2
√
解析：根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.
2．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下结论：
①当x>1时，甲走在最前面；
②当x>1时，乙走在最前面；
③当01时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为__________．
③④⑤
解析：四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确．
题型(二) 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
[例2] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
解：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 024)，g(2 024)的大小．
解：因为f(1)>g(1)，f(2)g(10),所以1x2.从图象上可以看出,当x1x2时，f(x)>g(x),所以f(2 024)>g(2 024)．又g(2 024)>g(6)，所以f(2 024)>g(2 024)
>g(6)>f(6).
|思|维|建|模| 比较函数增长情况的方法
解析法 直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数，其中当x较大时，指数型函数增长速度最快，一次函数增长速度其次，对数型函数增长速度最慢
表格法 通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异
图象法 在同一直角坐标系中画出各函数的图象，观察图象并借助计算器，便能直观地得出这三个函数增长速度的差异
针对训练
3．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；
解：由函数图象特征及变化趋势，
知直线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解：当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，
f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．
题型(三) 函数模型的选择
[例3] 某公司为了实现60万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到 5万元时，按利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？
解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合公司的要求．
|思|维|建|模|
开放型的探究题，函数模型不是确定的，需要我们去探索，去尝试，找到最合适的模型，解题过程为
(1)用待定系数法求出函数的解析式；
(2)检验：将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最适合的函数模型；
(3)利用所求出的函数模型解决问题．
针对训练
4．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份 1 2 3
产量(千件) 50 52 53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系.请问：用以上哪个模拟函数较好？请说明理由．
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型( )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
√
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解析：自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.
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2．(多选)当a>1时，下列结论正确的有( )
A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值增长越快
B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值增长越快
C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值增长越快
D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值增长越快
解析：结合指数函数及对数函数的图象可知A、D正确．
√
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2
3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
解析：将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．
√
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4．下列函数图象中，估计有可能用函数y＝a＋blg x(b>0)来模拟的是( )
√
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2
解析：由于函数y＝lg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b>0，所以当x>0时，y＝a＋blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的．
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5．如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是( )
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2
√
解析：A选项，由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与题图不符合，故C错误；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义，故D错误；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义，故B正确．
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6．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量．
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2
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
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2
7．函数y＝x3与函数y＝x2ln x在区间(0，＋∞)上增长速度较快的一个是__________．
y＝x3
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8.(10分)函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).
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解:由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得,曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.
由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1g(x)>h(x);当ef(x)>h(x);当ah(x)>f(x);当bg(x)>f(x);当cf(x)>g(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
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2
9．(12分)某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
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2
解：在平面直角坐标系中标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示．
由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．
不妨将(2,1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，
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解得a＝3.
故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．
当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米.
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B级——重点培优
10．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
√
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解析：由题意可知，三个函数在区间(2,4)上都是单调递增的，所以4y2<16,1y1>y3.
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√
10
11.C0表示生物体内碳14的初始质量,经过t年后碳14剩余质量C(t)=C0
(t>0,h为碳14的半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C0,
据此推算该生物距今约(参考数据:lg 2≈0.301)( )
A.1.36h年 B.1.34h年
C.1.32h年 D.1.30h年
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5
6
7
8
9
11
12
13
3
4
2
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解析:由题意可知,C0=0.4C0.所以lg=lg 0.4,即lg=lg 0.4.所以==.所以t=·h≈1.32h.
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>log2x
12.若已知16解析:作出f(x)=和g(x)=log2x的图象,如图所示.
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由图象可知,在(0,4)内,>log2x;当x=4或x=16时,=log2x;在(4,16)内,
log2x.
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13．(15分)某公司每个仓库的收费标准如下表(x表示储存天数，y(万元)表示每个仓库收取的总费用).
x 1 3 7 14
y 1 2 3 4
(1)给出两个函数y1＝px－1＋q(p＞0且p≠1)，y2＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)，要从这两个函数中选出一个来模拟表中x，y之间的关系，问：选择哪一个函数较好？请说明理由．
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解:(1)若选择函数y1=px-1+q(p>0且p≠1),
将(1,1),(3,2)代入函数得
解得∴y1=()x-1=.
当x=7时,y1=23=8;当x=14时,y1==64,可知当x=7或14时,与实际数据差距较大.
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(2)设该公司这7天的仓库收益为f(m)元，由表格数据可知若货物存放7天，每个仓库收费30 000元，∴f(m)＝30 000m－[2 000m＋500×(10－m)]×7＝19 500m－35 000.由f(m)≥43 000，得m≥4.∴m的最小值为4.
10课时跟踪检测(三十八) 不同函数增长的差异
(满分90分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型 ( )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
2.(多选)当a>1时,下列结论正确的有 ( )
A.指数函数y=ax,当a越大时,其函数值增长越快
B.指数函数y=ax,当a越小时,其函数值增长越快
C.对数函数y=logax,当a越大时,其函数值增长越快
D.对数函数y=logax,当a越小时,其函数值增长越快
3.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是 ( )
A.y=0.2x B.y=(x2+2x)
C.y= D.y=0.2+log16x
4.下列函数图象中,估计有可能用函数y=a+blg x(b>0)来模拟的是 ( )
5.如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图,下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是 ( )
A.y=mx+n(m>0)
B.y=m+n(m>0)
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>1)
6.某地发生地震后,地震专家对该地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:
强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4
注:地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于 .(取lg 2≈0.3进行计算)
7.函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0,+∞)上增长速度较快的一个是 .
8.(10分)函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).
9.(12分)某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来拟合h与t的关系,你认为哪个符合 并预测第8年的松树高度.
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
B级——重点培优
10.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1
11.C0表示生物体内碳14的初始质量,经过t年后碳14剩余质量C(t)=C0(t>0,h为碳14的半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C0,据此推算该生物距今约(参考数据:lg 2≈0.301) ( )
A.1.36h年 B.1.34h年
C.1.32h年 D.1.30h年
12.若已知1613.(15分)某公司每个仓库的收费标准如下表(x表示储存天数,y(万元)表示每个仓库收取的总费用).
x 1 3 7 14
y 1 2 3 4
(1)给出两个函数y1=px-1+q(p>0且p≠1),y2=loga(x+b)(a>0且a≠1),要从这两个函数中选出一个来模拟表中x,y之间的关系,问:选择哪一个函数较好 请说明理由.
(2)该公司旗下有10个这样的仓库,每个仓库储存货物时,每天需要2 000元的运营成本,不存货物时仅需500元的成本.一批货物需要存放7天,设该批货物存放在m个仓库内,其余仓库空闲.要使该公司这7天的仓库收益不少于43 000元,则m的最小值是多少
注:收益=收入-成本.
课时跟踪检测(三十八)
1.选A 自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.故选A.
2.选AD 结合指数函数及对数函数的图象可知A、D正确.
3.选C 将x=1,2,3,y=0.2,0.4,0.76分别代入验算.
4.选C 由于函数y=lg x在定义域内单调递增,且是上凸的,又b>0,所以当x>0时,y=a+blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的.
5.选B A选项,由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长,故A错误;C选项,指数函数模型中y随x增长越来越快,与题图不符合,故C错误;D选项,对数函数模型在x=0时没有意义,故D错误;B选项符合散点图中y随x增长越来越慢,且在x=0时有意义,故B正确.
6.解析:由模拟函数及散点图得
两式相减得a(lg 3.2-lg 1.6)=0.2,即alg 2=0.2,所以a≈.
答案:
7.解析:∵=,∴比较y=x3与y=x2ln x的增长速度只需比较y=x与y=ln x增长速度即可.由图象可知y=x的增长速度快于y=ln x的增长速度,∴函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0,+∞)上增长速度较快的是y=x3.
答案:y=x3
8.解:由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得,曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.
由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1g(x)>h(x);当ef(x)>h(x);当ah(x)>f(x);当bg(x)>f(x);当cf(x)>g(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
9.解:在平面直角坐标系中标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示.
由图象可以看出增长的速度越来越慢,用一次函数模型拟合不合适,则选用对数函数模型比较合理.
不妨将(2,1)代入h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.
故可用函数h=log3(t+1)来拟合这个实际问题.
当t=8时,求得h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.
10.选B 由题意可知,三个函数在区间(2,4)上都是单调递增的,所以4y1>y3.
11.选C 由题意可知,C0=0.4C0.
所以lg=lg 0.4,即lg=lg 0.4.所以==.
所以t=·h≈1.32h.
12.解析:作出f(x)=和g(x)=log2x的图象,如图所示.
由图象可知,在(0,4)内,>log2x;当x=4或x=16时,=log2x;在(4,16)内,log2x.
答案:>log2x
13.解:(1)若选择函数y1=px-1+q(p>0且p≠1),
将(1,1),(3,2)代入函数得
解得∴y1=()x-1=.
当x=7时,y1=23=8;当x=14时,y1==64,可知当x=7或14时,与实际数据差距较大.
若选择函数y2=loga(x+b)(a>0且a≠1),将(1,1),(3,2)代入函数得
解得∴y2=log2(x+1).当x=7时,y2=log28=3;当x=14时,y2=log215,可知当x=7或14时,与实际数据比较接近.综上所述,选择y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)较好.
(2)设该公司这7天的仓库收益为f(m)元,由表格数据可知若货物存放7天,每个仓库收费30 000元,∴f(m)=30 000m-[2 000m+500×(10-m)]×7=19 500m-35 000.由f(m)≥43 000,得m≥4.∴m的最小值为4.