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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
4.5.1 第 2 课时 函数的零点与方程的解的应用(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册
文档属性
名称
4.5.1 第 2 课时 函数的零点与方程的解的应用(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册
格式
zip
文件大小
1.6MB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-07-08 21:07:58
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文档简介
第2课时 函数的零点与方程的解的应用
(教学方式:拓展融通课习题讲评式教学)
[课时目标]
进一步应用函数零点存在定理,已知函数零点(方程的解)的情况求参数范围,掌握一元二次方程根的分布情况.
题型(一) 根据零点所在区间求参数范围
[例1] 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,且x0∈(1,2),则a的取值范围是 ( )
A.(-2,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(-3,-2)
听课记录:
|思|维|建|模|
由函数零点所在区间求参数一般有2种方法
(1)利用函数零点存在定理:首先判断函数的单调性,然后利用函数零点存在定理求解.
(2)数形结合法:构造两个函数,作出两函数的大致图象,数形结合法求解.
[针对训练]
1.若方程xlg(x+2)=1的实数根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k等于 ( )
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0
2.若函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是 .
题型(二) 根据零点个数求参数范围
[例2] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是 .
听课记录:
|思|维|建|模|
根据函数零点的个数求参数的范围的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围
分离 参数法 先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决
数形 结合法 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,把函数零点的个数问题转化为函数图象的交点个数求解
[针对训练]
3.设c∈R,函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点,则c的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.{0}∪[1,+∞)
C. D.{0}∪
4.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是 .
题型(三) 一元二次方程根的分布问题
[例3] 已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.
(1)若方程有两个实根,且一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围;
(2)若方程有两个实根α,β,且满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围;
(3)若方程至少有一个正根,求实数m的取值范围.
听课记录:
|思|维|建|模|
一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交点的情况,先将函数草图上下平移,确定根的个数,用判别式限制,再左右平移,确定对称轴有无超过区间,或是根据根的正负问题,用根与系数的关系进行限制.
[针对训练]
5.已知函数f(x)=2x-4x-m,x∈[-1,1].
(1)当m=-2时,求函数f(x)的零点;
(2)若函数f(x)在[-1,1]上有零点,求实数m的取值范围.
第2课时 函数的零点与方程的解的应用
[例1] 选D 因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,
所以
解得所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x=x(x-1)(x+a+1),所以x0=-1-a,又x0∈(1,2),所以1<-1-a<2,解得-3
[针对训练]
1.选C
由题意知x≠0,则原方程即为lg(x+2)=,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=的图象,如图所示,由图象可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上,所以k=-2或k=1.
2.解析:由题意可知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增.又函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,
∴f(1)=1-+a<0,即a<-.
答案:
[例2] 解析:函数f(x)=
的图象如图所示,
函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与直线y=k有两个不同的交点,由图知实数k的取值范围是.
答案:
[针对训练]
3.选D
画出函数g(x)=的图象如图所示,函数f(x)=可由g(x)=分段平移得到,易知当c=0时,函数f(x)恰有一个零点,满足题意;当c<0时,代表图象向上平移,显然没有零点,不符合题意;当c>0时,图象向下平移,当0<2c<1时,f(x)有两个零点;当2c≥1时,f(x)恰有一个零点,满足题意,即c≥.综上,c的取值范围是{0}∪.
4.解析:
因为y=f(x)有两个零点,所以|2x-2|-b=0有两个实根,则|2x-2|=b有两个实根.令y1=|2x-2|,y2=b,结合图可知b∈(0,2)时,y1=|2x-2|与y2=b的图象有两个交点.
答案:(0,2)
[例3] 解:设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6.
(1)f(x)的大致图象如图1所示,∴f(2)<0,
即4+4(m-1)+2m+6<0,得m<-1,
∴实数m的取值范围为(-∞,-1).
(2)
f(x)的大致图象如图2所示,
∴
解得-
∴实数m的取值范围为.
(3)方程至少有一个正根,则有三种可能的情况,
①只有一个正根或有两个正根,此时如图3,
可得即
∴-3
②有一个正根,一个负根,此时如图4,
可得f(0)<0,得m<-3.
③有一个正根,另一根为0,此时如图5,
可得∴m=-3.
综上所述,当方程至少有一个正根时,实数m的取值范围为(-∞,-1].
[针对训练]
5.解:(1)当m=-2时,f(x)=2x-4x+2,得2x-4x+2=0.∴2x=2或2x=-1(舍去),解得x=1.∴函数f(x)的零点为x=1.
(2)f(x)=2x-4x-m=0 2x-4x=m,
令g(x)=2x-4x,x∈[-1,1],
函数f(x)有零点等价于方程2x-4x=m有解,等价于m在g(x)的值域内,
设t=2x,∵x∈[-1,1],∴t∈,
则t-t2=-+,当t=时,
g(x)max=,当t=2时,g(x)min=-2.
∴g(x)的值域为.
∴实数m的取值范围为.(共63张PPT)
函数的零点与方程的解的应用
—— (教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
进一步应用函数零点存在定理,已知函数零点(方程的解)的情况求参数范围,掌握一元二次方程根的分布情况.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 根据零点所在区间求参数范围
题型(二) 根据零点个数求参数范围
题型(三) 一元二次方程根的分布问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 根据零点所在区间求参数范围
01
[例1] 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,且x0∈(1,2),则a的取值范围是( )
A.(-2,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(-3,-2)
√
|思|维|建|模|
由函数零点所在区间求参数一般有2种方法
(1)利用函数零点存在定理:首先判断函数的单调性,然后利用函数零点存在定理求解.
(2)数形结合法:构造两个函数,作出两函数的大致图象,数形结合法求解.
针对训练
1.若方程xlg(x+2)=1的实数根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k等于( )
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0
√
2.若函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是 .
解析:由题意可知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增.又函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,
∴f(1)=1-+a<0,即a<-.
题型(二) 根据零点个数求
参数范围
02
[例2] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同
的零点,则实数k的取值范围是 .
解析:函数f(x)=的图象如图所示,
|思|维|建|模|
根据函数零点的个数求参数的范围的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围
分离参数法 先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决
数形结合法 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,把函数零点的个数问题转化为函数图象的交点个数求解
针对训练
√
4.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.
(0,2)
解析:因为y=f(x)有两个零点,所以|2x-2|-b=0有两个实根,则|2x-2|=b有两个实根.令y1=|2x-2|,y2=b,结合图可知b∈(0,2)时,y1=|2x-2|与y2=b的图象有两个交点.
题型(三) 一元二次方程根的
分布问题
03
[例3] 已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.
(1)若方程有两个实根,且一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围;
解:设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6.
f(x)的大致图象如图1所示,
∴f(2)<0,
即4+4(m-1)+2m+6<0,
得m<-1,
∴实数m的取值范围为(-∞,-1).
(2)若方程有两个实根α,β,且满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围;
解:f(x)的大致图象如图2所示,
(3)若方程至少有一个正根,求实数m的取值范围.
②有一个正根,一个负根,此时如图4,
可得f(0)<0,得m<-3.
③有一个正根,另一根为0,此时如图5,
|思|维|建|模|
一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交点的情况,先将函数草图上下平移,确定根的个数,用判别式限制,再左右平移,确定对称轴有无超过区间,或是根据根的正负问题,用根与系数的关系进行限制.
针对训练
5.已知函数f(x)=2x-4x-m,x∈[-1,1].
(1)当m=-2时,求函数f(x)的零点;
解:当m=-2时,f(x)=2x-4x+2,得2x-4x+2=0.
∴2x=2或2x=-1(舍去),解得x=1.
∴函数f(x)的零点为x=1.
(2)若函数f(x)在[-1,1]上有零点,求实数m的取值范围.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.若函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围为( )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-∞,1)
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√
3.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,则a的取值范围是( )
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
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√
4.若关于x的方程x=在区间(0,1)内有解,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
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解析:∵函数y=x在区间(0,1)内的值域为(0,+∞),∴>0,即<0.解得0
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5.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(0,1]
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解析:画出函数f(x)的图象,由图象知,当0<k≤1时,y=k与y=f(x)的图象有两个交点,此时方程f(x)=k有两个不等实根,所以0<k≤1,故选D.
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6.已知函数f(x)=ln x-m的零点位于区间(1,e)内,则实数m的取值范围是________.
解析:由题意,令f(x)=ln x-m=0,得m=ln x,
因为x∈(1,e),所以ln x∈(0,1),故m∈(0,1).
(0,1)
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7.若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是__________.
(-12,0)
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解析:令g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,作出y=f(x)的图象,如图.
由图可知,当y=k与y=f(x)的图象有三个不同的交点时,-1
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9.(10分)函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,求实数a的取值范围.
解:由f(x)=0得a-1=2|x|-x2,
因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,
所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点,
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观察图象可知,0
所以实数a的取值范围是(1,2).
画出函数y=2|x|-x2的图象,如图所示,
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10.(12分)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点;
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(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.
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解:由题意知,0是方程-3x2+2x-m+1=0的根,
故有1-m=0,解得m=1.
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B级——重点培优
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作出f(x)的图象,利用数形结合思想可知,当a∈(0,1]∪(2,+∞)时,f(x)与y=a的图象有两个交点.故选B.
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12.若关于x的方程=a+1有解,则a的取值范围是( )
A.(0,1] B.(-1,0]
C.[1,+∞) D.(0,+∞)
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解析:关于x的方程=a+1有解,即y=与y=a+1的图象有交点,画出y=与y=a+1的图象如图,则a+1∈(0,1],则a∈(-1,0].故选B.
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解析:因为存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),故函数不是单调函数,又y=x+1与y=2x的图象交于点(0,1)和(1,2),画出图象如图所示,由图可知,当0
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(2)求证:函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点;
解:证明:令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=(x+1)2+3x+1-(x2+3x)-4=2×3x+2x-3,
所以h(0)=-1,h(1)=5.所以h(0)h(1)<0.
又h(x)在(0,1)上连续,
所以h(x)=0在(0,1)上至少有一个实根x0,
即函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点.
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解:若f(x)=lg在(0,+∞)上有飘移点x0,
所以lg=lg+lg a成立,
即=·a,a>0,
整理得a==,
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2课时跟踪检测(四十) 函数的零点与方程的解的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围为 ( )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-∞,1)
2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.(-∞,-1)∪
3.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,则a的取值范围是 ( )
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
4.若关于x的方程x=在区间(0,1)内有解,则实数m的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
5.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是 ( )
A.(0,+∞) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(0,1]
6.已知函数f(x)=ln x-m的零点位于区间(1,e)内,则实数m的取值范围是 .
7.若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是 .
8.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则k的取值范围是 .
9.(10分)函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,求实数a的取值范围.
10.(12分)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点;
(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.
B级——重点培优
11.已知函数f(x)=若F(x)=f(x)-a的零点个数为2,则实数a的取值范围为 ( )
A.(0,1] B.(0,1]∪(2,+∞)
C.(0,1) D.(2,+∞)
12.若关于x的方程=a+1有解,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1] B.(-1,0]
C.[1,+∞) D.(0,+∞)
13.已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是 .
14.已知f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0仅有一解,则a的取值范围是 .
15.(14分)若在定义域内存在实数x0使f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数有“漂移点”x0.
(1)判断函数f(x)=是否有漂移点,并说明理由;
(2)求证:函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点;
(3)若函数f(x)=lg在(0,+∞)上有漂移点,求实数a的取值集合.
课时跟踪检测(四十)
1.选B 函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,函数f(x)的图象的对称轴为x=1,可得即解得0
2.选B 因为函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,且此函数是连续函数,所以f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,解得-1
3.选A 因为方程-x2+ax+4=0有两根,一个大于2,另一个小于-1,所以函数 f(x)=-x2+ax+4有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,由二次函数的图象可知,
即解得0
4.选A ∵函数y=x在区间(0,1)内的值域为(0,+∞),∴>0,即<0.解得0
5.选D 画出函数f(x)的图象,由图象知,当0
6.解析:由题意,令f(x)=ln x-m=0,得m=ln x,因为x∈(1,e),所以ln x∈(0,1),故m∈(0,1).
答案:(0,1)
7.解析:∵f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,
∴即解得-12
答案:(-12,0)
8.解析:令g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,作出y=f(x)的图象,如图.
由图可知,当y=k与y=f(x)的图象有三个不同的交点时,-1
答案:(-1,1)
9.解:由f(x)=0得a-1=2|x|-x2,
因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点,
画出函数y=2|x|-x2的图象,如图所示,
观察图象可知,0
所以实数a的取值范围是(1,2).
10.解:(1)函数有两个零点,
则方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,易知Δ>0,即4+12(1-m)>0,解得m<.由Δ=0,解得m=;由Δ<0,解得m>.故当m<时,函数有两个零点;当m=时,函数有一个零点;
当m>时,函数无零点.
(2)由题意知,0是方程-3x2+2x-m+1=0的根,故有1-m=0,解得m=1.11.选B
由题知,函数f(x)=
作出f(x)的图象,利用数形结合思想可知,当a∈(0,1]∪(2,+∞)时,f(x)与y=a的图象有两个交点.故选B.
12.选B 关于x的方程
=a+1有解,即y=与y=a+1的图象有交点,画出y=与y=a+1的图象如图,
则a+1∈(0,1],则a∈(-1,0].故选B.
13.解析:因为存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),故函数不是单调函数,又y=x+1与y=2x的图象交于点(0,1)和(1,2),画出图象如图所示,由图可知,当0
答案:(0,1)
14.解析:若a=0,则方程f(f(x))=0有无数个解,故a≠0.∵f(f(x))=0,∴lg f(x)=0或=0(舍去),∴f(x)=1,∴lg x=1或=1,∴x=10或a=x-1.∵关于x的方程f(f(x))=0仅有一解,∴a=x-1在x≤0上无解,∴a>-1.综上所述, a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
答案:(-1,0)∪(0,+∞)
15.解:(1)假设函数f(x)=有飘移点 x0,
则=+2,即+x0+1=0,由此方程无实根,与题设矛盾,所以函数f(x)=没有飘移点.
(2)证明:令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=(x+1)2+3x+1-(x2+3x)-4=2×3x+2x-3,所以h(0)=-1,h(1)=5.
所以h(0)h(1)<0.又h(x)在(0,1)上连续,
所以h(x)=0在(0,1)上至少有一个实根x0,
即函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点.
(3)若f(x)=lg在(0,+∞)上有飘移点x0,
所以lg=lg+lg a成立,即=·a,a>0,
整理得a==,
由x0>0,得0<<1,则0
则实数a的取值集合是{a|0
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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