第2课时 函数的零点与方程的解的应用
(教学方式:拓展融通课习题讲评式教学)
[课时目标]
进一步应用函数零点存在定理,已知函数零点(方程的解)的情况求参数范围,掌握一元二次方程根的分布情况.
题型(一) 根据零点所在区间求参数范围
[例1] 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,且x0∈(1,2),则a的取值范围是 ( )
A.(-2,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(-3,-2)
听课记录:
|思|维|建|模|
由函数零点所在区间求参数一般有2种方法
(1)利用函数零点存在定理:首先判断函数的单调性,然后利用函数零点存在定理求解.
(2)数形结合法:构造两个函数,作出两函数的大致图象,数形结合法求解.
[针对训练]
1.若方程xlg(x+2)=1的实数根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k等于 ( )
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0
2.若函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是 .
题型(二) 根据零点个数求参数范围
[例2] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是 .
听课记录:
|思|维|建|模|
根据函数零点的个数求参数的范围的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围
分离 参数法 先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决
数形 结合法 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,把函数零点的个数问题转化为函数图象的交点个数求解
[针对训练]
3.设c∈R,函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点,则c的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.{0}∪[1,+∞)
C. D.{0}∪
4.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是 .
题型(三) 一元二次方程根的分布问题
[例3] 已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.
(1)若方程有两个实根,且一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围;
(2)若方程有两个实根α,β,且满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围;
(3)若方程至少有一个正根,求实数m的取值范围.
听课记录:
|思|维|建|模|
一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交点的情况,先将函数草图上下平移,确定根的个数,用判别式限制,再左右平移,确定对称轴有无超过区间,或是根据根的正负问题,用根与系数的关系进行限制.
[针对训练]
5.已知函数f(x)=2x-4x-m,x∈[-1,1].
(1)当m=-2时,求函数f(x)的零点;
(2)若函数f(x)在[-1,1]上有零点,求实数m的取值范围.
第2课时 函数的零点与方程的解的应用
[例1] 选D 因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,
所以
解得所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x=x(x-1)(x+a+1),所以x0=-1-a,又x0∈(1,2),所以1<-1-a<2,解得-3
[针对训练]
1.选C
由题意知x≠0,则原方程即为lg(x+2)=,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=的图象,如图所示,由图象可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上,所以k=-2或k=1.
2.解析:由题意可知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增.又函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,
∴f(1)=1-+a<0,即a<-.
答案:
[例2] 解析:函数f(x)=
的图象如图所示,
函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与直线y=k有两个不同的交点,由图知实数k的取值范围是.
答案:
[针对训练]
3.选D
画出函数g(x)=的图象如图所示,函数f(x)=可由g(x)=分段平移得到,易知当c=0时,函数f(x)恰有一个零点,满足题意;当c<0时,代表图象向上平移,显然没有零点,不符合题意;当c>0时,图象向下平移,当0<2c<1时,f(x)有两个零点;当2c≥1时,f(x)恰有一个零点,满足题意,即c≥.综上,c的取值范围是{0}∪.
4.解析:
因为y=f(x)有两个零点,所以|2x-2|-b=0有两个实根,则|2x-2|=b有两个实根.令y1=|2x-2|,y2=b,结合图可知b∈(0,2)时,y1=|2x-2|与y2=b的图象有两个交点.
答案:(0,2)
[例3] 解:设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6.
(1)f(x)的大致图象如图1所示,∴f(2)<0,
即4+4(m-1)+2m+6<0,得m<-1,
∴实数m的取值范围为(-∞,-1).
(2)
f(x)的大致图象如图2所示,
∴
解得-∴实数m的取值范围为.
(3)方程至少有一个正根,则有三种可能的情况,
①只有一个正根或有两个正根,此时如图3,
可得即
∴-3②有一个正根,一个负根,此时如图4,
可得f(0)<0,得m<-3.
③有一个正根,另一根为0,此时如图5,
可得∴m=-3.
综上所述,当方程至少有一个正根时,实数m的取值范围为(-∞,-1].
[针对训练]
5.解:(1)当m=-2时,f(x)=2x-4x+2,得2x-4x+2=0.∴2x=2或2x=-1(舍去),解得x=1.∴函数f(x)的零点为x=1.
(2)f(x)=2x-4x-m=0 2x-4x=m,
令g(x)=2x-4x,x∈[-1,1],
函数f(x)有零点等价于方程2x-4x=m有解,等价于m在g(x)的值域内,
设t=2x,∵x∈[-1,1],∴t∈,
则t-t2=-+,当t=时,
g(x)max=,当t=2时,g(x)min=-2.
∴g(x)的值域为.
∴实数m的取值范围为.(共63张PPT)
函数的零点与方程的解的应用
—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
进一步应用函数零点存在定理，已知函数零点(方程的解)的情况求参数范围，掌握一元二次方程根的分布情况．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 根据零点所在区间求参数范围
题型(二) 根据零点个数求参数范围
题型(三) 一元二次方程根的分布问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 根据零点所在区间求参数范围
01
[例1] 若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0,1，x0，且x0∈(1,2)，则a的取值范围是( )
A．(－2,0) B．(1,2)
C．(2,3) D．(－3，－2)
√
|思|维|建|模|
由函数零点所在区间求参数一般有2种方法
(1)利用函数零点存在定理：首先判断函数的单调性，然后利用函数零点存在定理求解．
(2)数形结合法：构造两个函数，作出两函数的大致图象，数形结合法求解．
针对训练
1．若方程xlg(x＋2)＝1的实数根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．0
√
2.若函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是 .
解析:由题意可知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增.又函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,
∴f(1)=1-+a<0,即a<-.
题型(二) 根据零点个数求
参数范围
02
[例2] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同
的零点,则实数k的取值范围是 .
解析:函数f(x)=的图象如图所示,
|思|维|建|模|
根据函数零点的个数求参数的范围的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围
分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，把函数零点的个数问题转化为函数图象的交点个数求解
针对训练
√
4．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
(0,2)
解析：因为y＝f(x)有两个零点，所以|2x－2|－b＝0有两个实根，则|2x－2|＝b有两个实根．令y1＝|2x－2|，y2＝b，结合图可知b∈(0,2)时，y1＝|2x－2|与y2＝b的图象有两个交点．
题型(三) 一元二次方程根的
分布问题
03
[例3] 已知关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0.
(1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围；
解：设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6.
f(x)的大致图象如图1所示，
∴f(2)<0，
即4＋4(m－1)＋2m＋6<0，
得m<－1，
∴实数m的取值范围为(－∞，－1)．
(2)若方程有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4，求实数m的取值范围；
解：f(x)的大致图象如图2所示，
(3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围．
②有一个正根，一个负根，此时如图4，
可得f(0)<0，得m<－3.
③有一个正根，另一根为0，此时如图5，
|思|维|建|模|
一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负问题，用根与系数的关系进行限制．
针对训练
5．已知函数f(x)＝2x－4x－m，x∈[－1,1]．
(1)当m＝－2时，求函数f(x)的零点；
解：当m＝－2时，f(x)＝2x－4x＋2，得2x－4x＋2＝0.
∴2x＝2或2x＝－1(舍去)，解得x＝1.
∴函数f(x)的零点为x＝1.
(2)若函数f(x)在[－1,1]上有零点，求实数m的取值范围．
课时跟踪检测
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√
A级——达标评价
1．若函数f(x)＝x2－2x＋a在(0,2)上有两个零点，则a的取值范围为( )
A．(0,2) B．(0,1)
C．(1,2) D．(－∞，1)
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√
3．若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则a的取值范围是( )
A．(0,3) B．[0,3]
C．(－3,0) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
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√
4.若关于x的方程x=在区间(0,1)内有解,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
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解析:∵函数y=x在区间(0,1)内的值域为(0,+∞),∴>0,即<0.解得01
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√
5.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(0,1]
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解析：画出函数f(x)的图象，由图象知，当0＜k≤1时，y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)＝k有两个不等实根，所以0＜k≤1，故选D.
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6．已知函数f(x)＝ln x－m的零点位于区间(1，e)内，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意，令f(x)＝ln x－m＝0，得m＝ln x，
因为x∈(1，e)，所以ln x∈(0,1)，故m∈(0,1)．
(0,1)
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7．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是__________.
(－12,0)
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解析：令g(x)＝f(x)－k＝0，可得f(x)＝k，作出y＝f(x)的图象，如图.
由图可知，当y＝k与y＝f(x)的图象有三个不同的交点时，－11
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9．(10分)函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．
解：由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，
因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，
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观察图象可知，0所以实数a的取值范围是(1,2)．
画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，
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10．(12分)已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
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(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
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解：由题意知，0是方程－3x2＋2x－m＋1＝0的根，
故有1－m＝0，解得m＝1.
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B级——重点培优
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作出f(x)的图象，利用数形结合思想可知，当a∈(0,1]∪(2，＋∞)时，f(x)与y＝a的图象有两个交点．故选B.
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12.若关于x的方程=a+1有解,则a的取值范围是( )
A.(0,1] B.(-1,0]
C.[1,+∞) D.(0,+∞)
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解析:关于x的方程=a+1有解,即y=与y=a+1的图象有交点,画出y=与y=a+1的图象如图,则a+1∈(0,1],则a∈(-1,0].故选B.
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解析：因为存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，故函数不是单调函数，又y＝x＋1与y＝2x的图象交于点(0,1)和(1,2)，画出图象如图所示，由图可知，当01
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(2)求证：函数f(x)＝x2＋3x在(0,1)上存在漂移点；
解：证明：令h(x)＝f(x＋1)－f(x)－f(1)＝(x＋1)2＋3x＋1－(x2＋3x)－4＝2×3x＋2x－3，
所以h(0)＝－1，h(1)＝5.所以h(0)h(1)<0.
又h(x)在(0,1)上连续，
所以h(x)＝0在(0,1)上至少有一个实根x0，
即函数f(x)＝x2＋3x在(0,1)上存在漂移点．
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解:若f(x)=lg在(0,+∞)上有飘移点x0,
所以lg=lg+lg a成立,
即=·a,a>0,
整理得a==,
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2课时跟踪检测(四十) 函数的零点与方程的解的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围为 ( )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-∞,1)
2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.(-∞,-1)∪
3.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,则a的取值范围是 ( )
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
4.若关于x的方程x=在区间(0,1)内有解,则实数m的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
5.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是 ( )
A.(0,+∞) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(0,1]
6.已知函数f(x)=ln x-m的零点位于区间(1,e)内,则实数m的取值范围是 .
7.若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是 .
8.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则k的取值范围是 .
9.(10分)函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,求实数a的取值范围.
10.(12分)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点;
(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.
B级——重点培优
11.已知函数f(x)=若F(x)=f(x)-a的零点个数为2,则实数a的取值范围为 ( )
A.(0,1] B.(0,1]∪(2,+∞)
C.(0,1) D.(2,+∞)
12.若关于x的方程=a+1有解,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1] B.(-1,0]
C.[1,+∞) D.(0,+∞)
13.已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是 .
14.已知f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0仅有一解,则a的取值范围是 .
15.(14分)若在定义域内存在实数x0使f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数有“漂移点”x0.
(1)判断函数f(x)=是否有漂移点,并说明理由;
(2)求证:函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点;
(3)若函数f(x)=lg在(0,+∞)上有漂移点,求实数a的取值集合.
课时跟踪检测(四十)
1.选B 函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,函数f(x)的图象的对称轴为x=1,可得即解得02.选B 因为函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,且此函数是连续函数,所以f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,解得-13.选A 因为方程-x2+ax+4=0有两根,一个大于2,另一个小于-1,所以函数 f(x)=-x2+ax+4有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,由二次函数的图象可知,
即解得04.选A ∵函数y=x在区间(0,1)内的值域为(0,+∞),∴>0,即<0.解得05.选D 画出函数f(x)的图象,由图象知,当06.解析:由题意,令f(x)=ln x-m=0,得m=ln x,因为x∈(1,e),所以ln x∈(0,1),故m∈(0,1).
答案:(0,1)
7.解析:∵f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,
∴即解得-12答案:(-12,0)
8.解析:令g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,作出y=f(x)的图象,如图.
由图可知,当y=k与y=f(x)的图象有三个不同的交点时,-1答案:(-1,1)
9.解:由f(x)=0得a-1=2|x|-x2,
因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点,
画出函数y=2|x|-x2的图象,如图所示,
观察图象可知,0所以实数a的取值范围是(1,2).
10.解:(1)函数有两个零点,
则方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,易知Δ>0,即4+12(1-m)>0,解得m<.由Δ=0,解得m=;由Δ<0,解得m>.故当m<时,函数有两个零点;当m=时,函数有一个零点;
当m>时,函数无零点.
(2)由题意知,0是方程-3x2+2x-m+1=0的根,故有1-m=0,解得m=1.11.选B
由题知,函数f(x)=
作出f(x)的图象,利用数形结合思想可知,当a∈(0,1]∪(2,+∞)时,f(x)与y=a的图象有两个交点.故选B.
12.选B 关于x的方程
=a+1有解,即y=与y=a+1的图象有交点,画出y=与y=a+1的图象如图,
则a+1∈(0,1],则a∈(-1,0].故选B.
13.解析:因为存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),故函数不是单调函数,又y=x+1与y=2x的图象交于点(0,1)和(1,2),画出图象如图所示,由图可知,当0答案:(0,1)
14.解析:若a=0,则方程f(f(x))=0有无数个解,故a≠0.∵f(f(x))=0,∴lg f(x)=0或=0(舍去),∴f(x)=1,∴lg x=1或=1,∴x=10或a=x-1.∵关于x的方程f(f(x))=0仅有一解,∴a=x-1在x≤0上无解,∴a>-1.综上所述, a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
答案:(-1,0)∪(0,+∞)
15.解:(1)假设函数f(x)=有飘移点 x0,
则=+2,即+x0+1=0,由此方程无实根,与题设矛盾,所以函数f(x)=没有飘移点.
(2)证明:令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=(x+1)2+3x+1-(x2+3x)-4=2×3x+2x-3,所以h(0)=-1,h(1)=5.
所以h(0)h(1)<0.又h(x)在(0,1)上连续,
所以h(x)=0在(0,1)上至少有一个实根x0,
即函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点.
(3)若f(x)=lg在(0,+∞)上有飘移点x0,
所以lg=lg+lg a成立,即=·a,a>0,
整理得a==,
由x0>0,得0<<1,则0则实数a的取值集合是{a|0