4.5.3 函数模型的应用
—— (教学方式:拓展融通课习题讲评式教学)
[课时目标] 能利用已知函数模型求解实际问题.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题.
题型(一) 指数型函数模型
[例1] 一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.
(1)求t年后,这种放射性元素的质量w的表达式;
(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(保留小数点后一位,参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48).
听课记录:
|思|维|建|模|
指数型函数模型问题的求解策略
(1)对于平均增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知条件中给定的值对应求解.
(2)函数y=c·akx(a,c,k为常数)是一个应用广泛的函数模型,它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用,解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法,即根据题意确定相关的系数.
[针对训练]
1.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期,现有一杯用 88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在 24 ℃的房间中,如果咖啡降温到 40 ℃需要 20 min,那么降温到32 ℃时,需要多长时间
题型(二) 对数型函数模型
[例2] 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3,单位是m/s,θ是表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是多少
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍.
听课记录:
[变式拓展]
若本例条件不变:(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100个单位时,它的游速是多少
(2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
|思|维|建|模|
对数型函数应用题的基本类型和求解策略
基本 类型 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式,然后根据实际问题求解
求解 策略 首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义
[针对训练]
2.设小丁单次持续背单词所花时间y(分钟)与背出单词数x(个)之间满足函数表达式y=k·lg,其中常数k,b∈R且k,b≠0.已知小丁持续背单词50分钟背出了20个单词,100分钟背出了30个单词.问:小丁持续背200分钟约能背出多少个单词 (精确到个位)
题型(三) 建立拟合函数解决实际问题
[例3] 随着电动汽车研发技术的日益成熟,电动汽车的普及率越来越高.某型号电动汽车在封闭路段进行测试,限速80 km/h(不含80 km/h).经多次测试得到,该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位: km/h)的数据如下表所示.
v 0 10 30 70
M 0 1 325 3 375 9 275
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型可供选择:
M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=1 000·+a,M(v)=300logav+b.
(1)当0≤v<80时,请选出你认为最符合表格所列数据的实际函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)在本次测试报告中,该电动汽车的最长续航里程为400 km,若测试过程为匀速运动,请计算本次测试时的车速为何值时,该电动汽车电池所需的容量(单位:Wh)最小,并计算出该最小值.
听课记录:
|思|维|建|模|
建立拟合函数与预测的基本步骤
[针对训练]
3.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系 试写出这个函数模型的解析式;
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175 cm,体重为78 kg的在校男生的体重是否正常
4.5.3 函数模型的应用
[例1] 解:(1)最初的质量为500 g.
经过1年,w=500(1-10%)=500×0.9;
经过2年,w=500×0.92;
由此推知,t年后,w=500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t=250,
即0.9t=0.5,两边取以10为底的对数,
得lg 0.9t=lg 0.5,即tlg 0.9=lg 0.5,
∴t==≈7.5.
即这种放射性元素的半衰期为7.5年.
[针对训练]
1.解:由题意知40-24=(88-24)×,即=,解得h=10.
故原式可化简为T-24=(88-24)×,
当T=32时,代入上式,得32-24=(88-24)×,即===,∴t=30.
因此,需要30 min可降温到32 ℃.
[例2] 解:(1)由v=log3可知,
当θ=900时,v=log3=log39=1(m/s).
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是1 m/s.
(2)由v2-v1=1,即log3-log3=1,得=9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍.
[变式拓展]
解:(1)将θ=8 100代入函数解析式,
得v=log381=×4=2(m/s),所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时,它的游速是2 m/s.
(2)令v=0,得log3=0,即=1,则θ=100,所以一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数为100.
[针对训练]
2.解:由题意,得两式相除,
得=,即1-=,
解得b=40.所以k=,
即y=·lg.
当y=200时,解得x=37.5≈38(个),
所以小丁200分钟约能背出38个单词.
[例3] 解:(1)对于M(v)=300logav+b,当v=0时,无意义,所以不符合题意;
对于M(v)=1 000·+a,显然是个减函数,所以不符合题意.
故选M(v)=v3+bv2+cv.
根据提供的数据,
有
解得b=-2,c=150.
故当0≤v<80时,M(v)=v3-2v2+150v.
(2)由车速为v km/h,得所用时间为 h,
所耗电量f(v)==10(v2-80v+6 000)=10(v-40)2+44 000.
要使得续航里程最长,则耗电量达到最小,
即v=40 km/h.所以当本次测试的车速为40 km/h 时,该电动汽车电池所需的容量最小,为44 000 Wh.
[针对训练]
3.
解:(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.
根据点的分布特征,可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx得用计算器算得a≈2,b≈1.02.
这样,我们就得到一个函数模型:y=2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
(2)将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175,由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2,所以,这个男生偏胖.(共64张PPT)
4.5.3
函数模型的应用
—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
课时目标
能利用已知函数模型求解实际问题．能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 指数型函数模型
题型(二) 对数型函数模型
题型(三) 建立拟合函数解决实际问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 指数型函数模型
01
[例1] 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
解：最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(保留小数点后一位，参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)．
解：由题意得500×0.9t＝250，
即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，
得lg 0.9t＝lg 0.5，
即tlg 0.9＝lg 0.5，
|思|维|建|模|
指数型函数模型问题的求解策略
(1)对于平均增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解．
(2)函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数．
针对训练
1.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期,现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min,那么降温到32 ℃时,需要多长时间
解:由题意知40-24=(88-24)×,
即=,解得h=10.
故原式可化简为T-24=(88-24)×,
当T=32时,代入上式,得32-24=(88-24)×,即===,∴t=30.
因此,需要30 min可降温到32 ℃.
题型(二) 对数型函数模型
02
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．
[变式拓展]
若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100个单位时，它的游速是多少？
(2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．
|思|维|建|模|
对数型函数应用题的基本类型和求解策略
基本类型 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解
求解策略 首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义
针对训练
解:由题意,得两式相除,
得=,
即1-=,
解得b=40.所以k=,
即y=·lg.
当y=200时,解得x=37.5≈38(个),
所以小丁200分钟约能背出38个单词.
题型(三) 建立拟合函数解决
实际问题
03
[例3] 随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速80 km/h(不含80 km/h)．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位： km/h)的数据如下表所示.
v 0 10 30 70
M 0 1 325 3 375 9 275
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型可供选择:
M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=1 000·+a,M(v)=300logav+b.
(1)当0≤v<80时,请选出你认为最符合表格所列数据的实际函数模型,并求出相应的函数解析式;
解:(1)对于M(v)=300logav+b,当v=0时,无意义,所以不符合题意;
对于M(v)=1 000·+a,显然是个减函数,所以不符合题意.
故选M(v)=v3+bv2+cv.
根据提供的数据,
有
(2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为400 km，若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量(单位：Wh)最小，并计算出该最小值.
|思|维|建|模| 建立拟合函数与预测的基本步骤
针对训练
3．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
解：以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
解：将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．
课时跟踪检测
04
A级——达标评价
1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是 ( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
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解析：分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后变成4×2＝23个，…，分裂x次后变成y＝2x＋1个．
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2．有一组实验数据如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
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解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除选项B.故选C.
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3．某市的房价(均价)经过6年时间从12 000元/m2增加到了48 000元/m2，则这6年间平均每年的增长率是( )
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4．设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c，k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)( )
A．9.4×104 Pa B．9.4×106 Pa
C．9×103 Pa D．9×105 Pa
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5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车( )
A．6 B．5
C．4 D．3
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解析:设他至少经过x个小时才能驾驶汽车,则60(1-25%)x<20,∴<,当x=3时,=>;当x=4时,=<;结合选项可知他至少经过4个小时才能驾驶汽车.故选C.
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6．已知某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ为正常数．由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为_______________．
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7．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
解析:由题意知,当t=时,y=2,即2=,所以k=2ln 2,所以y=e2tln 2.当t=5时,y=e2×5×ln 2=210=1 024.即经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
2ln 2
1 024
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8.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,
体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为 .
解析:由已知得a=a·e-50k,即e-50k==.所以a=·a=(e-50k·a
=e-75k·a,所以t=75.
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(2)当一只燕子的耗氧量是40个单位时，它的飞行速度是多少？
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B级——重点培优
10．已知一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于( )
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声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
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已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2＞10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
√
√
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(2)为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案．
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2 300元；
方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为40x元．
如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？为什么？
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因为x∈[70,120]，所以当x＝100吨时，企业获得最大利润,为1 800元．
结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润850元；
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选择方案二，当日加工处理量为100吨时，获得最大利润
1 800元.
所以选择方案二进行补贴．
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(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
解：第一步：分析题中每个模型的特点．
对于模型一，当k>0时，匀速增长；
对于模型二，当k>0时，先慢后快增长；
对于模型三，当k>0时，先快后慢增长．
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型．
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，
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(2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
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(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟(结果保留整数)．
解:由y=3log2-3≥4.5,
log2≥2.5=log2,
得+2≥=4≈5.656,
得x≥54.84.
所以每天得分不少于4.5分,至少需要运动55分钟.课时跟踪检测(四十二) 函数模型的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是 ( )
A.y=2x B.y=2x-1
C.y=2x D.y=2x+1
2.有一组实验数据如下表所示:
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是 ( )
A.u=log2t B.u=2t-2
C.u= D.u=2t-2
3.某市的房价(均价)经过6年时间从12 000元/m2增加到了48 000元/m2,则这6年间平均每年的增长率是 ( )
A.600元 B.50%
C.-1 D.+1
4.设在海拔x m处的大气压强是y Pa,y与x之间的函数关系为y=cekx,其中c,k为常量.已知海平面处的大气压强为1.01×105Pa,在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105Pa,则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据:0.890.6≈0.93) ( )
A.9.4×104 Pa B.9.4×106 Pa
C.9×103 Pa D.9×105 Pa
5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车,80 mg及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL,如果停止饮酒后,他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少,那么他至少要经过几个小时后才能驾车 ( )
A.6 B.5
C.4 D.3
6.已知某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt,其中N0,λ为正常数.由放射性元素的这种性质,可以制造高精度的时钟,用原子数表示时间t为 .
7.某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍,且该种细菌的繁殖规律为y=ekt,其中k为常数,t表示时间(单位:小时),y表示繁殖后细菌总个数,则k= ,经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为 .
8.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为 .
9.(10分)我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2,单位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量.
(1)计算当燕子静止时的耗氧量是多少个单位
(2)当一只燕子的耗氧量是40个单位时,它的飞行速度是多少
B级——重点培优
10.已知一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于 ( )
A.lg B.lg
C. D.
11.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 ( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3=100p0 D.p1≤100p2
12.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.则当N=40时,t= (参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477).
13.(15分)某企业积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品,已知该企业日加工处理量x(吨)最少为70吨,最多为120吨,日加工处理总成本y(元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.
(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低 此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态
(2)为了该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方式有两种方案.
方案一:每日进行定额财政补贴,金额为2 300元;
方案二:根据日加工处理量进行财政补贴,金额为40x元.
如果你是企业的决策者,为了获得每日最大利润,你会选择哪个方案进行补贴 为什么
14.(17分)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,现需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:分钟)的函数关系,要求如下:(1)函数的图象接近图示;(2)每天运动时间为 0分钟时,当天得分为0分;(3)每天运动时间为30分钟时,当天得分为3分;(4)每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择:①y=kx+b(k>0);②y=k·1.2x+b(k>0);③y=klog2+n(k>0).
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由;
(2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式;
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分,求每天至少运动多少分钟(结果保留整数).
课时跟踪检测(四十二)
1.选D 分裂一次后由2个变成2×2=22个,分裂两次后变成4×2=23个,…,分裂x次后变成y=2x+1个.
2.选C 可以先画出散点图,并利用散点图直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它,散点图如图所示.
由散点图可知,图象不是直线,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;当t=3时,2t-2=23-2=6,排除选项B.故选C.
3.选C 设6年间平均年增长率为x,则有12 000(1+x)6=48 000,解得x=-1.
4.选A 依题意得1.01×105=ce0=c,0.90×105=ce1 000k,因此e1 000k=≈0.89,因此当x=600时,y=1.01×105e600k=1.01×105·(e1 000k)0.6=1.01×105×0.890.6≈9.4×104.故选A.
5.选C 设他至少经过x个小时才能驾驶汽车,则60(1-25%)x<20,∴<,当x=3时,=>;当x=4时,=<;结合选项可知他至少经过4个小时才能驾驶汽车.故选C.
6.解析:因为N=N0e-λt,所以=e-λt,两边取以e为底的对数,所以t=-ln.
答案:t=-ln
7.解析:由题意知,当t=时,y=2,即2=,所以k=2ln 2,所以y=e2tln 2.当t=5时,y=e2×5×ln 2=210=1 024.即经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
答案:2ln 2 1 024
8.解析:由已知得a=a·e-50k,即e-50k==.所以a=·a=(e-50k·a=e-75k·a,所以t=75.
答案:75
9.解:(1)由题意知,当燕子静止时,它的速度v=0,代入题中公式,可得0=5log2,
解得O=10(个).
所以当燕子静止时的耗氧量是10个单位.
(2)将耗氧量O=40代入题中公式,
得v=5log2=5log24=10(m/s).
所以当一只燕子的耗氧量是40个单位时,它的飞行速度是10 m/s.
10.选C 由题意得a(1-8%)t=,所以0.92t=0.5.两边取对数得lg 0.92t=lg 0.5.所以tlg 0.92=lg 0.5.故t=.
11.选ACD 因为Lp=20×lg随着p的增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60],所以≥,所以p1≥p2,故A正确;由Lp=20×lg,得p=p01,因为=40,所以p3=p01=100p0,故C正确;假设p2>10p3,则p01>10p01,所以1>10,所以->20,由题中表格数据知不可能成立,故B错误;因为==1≥1,所以p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
12.解析:当N=40时,t=-144lg=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)=-144(1-lg 2-2lg 3)≈36.72.
答案:36.72
13.解:(1)由题意可知,每吨厨余垃圾平均加工成本为=++40,x∈[70,120],
++40≥2+40=2×40+40=120.
当且仅当=,即x=80时,每吨厨余垃圾的平均加工成本最低,
因为120>100,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.
(2)若该企业采用补贴方案一,设该企业每日获利为y1,y1=100x-+2 300=-x2+60x-900=-(x-60)2+900.
因为x∈[70,120],所以当x=70吨时,企业获得最大利润,为850元.若该企业采用补贴方案二,设该企业每日获利为y2,
y2=100x+40x-=-x2+100x-3 200=-(x-100)2+1 800.
因为x∈[70,120],所以当x=100吨时,企业获得最大利润,为1 800元.
结论:选择方案一,当日加工处理量为70吨时,可以获得最大利润850元;
选择方案二,当日加工处理量为100吨时,获得最大利润1 800元.
所以选择方案二进行补贴.
14.解:(1)第一步:分析题中每个模型的特点.
对于模型一,当k>0时,匀速增长;
对于模型二,当k>0时,先慢后快增长;
对于模型三,当k>0时,先快后慢增长.
第二步:根据题中材料和题图选择合适的函数模型.
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型,
故选y=klog2+n(k>0).
(2)将(0,0),(30,3)代入解析式得到
即
解得k=3,n=-3,
即y=3log2-3.
完善模型是否合适,
当x=90时,y=3log2(6+2)-3=6,
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为
y=
(3)由y=3log2-3≥4.5,
log2≥2.5=log2,
得+2≥=4≈5.656,得x≥54.84.
所以每天得分不少于4.5分,至少需要运动55分钟.
