课时跟踪检测(三十七) 指、对函数图象与性质的综合
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系中的图象大致是 ( )
2.已知a=40.6,b=log38,c=ln 2,则 ( )
A.c
C.b3.已知函数y=2+loga(x-1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,且A点在直线mx-y+n=0(m,n>0)上,则2m+()n的最小值是 ( )
A.4 B.2
C.2 D.
4.已知a,b∈R,那么log2a>log2b是<的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知定义在R上的函数f(x)=e-x-mex(m∈R)是奇函数,设a=f(log32),b=f(log53),c=-f,则有 ( )
A.aC.a6.已知函数f(x)的定义域为R,f(0)=1,=2,=2,=2,=2,…,=2(n∈N*).写出满足上述条件的一个函数: .
7.甲、乙两人解关于x的方程2x+b·2-x+c=0,甲写错了常数b,得到的根为x=-2或x=log2,乙写错了常数c,得到的根为x=0或x=1,则原方程所有根的和是 .
8.已知函数y=f(x)与y=ex的图象关于直线y=x对称,则f(x2-2x-8)的单调递增区间为 .
9.(10分)已知函数y=g(x)为偶函数,函数y=h(x)为奇函数,g(x)+h(x)=3x对任意实数x恒成立.
(1)计算g(log32),h的值;
(2)试探究g(2x)与h(x)的关系,并证明你的结论.
10.(12分)设函数f(x)=log2(2x)·log2.
(1)解方程f(x)+6=0;
(2)设不等式≤43x-2的解集为M,求函数f(x)(x∈M)的值域.
B级——重点培优
11.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是 ( )
A.[-1,2] B.[0,2]
C.[1,+∞) D.[0,+∞)
12.已知a,b,c为正实数,满足a+a2=b+4b=c+log2c=4,则实数a,b,c之间的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
13.(多选)已知函数f(x)=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交,则 ( )
A.a+b=0
B.f(x)=-1
C.f(x)是偶函数
D.f(x)在(-∞,0]上单调递增
14.高斯是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数,记作[x],是指不超过实数x的最大整数,例如[6.8]=6,[-4.1]=-5,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数f(x)=log2(-x2+x+2),则当x∈[0,1]时,[f(x)]的值域为 ( )
A. B.
C.{1} D.{2}
15.(14分)我们知道当a>0时,am+n=am·an对一切m,n∈R恒成立,某同学在进一步研究指数幂运算时,发现有这么一个等式21+1=21+21,带着好奇,他进一步对2m+n=2m+2n进行深入研究.
(1)当m=2时,求n的值;
(2)当m≤0时,求证:n是不存在的;
(3)求证:只有一对正整数对(m,n)使得等式成立.
课时跟踪检测(三十七)
1.选C 因为f(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位长度得到的,过定点(1,1).g(x)=2-x+1=的图象是由y=的图象向右平移一个单位长度得到的,过定点(0,2).故只有C项中的图象符合.
2.选D 因为a=40.6>40.5=2,所以a>2.因为log333.选B 当x=2时,loga(x-1)+2=2,故函数y=loga(x-1)+2的图象恒过定点A(2,2),由点A(2,2)在直线mx-y+n=0上,则2m+n=2, 故2m+()n=2m+≥2=2,当且仅当m==时等号成立,故2m+()n的最小值是2.
4.选A 因为a>0,b>0,且y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以log2a>log2b a>b>0,又y=在R上单调递减,所以< a>b,a,b∈R,所以log2a>log2b a>b>0,则<成立.当blog2b成立.
5.选D 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=e-0-me0=0,解得m=1.所以f(x)=e-x-ex,所以f(x)在R上单调递减.又因为log323log525=,所以b6.解析:例如f(x)=2x,则f(0)=1,且==2,所以f(x)=2x符合题意.
答案:f(x)=2x(答案不唯一)
7.解析:设t=2x,由2x+b·2-x+c=0可得t++c=0,则t2+ct+b=0.对于甲,由于甲写错常数b,则常数c是正确的,由根与系数的关系可得-c=2-2+=,即c=-;对于乙,由于乙写错了常数c,则常数b是正确的,由根与系数的关系可得b=20·21=2.所以关于t的方程为t2-t+2=0,解得t=或t=4,即2x=或2x=4,解得x=-1或x=2.所以原方程所有根的和是-1+2=1.
答案:1
8.解析:由已知,得f(x)=ln x,所以f(x2-2x-8)的单调递增区间满足解得x>4.
答案:(4,+∞)
9.解:(1)由g(x)+h(x)=3x得g(-x)+h(-x)=3-x,
因为y=g(x)为偶函数,y=h(x)为奇函数,则g(x)-h(x)=3-x,
即解得g(x)=,h(x)=,所以g(log32)===,
h=h==.
(2)由(1)可知g(x)=,h(x)=,
探究结果:g(2x)=2h2(x)+1.
证明如下:因为g(2x)=,h2(x)==,
所以g(2x)=2h2(x)+1.
10.解:(1)f(x)=(log22+log2x)(log2x-log216)=(1+log2x)(log2x-4)=(log2x)2-3log2x-4.由f(x)+6=0得(log2x)2-3log2x+2=0,解得log2x=1或log2x=2.所以x=2或x=4.所以方程f(x)+6=0的解是x=2或x=4.
(2)由≤43x-2得≤26x-4,
即x2+x≤6x-4,
解得1≤x≤4,即M={x|1≤x≤4}.
又f(x)=(log2x)2-3log2x-4,
令t=log2x,所以0≤t≤2,则g(t)=t2-3t-4=-为开口向上、对称轴为t=的抛物线.因为0≤t≤2,所以-≤g(t)≤-4.所以函数f(x)(x∈M)的值域为.
11.选D f(x)≤2 或 0≤x≤1或x>1,故选D.
12.选C 由题意a=4-a2>0,解得10,解得02,综上所述,实数a,b,c之间的大小关系为c>a>b.
13.选AC 函数f(x)=a+b的图象过原点,则a+b=0,即a+b=0,函数的图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交,故y=1是图象的一条渐近线,则b=1,a=-1, f(x)=+1,A正确,B错误;函数f(x)=+1,定义域为R,f(-x)=+1=-+1=f(x),f(x)是偶函数,C正确;当x∈(-∞,0]时,f(x)=+1=-3x+1,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,D错误.
14.选C 由-x2+x+2>0,得(x+1)(x-2)<0,解得-115.解:(1)当m=2时,22+n=22+2n,即3·2n=4,所以n=log2.
(2)证明:设t=2m,因为m≤0,所以t=2m∈(0,1].又t·2n=t+2n,
当m=0时,t=1,t·2n=t+2n不成立;当m≠0时,t<1,由t·2n=t+2n可得2n=.因为2n>0,t>0,t-1<0,所以2n=不成立.综上所述,当m≤0时,n是不存在的.
(3)证明:由2m+n=2m+2n可得2n=.
当m,n均为正整数时,等号左侧为2的指数幂,故右侧也是2的指数幂,
所以2m-1=1,即m=1时符合题意,此时n=1.
所以只有一对正整数对(1,1)使得等式成立.板块综合 指、对函数图象与性质的综合(阶段小结课习题讲评式教学)
题型(一) 指数、对数函数的图象及应用
[例1] 华罗庚是享誉世界的数学大师,其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”.告知我们把“数”与“形”,“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1,b∈R)的大致图象如图所示,则函数g(x)=a-x-b的大致图象是 ( )
[例2] 若关于x的不等式4x-logax≤在x∈恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
听课记录:
|思|维|建|模|
指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能熟练画出这两类函数图象,并会进行平移、对称、翻折等变换.
[针对训练]
1.已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax和g(x)=loga的图象只可能是 ( )
2.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是 .
题型(二) 解不等式、比较大小问题
[例3] 已知a=0.20.3,2b=0.3,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.c>b>a B.c>a>b
C.b>a>c D.a>c>b
[例4] 设0A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞)
听课记录:
|思|维|建|模|
方程、不等式的求解可利用单调性进行转化,对含参数的问题要进行分类讨论,同时还要注意变量本身的取值范围,以免出现增根;比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决.
[针对训练]
3.若0A.3y<3x B.logx3C.log4x4.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是 .
题型(三) 指数、对数函数的创新问题
[例5] 设函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是增函数;②存在[m,n] D(n>m),使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n],那么就称y=f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)=loga(a2x+t)(a>0,a≠1)是定义域为R的“成功函数”,则t的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则.
(2)换元法的作用是利用整体代换,将问题转化为常见问题,该类问题中,常设u=logax或u=ax,转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u的取值范围.
[针对训练]
5.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=-,则函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域是 ( )
A.{1} B.{0,1}
C.{-1,0} D.{-1,0,1}
板块综合 指、对函数图象与性质的综合
[例1] 选C 由题意,根据函数f(x)=loga(x+b)的图象,可得0[例2] 选A
由题意知关于x的不等式4x-≤logax在x∈恒成立,所以当x∈时,函数y=4x-的图象不在y=logax的图象的上方.
由图可知解得≤a<1.故选A.
[针对训练]
1.选C 函数g(x)的定义域是(-∞,0),排除A、B;若01,则f(x)=ax是增函数,此时g(x)=loga是增函数,C满足.
2.解析:
根据指数函数和对数函数的图象,画出f(x)的图象如图所示,数形结合可知,要满足题意,只需a∈(0,1].
答案:(0,1]
[例3] 选B 因为y=0.2x在R上单调递减,所以0<0.20.3<0.20=1.所以0log0.30.3=1.所以c>1.综上可知,c>a>b.故选B.
[例4] 选C 由已知得f(x)=loga(a2x-2ax-2)<0=loga1.又当01,即a2x-2ax-3>0,(ax-3)·(ax+1)>0.因为ax+1>0,所以ax>3.又0[针对训练]
3.选C 对于A,函数y=3x在R上单调递增,因为0logy3,B错误;对于C,函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,故log4x,D错误.
4.解析:因为要使f(x)=lg(2x-b)在x∈[1,+∞)时,恒有f(x)≥0,所以有2x-b≥1在x∈[1,+∞)时恒成立,即2x≥b+1在x∈[1,+∞)上恒成立.又因为指数函数g(x)=2x在定义域上是增函数.所以只需2≥b+1成立即可,解得b≤1.
答案:(-∞,1]
[例5] 选A 依题意,函数g(x)=loga(a2x+t)的定义域为R,令u=a2x+t,显然u>0,函数y=logau在(0,+∞)上单调性与u=a2x+t在R上单调性相同,则函数g(x)在R上单调递增,显然t≥0,而当t=0时,函数g(x)=2x不满足条件②,因此t>0,由于函数g(x)在[m,n]上的值域为[m,n],则即于是m,n是方程(ax)2-ax+t=0的两个不等实根,令z=ax,则方程z2-z+t=0有两个不等的正实根,因此解得0[针对训练]
5.选C ∵f(x)=-=,f(-x)===-f(x),∴f(x)为奇函数.易知f(x)=-=-,∵1+ex>1,∴0<<1,则-<-<.∴当f(x)∈时,[f(x)]=-1,[f(-x)]=0;当f(x)∈时,[f(x)]=0,[f(-x)]=-1;当f(x)=0时,[f(x)]=[f(-x)]=0.∴函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域是{-1,0}.(共60张PPT)
板块综合 指、对函数图象与性质的综合
(阶段小结课—习题讲评式教学)
建构知识体系
融通学科素养
1．浸润的核心素养
(1)通过指数、对数运算性质的学习与运用，重点提升数学运算素养.
(2)通过作指数函数、对数函数的图象以及简单图象的平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．
(3)通过对指数函数、对数函数的图象及性质的运用，重点提升数学运算和逻辑推理素养．
2．渗透的数学思想
(1)涉及数形结合思想的题目类型有知式选图，图象变换和指数函数、对数函数图象的应用．函数图象形象地展示了函数的性质，为研究函数的性质提供了形象的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具．
(2)常见的分类讨论有两种：一是当指数函数、对数函数的底数为字母参数时，要确定它的单调性需要讨论；二是含参数的不等式、方程，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需要分类讨论．
CONTENTS
目录
1
2
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题型(一) 指数、对数函数的图象及应用
题型(二) 解不等式、比较大小问题
题型(三) 指数、对数函数的创新问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 指数、对数函数的图象及应用
01
[例1] 华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图所示,则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是( )
√
解析：由题意，根据函数f(x)＝loga(x＋b)的图象，可得0√
|思|维|建|模|
指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换．
针对训练
√
(0,1]
解析：根据指数函数和对数函数的图象，画出f(x)的图象如图所示，数形结合可知，要满足题意，只需a∈(0,1]．
题型(二) 解不等式、
比较大小问题
02
√
[例3] 已知a＝0.20.3,2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c＞b＞a B．c＞a＞b
C．b＞a＞c D．a＞c＞b
解析：因为y＝0.2x在R上单调递减，所以0＜0.20.3＜0.20＝1.所以0＜a＜1.又2b＝0.3且y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以b＝log20.3＜log21＝0.所以b＜0.又y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，所以log0.30.2＞log0.30.3＝1.所以c＞1.综上可知，c＞a＞b.故选B.
√
[例4] 设0A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)
解析：由已知得f(x)＝loga(a2x－2ax－2)<0＝loga1.又当01，即a2x－2ax－3>0，(ax－3)·(ax＋1)>0.因为ax＋1>0，所以ax>3.又0|思|维|建|模|
方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题要进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决．
针对训练
√
3.若0A.3y<3x B.logx3C.log4x解析:对于A,函数y=3x在R上单调递增,因为0logy3,B错误;对于C,函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,故log4x,D错误.
4．已知函数f(x)＝lg(2x－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是____________．
解析：因为要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)时，恒有f(x)≥0，所以有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)时恒成立，即2x≥b＋1在x∈[1，＋∞)上恒成立．又因为指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数．所以只需2≥b＋1成立即可，解得b≤1.
(－∞，1]
题型(三) 指数、对数函数的创新问题
03
[例5] 设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是增函数；②存在[m，n] D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”．若函数g(x)＝loga(a2x＋t)
(a>0，a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是( )
√
|思|维|建|模|
(1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则．
(2)换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题，该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u的取值范围．
针对训练
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课时跟踪检测
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A级——达标评价
1．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
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2．已知a＝40.6，b＝log38，c＝ln 2，则( )
A．cC．b解析：因为a＝40.6>40.5＝2，所以a>2.因为log331
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又y=在R上单调递减,所以< a>b,a,b∈R,所以log2a>log2b a>b>0,则<成立.当blog2b成立.
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8．已知函数y＝f(x)与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(x2－2x－8)的单调递增区间为_____________．
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(2)试探究g(2x)与h(x)的关系，并证明你的结论．
解:由(1)可知g(x)=,h(x)=,
探究结果:g(2x)=2h2(x)+1.
证明如下:因为g(2x)=,h2(x)==,
所以g(2x)=2h2(x)+1.
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解：f(x)＝(log22＋log2x)(log2x－log216)＝(1＋log2x)(log2x－4)＝(log2x)2－3log2x－4.由f(x)＋6＝0得(log2x)2－3log2x＋2＝0，解得log2x＝1或log2x＝2.所以x＝2或x＝4.所以方程f(x)＋6＝0的解是x＝2或x＝4.
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(2)设不等式≤43x-2的解集为M,求函数f(x)(x∈M)的值域.
解:由≤43x-2得≤26x-4,
即x2+x≤6x-4,
解得1≤x≤4,即M={x|1≤x≤4}.
又f(x)=(log2x)2-3log2x-4,
令t=log2x,所以0≤t≤2,则g(t)=t2-3t-4=-为开口向上、对称轴为t=的抛物线.因为0≤t≤2,所以-≤g(t)≤-4.所以函数f(x)(x∈M)的值域为.
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B级——重点培优
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√
12．已知a，b，c为正实数，满足a＋a2＝b＋4b＝c＋log2c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
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13.(多选)已知函数f(x)=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交,则( )
A.a+b=0
B.f(x)=-1
C.f(x)是偶函数
D.f(x)在(-∞,0]上单调递增
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解析:函数f(x)=a+b的图象过原点,则a+b=0,即a+b=0,函数的图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交,故y=1是图象的一条渐近线,则b=1,a=-1, f(x)=+1,A正确,B错误;函数f(x)=+1,定义域为R,f(-x)=+1=-+1=f(x),f(x)是偶函数,C正确;当x∈(-∞,0]时,
f(x)=+1=-3x+1,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,D错误.
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14．高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x的最大整数，例如[6.8]＝6，[－4.1]＝－5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数f(x)＝log2(－x2＋x＋2)，则当x∈[0,1]时，[f(x)]的值域为( )
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15．(14分)我们知道当a>0时，am＋n＝am·an对一切m，n∈R恒成立，某同学在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式21＋1＝21＋21，带着好奇，他进一步对2m＋n＝2m＋2n进行深入研究．
(1)当m＝2时，求n的值；
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(2)当m≤0时，求证：n是不存在的；
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(3)求证：只有一对正整数对(m，n)使得等式成立．