4.5.1 函数的零点与方程的解
第1课时 函数的零点与方程的解—— (教学方式:深化学习课梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.
2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
(一)函数的零点
(1)函数零点的概念:对于一般函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:
|微|点|助|解|
(1)函数的零点是实数,而不是点,如函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0).
(2)不是所有的函数都有零点,如函数y=1,y=x2+1就没有零点.
(3)若函数y=f(x)有零点,则零点一定在函数的定义域内.
(4)求零点可转化为求对应方程的解. 不能用公式求解的方程,可以与函数联系起来,利用函数的图象和性质找零点,然后得到方程的解.
(二)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解.
|微|点|助|解|
(1)定理要求函数在闭区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0;
(2)闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件;
(3)该定理是用来判断函数的变号零点,比如y=x2,有零点为0,但是该零点的两侧函数值的符号相同,称为不变号零点.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若f(a)f(b)>0,则f(x)在[a,b]上无零点. ( )
(2)若f(x)在[a,b]上为单调函数,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点. ( )
(3)若f(x)在(a,b)内有且只有一个零点,则f(a)f(b)<0. ( )
2.下列各图象表示的函数中,没有零点的是 ( )
3.函数f(x)=log2x的零点是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为 ( )
A.(0,1) B.(-1,0)
C.(2,3) D.(1,2)
题型(一) 求函数的零点
[例1] (1)求函数f(x)=-x2-4x-4的零点;
(2)求函数f(x)=的零点.
听课记录:
|思|维|建|模| 探究函数零点的两种求法
代数法 求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点
几何法 与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点
[针对训练]
1.函数f(x)=的零点是 ( )
A.(-1,0),(1,0) B.-1,1
C.(-1,0) D.-1
2.设函数f(x)=21-x-4,g(x)=1-log2(x+3),则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为 .
题型(二) 函数零点所在区间的判定
[例2] 函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是 ( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.和(3,4) D.(e,+∞)
听课记录:
[例3] 若x0是方程ex+x=2的解,则x0属于区间 ( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
听课记录:
|思|维|建|模|
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
解方程法 当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上
利用函数零 点存在定理 首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点
数形 结合法 通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
[针对训练]
3.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x 1 2 3
f(x) 3.4 2.6 -3.7
则函数f(x)一定存在零点的区间是 ( )
A.(-∞,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,+∞)
4.函数f(x)=log3x-8+2x的零点一定位于区间 ( )
A.(5,6) B.(3,4)
C.(2,3) D.(1,2)
题型(三) 函数零点个数的判断
[例4] 函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
听课记录:
[例5] 已知函数f(x)=和函数g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是 .
听课记录:
|思|维|建|模|
判断函数零点个数的4种常用方法
(1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数.
(3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
[针对训练]
5.判断下列函数零点的个数.
(1)f(x)=x2-x+;
(2)f(x)=ln x+x2-3;
(3)f(x)=x2-.
第1课时 函数的零点与方程的解
课前预知教材
(一)(1)f(x)=0 (2)x轴 f(x)=0
(二)连续不断 f(a)f(b)<0 f(c)=0
[基础落实训练]
1.(1)× (2)√ (3)×
2.D 3.A 4.D
课堂题点研究
[例1] 解:(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2.所以函数的零点为-2.
(2)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;
当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.
所以函数f(x)=的零点为-3和e2.
[针对训练]
1.选B 由x+1=0且x≤0,得x=-1.由ln x=0且x>0,得x=1.所以函数f(x)的零点为x=±1.
2.解析:令f(x)=-4=0,解得x=-1,令g(x)=1-log2(x+3)=0,解得x=-1,所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为-2.
答案:-2
[例2] 选B ∵f(1)=-2<0,f(2)=ln 2-1<0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴在(1,2)内f(x)无零点.故排除A.∵f(3)=ln 3->0,∴f(2)f(3)<0. ∴f(x)在(2,3)内有一个零点.
[例3] 选C 构造函数f(x)=ex+x-2,由f(0)=-1,f(1)=e-1>0,显然函数f(x)是增函数,有且只有一个零点,则函数f(x)的零点在区间(0,1)内,所以方程ex+x=2的解在区间(0,1)内.
[针对训练]
3.选C 若f(x)在[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)上一定存在零点.因为f(2)>0,f(3)<0,所以f(x)在(2,3)上一定存在零点.
4.选B f(3)=log33-8+2×3=-1<0,f(4)=log34-8+2×4=log34>0.又因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以其零点一定位于区间(3,4).
[例4] 选C
由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞).由函数零点的定义知,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x-2|-ln x=0的根.令y1=|x-2|,y2=ln x(x>0),在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象.易知两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点.
[例5] 解析:
作出g(x)与f(x)的图象,如图,由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点,即h(x)有3个零点.
答案:3
[针对训练]
5.解:(1)由f(x)=x2-x+=0,
得Δ=-4×=-<0,
所以方程x2-x+=0没有实数根,即f(x)零点的个数为0.
(2)法一 因为函数对应的方程为ln x+x2-3=0,
所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系内,作出两函数的图象(如图).
由图象知,函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x+x2-3=0只有一个根,即函数f(x)=ln x+x2-3只有1个零点.
法二 因为f(1)=ln 1+12-3=-2<0,
f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,所以f(1)f(2)<0.又f(x)=ln x+x2-3的图象在[1,2]上是连续的,所以f(x)在(1,2)上必有零点.又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以只有1个零点.
(3)法一 令f(x)=x2-=0,得x2=,即x3=2,解得x=,故函数只有1个零点.
法二 令f(x)=x2-=0,得x2=,设g(x)=x2(x≠0),h(x)=(x≠0),在同一平面直角坐标系中画出函数y=g(x)与y=h(x)的图象,如图所示.由图象可知两个函数图象只有1个交点,故函数f(x)只有1个零点.(共68张PPT)
4.5.1
函数的零点与方程的解
函数的零点与方程的解
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1．了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系．
2．会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．
3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)函数的零点
(1)对于一般函数y＝f(x)，我们把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
f(x)＝0
|微|点|助|解|
(1)函数的零点是实数，而不是点，如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1,0)．
(2)不是所有的函数都有零点，如函数y＝1，y＝x2＋1就没有零点．
(3)若函数y＝f(x)有零点，则零点一定在函数的定义域内．
(4)求零点可转化为求对应方程的解. 不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解．
(二)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条__________的曲线，且有___________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得_________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
连续不断
f(a)f(b)<0
f(c)＝0
|微|点|助|解|
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0；
(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件；
(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点．
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若f(a)f(b)>0，则f(x)在[a，b]上无零点． ( )
(2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． ( )
(3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0. ( )
×
√
×
2．下列各图象表示的函数中，没有零点的是( )
√
解析：结合函数零点的定义可知选项D没有零点．
3．函数f(x)＝log2x的零点是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：令f(x)＝log2x＝0，解得x＝1.
√
4．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(2,3) D．(1,2)
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 求函数的零点
[例1] (1)求函数f(x)＝－x2－4x－4的零点；
解：令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2.
所以函数的零点为－2.
|思|维|建|模| 探究函数零点的两种求法
代数法 求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点
几何法 与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点
针对训练
解析：由x＋1＝0且x≤0，得x＝－1.由ln x＝0且x>0，得x＝1.所以函数f(x)的零点为x＝±1.
√
2．设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________．
解析：令f(x)＝21－x－4＝0，解得x＝－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.
－2
题型(二) 函数零点所在区间的判定
√
[例3] 若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是增函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)内，所以方程ex＋x＝2的解在区间(0,1)内．
√
|思|维|建|模|
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
解方程法 当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上
利用函数零点存在定理 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点
数形结合法 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
针对训练
3．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3
f(x) 3.4 2.6 －3.7
则函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(－∞，1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3，＋∞)
√
解析：若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)上一定存在零点．因为f(2)>0，f(3)<0，所以f(x)在(2,3)上一定存在零点．
4．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间( )
A．(5,6) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)
解析：f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.又因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)．
√
题型(三) 函数零点个数的判断
[例4] 函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
√
解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．由函数零点的定义知，f(x)在(0，＋∞)内的零点即是方程|x－2|－ln x＝0的根．令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象.易知两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．
3
解析：作出g(x)与f(x)的图象，如图，由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点．
|思|维|建|模|
判断函数零点个数的4种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题．
针对训练
(2)f(x)＝ln x＋x2－3；
解：法一 因为函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数．
在同一平面直角坐标系内，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3只有1个零点．
法二 因为f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)f(2)<0.
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在[1,2]上是连续的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点．
又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以只有1个零点．
由图象可知两个函数图象只有1个交点，
故函数f(x)只有1个零点．
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1．若函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
解析：因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0.解得b＝±2.
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2．(多选)下列图象表示的函数有两个零点的是( )
√
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解析：根据零点的定义，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标，选项A中与x轴没有交点，即函数没有零点；选项B中函数图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点；选项C、D中函数图象与x轴有两个交点，即函数有两个零点．
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解析:由f(x)=2x-,得f=-2<0,f(1)=2-1=1>0.即ff(1)<0.所以零点所在区间为.
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4．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：
x －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) －136 －21 6 19 13 －1 －8 －2 4 29 98
则下列判断正确的是( )
A．函数f(x)在区间(－1,0)内有零点
B．函数f(x)在区间(2,3)内有零点
C．函数f(x)在区间(5,6)内有零点
D．函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点
√
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解析：已知f(－1)f(0)<0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，又f(x)的图象连续不断，所以函数f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三个区间内均有零点，但不能断定有几个零点，故A、B、C正确，D不正确．
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5．已知函数f(x)在区间[a，b]上具有单调性，且图象是连续不断的，若f(a)f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．必有唯一的实数根
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解析：由题意知函数f(x)为连续函数，∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又函数f(x)在区间[a，b]上具有单调性，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]上必有唯一的实数根．
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7．已知函数f(x)＝－2x＋m的零点为4，则实数m的值为______．
解析：因为f(x)＝－2x＋m的零点为4，
所以－2×4＋m＝0，m＝8.
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9．(8分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点.
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；
解：令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1.所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)f(x)＝x4－x2；
解：令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1.
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
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(3)f(x)＝4x＋5；
解：令4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解．所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(4)f(x)＝log3(x＋1)．
解：令log3(x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
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10．(10分)已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
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(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．
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B级——重点培优
11．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．a
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解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a1
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解析：由f(x)－2|x|＝0可得f(x)＝2|x|，则方程f(x)－2|x|＝0的解的个数等于函数y＝2|x|与函数y＝f(x)的图象交点的个数，作出函数y＝2|x|与函数y＝f(x)的图象如图所示，由图可知，函数y＝2|x|与函数y＝f(x)的图象有且只有一个交点，即方程f(x)－2|x|＝0的解的个数为1.
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13．函数f(x)＝|2x－1|－3x的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
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作出f(x)的大致图象，如图所示，
方程f(x)＝a(a∈R)的根的个数，
即y＝f(x)与y＝a函数图象的交点个数.
(2)讨论方程f(x)＝a(a∈R)的根的个数．
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由图可知，当a>1或a<－1时，方程f(x)＝a的根的个数为1；当a＝±1时，方程f(x)＝a的根的个数为2；
当－11
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2课时跟踪检测(三十九) 函数的零点与方程的解
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若函数y=x2-bx+1有一个零点,则b的值为 ( )
A.2 B.-2
C.±2 D. 3
2.(多选)下列图象表示的函数有两个零点的是 ( )
3.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是 ( )
A.(1,+∞) B.
C. D.
4.(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的对应值表:
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) -136 -21 6 19 13 -1 -8 -2 4 29 98
则下列判断正确的是 ( )
A.函数f(x)在区间(-1,0)内有零点
B.函数f(x)在区间(2,3)内有零点
C.函数f(x)在区间(5,6)内有零点
D.函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点
5.已知函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,且图象是连续不断的,若f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上 ( )
A.至少有一实数根 B.至多有一实数根
C.没有实数根 D.必有唯一的实数根
6.函数f(x)=ln x-的零点的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
7.已知函数f(x)=-2x+m的零点为4,则实数m的值为 .
8.函数f(x)=的零点是 .
9.(8分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出其零点.
(1)f(x)=-x2+2x-1;(2)f(x)=x4-x2;
(3)f(x)=4x+5;(4)f(x)=log3(x+1).
10.(10分)已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.
(1)若函数的两个零点是-1和-3,求k的值;
(2)若函数的两个零点是α和β,求α2+β2的取值范围.
B级——重点培优
11.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.a12.已知函数f(x)=则方程f(x)-2|x|=0的解的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
13.函数f(x)=|2x-1|-3x的零点个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
14.(12分)已知奇函数f(x)=
(1)求实数m的值;
(2)讨论方程f(x)=a(a∈R)的根的个数.
15.(12分)已知函数f(x)=2x,g(x)=log2x.
(1)若x0是方程f(x)=-x的根,求证:是方程g(x)=-x的根;
(2)设方程f(x-1)=-x,g(x-1)=-x的根分别是x1,x2,求x1+x2的值.
课时跟踪检测(三十九)
1.选C 因为函数有一个零点,所以Δ=b2-4=0.解得b=±2.
2.选CD 根据零点的定义,零点是函数图象与x轴的交点的横坐标,选项A中与x轴没有交点,即函数没有零点;选项B中函数图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点;选项C、D中函数图象与x轴有两个交点,即函数有两个零点.
3.选B 由f(x)=2x-,得f=-2<0,f(1)=2-1=1>0.即ff(1)<0.所以零点所在区间为.
4.选ABC 已知f(-1)f(0)<0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0,又f(x)的图象连续不断,所以函数f(x)在(-1,0),(2,3),(5,6)三个区间内均有零点,但不能断定有几个零点,故A、B、C正确,D不正确.
5.选D 由题意知函数f(x)为连续函数,∵f(a)·f(b)<0,∴函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点.又函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,∴函数f(x)在区间[a,b]上至多有一个零点,故函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点,即方程f(x)=0在区间[a,b]上必有唯一的实数根.
6.选C 如图,画出y=ln x与y=的图象.由图象知函数f(x)在(0,1)内有1个零点,在(1,+∞)上有一个零点,故函数f(x)=ln x-的零点有2个.
7.解析:因为f(x)=-2x+m的零点为4,所以-2×4+m=0,m=8.
答案:8
8.解析:令f(x)=0,即=0,即x-1=0或ln x=0,解得x=1.故函数f(x)的零点为1.
答案:1
9.解:(1)令-x2+2x-1=0,解得x1=x2=1.所以函数f(x)=-x2+2x-1的零点为1.
(2)令f(x)=x2(x-1)(x+1)=0,
解得x=0或x=1或x=-1.
故函数f(x)=x4-x2的零点为0,-1和1.
(3)令4x+5=0,则4x=-5,
因为4x>0,-5<0,所以方程4x+5=0无实数解.所以函数f(x)=4x+5不存在零点.
(4)令log3(x+1)=0,解得x=0.
所以函数f(x)=log3(x+1)的零点为0.
10.解:(1)-1和-3是函数f(x)的两个零点,故-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根.
则解得k=-2.
(2)函数的两个零点为α和β,则α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两根.
所以
则-4≤k≤-,且α2+β2=(α+β)2-2αβ=-k2-10k-6在-4≤k≤-上单调递减, 所以α2+β2在区间上的最大值是18,最小值是.
11.选D 画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示,
观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a12.选B 由f(x)-2|x|=0可得f(x)=2|x|,则方程f(x)-2|x|=0的解的个数等于函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象交点的个数,作出函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象如图所示,由图可知,函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点,即方程f(x)-2|x|=0的解的个数为1.
13.选A 当x>0时,则3x>2x>1,即2x-1>0,3x-2x>0,可得f(x)=-3x=2x-3x-1<-1<0,所以f(x)在内无零点;当x≤0时,则2x≤1,即2x-1≤0,可得f(x)=-3x=-2x-3x+1,因为y=2x,y=3x在R上单调递增,则f(x)在上单调递减,且f(0)=-1<0,f=--+1=>0,所以f(x)在内有且仅有一个零点.综上所述,函数f(x)=|2x-1|-3x的零点个数为1.
14.解:(1)因为f(x)=为奇函数,
所以f(-x)+f(x)=0对任意x∈R恒成立.
不妨设x>0,则-x<0,所以(-x)2+m(-x)-x2+2x=0.解得m=2.
(2)由(1)可得,f(x)=
作出f(x)的大致图象,如图所示,
方程f(x)=a(a∈R)的根的个数,即y=f(x)与y=a函数图象的交点个数.
由图可知,当a>1或a<-1时,方程f(x)=a的根的个数为1;当a=±1时,方程f(x)=a的根的个数为2;当-115.解:(1)证明:因为x0是方程f(x)=-x的根,所以=-x0,即x0=-,
则g()=log2=x0=-,
所以是方程g(x)=-x的根.
(2)由题意知,方程2x-1=-x,log2(x-1)=-x的根分别是x1,x2,
即方程2x-1=-(x-1),log2(x-1)=-(x-1)的根分别为x1,x2.
令t=x-1,则方程2t=-t,log2t=-t的根分别为t1=x1-1,t2=x2-1.
由(1)知t1是方程2t=-t的根,
则是方程log2t=-t的根.
令h(t)=log2t+t-,则是h(t)的零点.
又因为h(t)是(0,+∞)上的增函数,
所以是h(t)的唯一零点,
即是方程log2t=-t的唯一根,所以=t2,所以t1+t2=t1+=,即(x1-1)+(x2-1)=,所以x1+x2=+2=.