4.5.1 第 2 课时 函数的零点与方程的解的应用(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册

文档属性

名称 4.5.1 第 2 课时 函数的零点与方程的解的应用(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册
格式 zip
文件大小 1.6MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-08 21:07:58

文档简介

第2课时 函数的零点与方程的解的应用
(教学方式:拓展融通课习题讲评式教学)
[课时目标] 
进一步应用函数零点存在定理,已知函数零点(方程的解)的情况求参数范围,掌握一元二次方程根的分布情况.
题型(一) 根据零点所在区间求参数范围
[例1] 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,且x0∈(1,2),则a的取值范围是 (  )
A.(-2,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(-3,-2)
听课记录:
  |思|维|建|模|
  由函数零点所在区间求参数一般有2种方法
(1)利用函数零点存在定理:首先判断函数的单调性,然后利用函数零点存在定理求解.
(2)数形结合法:构造两个函数,作出两函数的大致图象,数形结合法求解.
  [针对训练]
1.若方程xlg(x+2)=1的实数根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k等于 (  )
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0
2.若函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是    .
题型(二) 根据零点个数求参数范围
[例2] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是    .
听课记录:
|思|维|建|模|
根据函数零点的个数求参数的范围的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围
分离 参数法 先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决
数形 结合法 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,把函数零点的个数问题转化为函数图象的交点个数求解
  [针对训练]
3.设c∈R,函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点,则c的取值范围是 (  )
A.(0,1) B.{0}∪[1,+∞)
C. D.{0}∪
4.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是    .
题型(三) 一元二次方程根的分布问题
[例3] 已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.
(1)若方程有两个实根,且一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围;
(2)若方程有两个实根α,β,且满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围;
(3)若方程至少有一个正根,求实数m的取值范围.
听课记录:
  |思|维|建|模|
  一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交点的情况,先将函数草图上下平移,确定根的个数,用判别式限制,再左右平移,确定对称轴有无超过区间,或是根据根的正负问题,用根与系数的关系进行限制.
  [针对训练]
5.已知函数f(x)=2x-4x-m,x∈[-1,1].
(1)当m=-2时,求函数f(x)的零点;
(2)若函数f(x)在[-1,1]上有零点,求实数m的取值范围.
第2课时 函数的零点与方程的解的应用
[例1] 选D 因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,
所以
解得所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x=x(x-1)(x+a+1),所以x0=-1-a,又x0∈(1,2),所以1<-1-a<2,解得-3[针对训练]
1.选C 
由题意知x≠0,则原方程即为lg(x+2)=,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=的图象,如图所示,由图象可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上,所以k=-2或k=1.
2.解析:由题意可知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增.又函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,
∴f(1)=1-+a<0,即a<-.
答案:
[例2] 解析:函数f(x)=
的图象如图所示,
函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与直线y=k有两个不同的交点,由图知实数k的取值范围是.
答案:
[针对训练]
3.选D 
画出函数g(x)=的图象如图所示,函数f(x)=可由g(x)=分段平移得到,易知当c=0时,函数f(x)恰有一个零点,满足题意;当c<0时,代表图象向上平移,显然没有零点,不符合题意;当c>0时,图象向下平移,当0<2c<1时,f(x)有两个零点;当2c≥1时,f(x)恰有一个零点,满足题意,即c≥.综上,c的取值范围是{0}∪.
4.解析:
因为y=f(x)有两个零点,所以|2x-2|-b=0有两个实根,则|2x-2|=b有两个实根.令y1=|2x-2|,y2=b,结合图可知b∈(0,2)时,y1=|2x-2|与y2=b的图象有两个交点.
答案:(0,2)
[例3] 解:设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6.
(1)f(x)的大致图象如图1所示,∴f(2)<0,
即4+4(m-1)+2m+6<0,得m<-1,
∴实数m的取值范围为(-∞,-1).
(2)
f(x)的大致图象如图2所示,

解得-∴实数m的取值范围为.
(3)方程至少有一个正根,则有三种可能的情况,
①只有一个正根或有两个正根,此时如图3,
可得即
∴-3②有一个正根,一个负根,此时如图4,
可得f(0)<0,得m<-3.
③有一个正根,另一根为0,此时如图5,
可得∴m=-3.
综上所述,当方程至少有一个正根时,实数m的取值范围为(-∞,-1].
[针对训练]
5.解:(1)当m=-2时,f(x)=2x-4x+2,得2x-4x+2=0.∴2x=2或2x=-1(舍去),解得x=1.∴函数f(x)的零点为x=1.
(2)f(x)=2x-4x-m=0 2x-4x=m,
令g(x)=2x-4x,x∈[-1,1],
函数f(x)有零点等价于方程2x-4x=m有解,等价于m在g(x)的值域内,
设t=2x,∵x∈[-1,1],∴t∈,
则t-t2=-+,当t=时,
g(x)max=,当t=2时,g(x)min=-2.
∴g(x)的值域为.
∴实数m的取值范围为.(共63张PPT)
函数的零点与方程的解的应用
—— (教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
进一步应用函数零点存在定理,已知函数零点(方程的解)的情况求参数范围,掌握一元二次方程根的分布情况.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 根据零点所在区间求参数范围
题型(二) 根据零点个数求参数范围
题型(三) 一元二次方程根的分布问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 根据零点所在区间求参数范围
01
[例1] 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,且x0∈(1,2),则a的取值范围是(  )
A.(-2,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(-3,-2)

|思|维|建|模|
由函数零点所在区间求参数一般有2种方法
(1)利用函数零点存在定理:首先判断函数的单调性,然后利用函数零点存在定理求解.
(2)数形结合法:构造两个函数,作出两函数的大致图象,数形结合法求解.
针对训练
1.若方程xlg(x+2)=1的实数根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k等于(  )
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0

2.若函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是     .
解析:由题意可知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增.又函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,
∴f(1)=1-+a<0,即a<-.
题型(二) 根据零点个数求
参数范围
02
[例2] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同
的零点,则实数k的取值范围是    .
解析:函数f(x)=的图象如图所示,
|思|维|建|模|
根据函数零点的个数求参数的范围的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围
分离参数法 先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决
数形结合法 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,把函数零点的个数问题转化为函数图象的交点个数求解
针对训练

4.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.
(0,2)
解析:因为y=f(x)有两个零点,所以|2x-2|-b=0有两个实根,则|2x-2|=b有两个实根.令y1=|2x-2|,y2=b,结合图可知b∈(0,2)时,y1=|2x-2|与y2=b的图象有两个交点.
题型(三) 一元二次方程根的
分布问题
03
[例3] 已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.
(1)若方程有两个实根,且一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围;
解:设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6.
f(x)的大致图象如图1所示,
∴f(2)<0,
即4+4(m-1)+2m+6<0,
得m<-1,
∴实数m的取值范围为(-∞,-1).
(2)若方程有两个实根α,β,且满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围;
解:f(x)的大致图象如图2所示,
(3)若方程至少有一个正根,求实数m的取值范围.
②有一个正根,一个负根,此时如图4,
可得f(0)<0,得m<-3.
③有一个正根,另一根为0,此时如图5,
|思|维|建|模|
一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交点的情况,先将函数草图上下平移,确定根的个数,用判别式限制,再左右平移,确定对称轴有无超过区间,或是根据根的正负问题,用根与系数的关系进行限制.
针对训练
5.已知函数f(x)=2x-4x-m,x∈[-1,1].
(1)当m=-2时,求函数f(x)的零点;
解:当m=-2时,f(x)=2x-4x+2,得2x-4x+2=0.
∴2x=2或2x=-1(舍去),解得x=1.
∴函数f(x)的零点为x=1.
(2)若函数f(x)在[-1,1]上有零点,求实数m的取值范围.
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A级——达标评价
1.若函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围为(  )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-∞,1)
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3.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,则a的取值范围是(  )
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
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4.若关于x的方程x=在区间(0,1)内有解,则实数m的取值范围是(  )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
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解析:∵函数y=x在区间(0,1)内的值域为(0,+∞),∴>0,即<0.解得01
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5.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是(  )
A.(0,+∞) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(0,1]
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解析:画出函数f(x)的图象,由图象知,当0<k≤1时,y=k与y=f(x)的图象有两个交点,此时方程f(x)=k有两个不等实根,所以0<k≤1,故选D.
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6.已知函数f(x)=ln x-m的零点位于区间(1,e)内,则实数m的取值范围是________.
解析:由题意,令f(x)=ln x-m=0,得m=ln x,
因为x∈(1,e),所以ln x∈(0,1),故m∈(0,1).
(0,1)
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7.若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是__________.
(-12,0)
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解析:令g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,作出y=f(x)的图象,如图.
由图可知,当y=k与y=f(x)的图象有三个不同的交点时,-11
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9.(10分)函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,求实数a的取值范围.
解:由f(x)=0得a-1=2|x|-x2,
因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,
所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点,
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观察图象可知,0所以实数a的取值范围是(1,2).
画出函数y=2|x|-x2的图象,如图所示,
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10.(12分)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点;
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(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.
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解:由题意知,0是方程-3x2+2x-m+1=0的根,
故有1-m=0,解得m=1.
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作出f(x)的图象,利用数形结合思想可知,当a∈(0,1]∪(2,+∞)时,f(x)与y=a的图象有两个交点.故选B.
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12.若关于x的方程=a+1有解,则a的取值范围是(  )
A.(0,1] B.(-1,0]
C.[1,+∞) D.(0,+∞)
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解析:关于x的方程=a+1有解,即y=与y=a+1的图象有交点,画出y=与y=a+1的图象如图,则a+1∈(0,1],则a∈(-1,0].故选B.
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解析:因为存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),故函数不是单调函数,又y=x+1与y=2x的图象交于点(0,1)和(1,2),画出图象如图所示,由图可知,当01
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(2)求证:函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点;
解:证明:令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=(x+1)2+3x+1-(x2+3x)-4=2×3x+2x-3,
所以h(0)=-1,h(1)=5.所以h(0)h(1)<0.
又h(x)在(0,1)上连续,
所以h(x)=0在(0,1)上至少有一个实根x0,
即函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点.
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解:若f(x)=lg在(0,+∞)上有飘移点x0,
所以lg=lg+lg a成立,
即=·a,a>0,
整理得a==,
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2课时跟踪检测(四十) 函数的零点与方程的解的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围为 (  )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-∞,1)
2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是 (  )
A.
B.
C.
D.(-∞,-1)∪
3.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,则a的取值范围是 (  )
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
4.若关于x的方程x=在区间(0,1)内有解,则实数m的取值范围是 (  )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
5.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是 (  )
A.(0,+∞) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(0,1]
6.已知函数f(x)=ln x-m的零点位于区间(1,e)内,则实数m的取值范围是    .
7.若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是    .
8.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则k的取值范围是    .
9.(10分)函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,求实数a的取值范围.
10.(12分)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点;
(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.
B级——重点培优
11.已知函数f(x)=若F(x)=f(x)-a的零点个数为2,则实数a的取值范围为 (  )
A.(0,1] B.(0,1]∪(2,+∞)
C.(0,1) D.(2,+∞)
12.若关于x的方程=a+1有解,则a的取值范围是 (  )
A.(0,1] B.(-1,0]
C.[1,+∞) D.(0,+∞)
13.已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是    .
14.已知f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0仅有一解,则a的取值范围是    .
15.(14分)若在定义域内存在实数x0使f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数有“漂移点”x0.
(1)判断函数f(x)=是否有漂移点,并说明理由;
(2)求证:函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点;
(3)若函数f(x)=lg在(0,+∞)上有漂移点,求实数a的取值集合.
课时跟踪检测(四十)
1.选B 函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,函数f(x)的图象的对称轴为x=1,可得即解得02.选B 因为函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,且此函数是连续函数,所以f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,解得-13.选A 因为方程-x2+ax+4=0有两根,一个大于2,另一个小于-1,所以函数 f(x)=-x2+ax+4有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,由二次函数的图象可知,
即解得04.选A ∵函数y=x在区间(0,1)内的值域为(0,+∞),∴>0,即<0.解得05.选D 画出函数f(x)的图象,由图象知,当06.解析:由题意,令f(x)=ln x-m=0,得m=ln x,因为x∈(1,e),所以ln x∈(0,1),故m∈(0,1).
答案:(0,1)
7.解析:∵f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,
∴即解得-12答案:(-12,0)
8.解析:令g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,作出y=f(x)的图象,如图.
由图可知,当y=k与y=f(x)的图象有三个不同的交点时,-1答案:(-1,1)
9.解:由f(x)=0得a-1=2|x|-x2,
因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点,
画出函数y=2|x|-x2的图象,如图所示,
观察图象可知,0所以实数a的取值范围是(1,2).
10.解:(1)函数有两个零点,
则方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,易知Δ>0,即4+12(1-m)>0,解得m<.由Δ=0,解得m=;由Δ<0,解得m>.故当m<时,函数有两个零点;当m=时,函数有一个零点;
当m>时,函数无零点.
(2)由题意知,0是方程-3x2+2x-m+1=0的根,故有1-m=0,解得m=1.11.选B 
由题知,函数f(x)=
作出f(x)的图象,利用数形结合思想可知,当a∈(0,1]∪(2,+∞)时,f(x)与y=a的图象有两个交点.故选B.
12.选B 关于x的方程
=a+1有解,即y=与y=a+1的图象有交点,画出y=与y=a+1的图象如图,
则a+1∈(0,1],则a∈(-1,0].故选B.
13.解析:因为存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),故函数不是单调函数,又y=x+1与y=2x的图象交于点(0,1)和(1,2),画出图象如图所示,由图可知,当0答案:(0,1)
14.解析:若a=0,则方程f(f(x))=0有无数个解,故a≠0.∵f(f(x))=0,∴lg f(x)=0或=0(舍去),∴f(x)=1,∴lg x=1或=1,∴x=10或a=x-1.∵关于x的方程f(f(x))=0仅有一解,∴a=x-1在x≤0上无解,∴a>-1.综上所述, a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
答案:(-1,0)∪(0,+∞)
15.解:(1)假设函数f(x)=有飘移点 x0,
则=+2,即+x0+1=0,由此方程无实根,与题设矛盾,所以函数f(x)=没有飘移点.
(2)证明:令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=(x+1)2+3x+1-(x2+3x)-4=2×3x+2x-3,所以h(0)=-1,h(1)=5.
所以h(0)h(1)<0.又h(x)在(0,1)上连续,
所以h(x)=0在(0,1)上至少有一个实根x0,
即函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点.
(3)若f(x)=lg在(0,+∞)上有飘移点x0,
所以lg=lg+lg a成立,即=·a,a>0,
整理得a==,
由x0>0,得0<<1,则0则实数a的取值集合是{a|0