阶段质量评价(三)　第四章　指数函数与对数函数（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

阶段质量评价(三)　第四章　指数函数与对数函数
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)
1.已知a>0,化简×= (　　)
A.a B.
C. D.
2.已知log2m=2 024,log2n=2 023,则等于 (　　)
A.2 B.
C.10 D.
3.函数f(x)=+的定义域为 (　　)
A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]
C.(1,3)∪(3,+∞) D.(-∞,3)
4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)= (　　)
A.log2x B.
C.lox D.2x-2
5.若a=log60.6,b=1.10.6,c=log0.50.6,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
6.根据表中的数据,可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是 (　　)
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
A.(0,1) B.(-1,0)
C.(2,3) D.(1,2)
7.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 (　　)
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00　 D.08.著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家,他曾言:勤学如春起之苗,不见其增,日有所长;辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏.今天,我们可以用数学观点来对这句话重新诠释,我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1%,一年后是1.01365;而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是1%,一年后是0.99365.可以计算得到,一年后的“进步”是“落后”的≈1 481倍.那么,如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%,要使“进步”是“落后”的10 000倍,大约需要经过(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.5) (　　)
A.17天 B.18天
C.19天 D.20天
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.)
9.下列函数中既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是 (　　)
A.f(x)=- B.f(x)=3x
C.f(x)=log3x D.f(x)=
10.已知函数f(x)=-log2x,0A.db
C.d>c D.d11.若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1阶马格丁香小花花”函数.给出下列4个函数;其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有 (　　)
A.f(x)= B.f(x)=ex
C.f(x)=lg(x2+2) D.f(x)=2x
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于1,另一个根小于 1,则a的取值范围是　　　　.
13.已知[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.5]=1,[3]=3.若f(x)=2x,g(x)=f(x-[x]),则g=　　　　,函数g(x)的值域为　　　　.
14.已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围为　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)求值计算:
(1)+++;
(2)·log23·log34.
16.(15分)已知指数函数y=,当x∈(0,+∞)时,有y>1.
(1)求a的取值范围;
(2)解关于x的不等式loga(x-1)≤loga(x2+x-6).
17.(15分)已知函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上最大值和最小值的和为12,令f(x)=.
(1)求实数a的值;
(2)探究f(x)+f(1-x)是否为定值,若是定值,写出证明过程;若不是定值,请说明理由;
(3)解不等式:f(1-x)+2f2(x)<1.
18.(17分)Logistic模型是常用的预测区域人口增长的模型之一,其形式为Pt=,其中Pt是间隔年份t时的人口数量,K是有关人口极限规模的待定参数,r,C是有关人口增长率和初始人口数量的特定参数,已知某地区的人口数据如下表:
时间 2010年 2015年 2020年 …
间隔年份t(单位:年) 0 5 10 …
人口数量Pt(单位:万) 80 86.368 92.076 …
该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算,发现Logistic函数Pt=能比较好地描述2010年起该地区的人口数量Pt(单位:万)与间隔年份t(单位:年)的关系.
(1)请估计该地区2030年的人口数量(结果保留3位小数);
(2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a(结果保留3位小数).(参考数据:e-0.5≈0.607,e-1≈0.368,≈1.010)
19.(17分)已知函数f(x)=kx+log9(9x+1)(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若函数y=f(x)的图象在直线y=x+b上方,求b的取值范围;
(3)若函数h(x)=+2m·3x+1,x∈[0,log98],是否存在实数m使得h(x)的最小值为0 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
阶段质量评价(三)
1.选C　×=×=.
2.选B　因为log2m=2 024,log2n=2 023,所以m=22 024,n=22 023,所以==.
3.选B　由题意知∴14.选A　由题意知f(x)=logax(a>0,且a≠1).∵f(2)=1,∴loga2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x.
5.选B　∵a=log60.61.10=1,0=log0.51c>a.故选B.
6.选D　当x=-1时,f(-1)=0.37+1-2=-0.63<0.当x=0时,f(0)=1-0-2=-1<0.当x=1时,f(1)=2.72-1-2=-0.28<0.当x=2时,f(2)=7.39-2-2=3.39>0.当x=3时,f(3)=20.09-3-2=15.09>0.因为f(1)f(2)<0,所以方程ex-x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选D.
7.选D　由图象可知,函数f(x)为减函数,从而有0法一　由f(x)=ax-b图象,函数与y轴的交点纵坐标y∈(0,1),令x=0,得y=a-b,由0法二　函数f(x)图象可看作是由y=ax(00,即b<0.
8.选D　经过x天后,“进步”与“落后”的比≥10 000,所以≥10 000,两边取以10为底的对数得x·lg≥4,又lg 2≈0.3,lg 3≈0.5,所以x·(lg 3-lg 2)=x(0.5-0.3)=0.2x≥4,解得x≥=20,所以大约经过20天后,“进步”是“落后”的10 000倍.
9.选AD　f(x)=-是奇函数,且在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,A符合题意;f(x)=3x不具有奇偶性,是增函数,B不符合题意;f(x)=log3x不具有奇偶性,是增函数,C不符合题意;f(x)==是奇函数,且是增函数,符合题意.
10.选ABD　由y=在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)=-log2x在定义域(0,+∞)上是减函数.当0f(b)>f(c),又因为f(a)f(b)f(c)<0,f(d)=0,所以①f(a),f(b),f(c)都为负值,则a,b,c都大于d;②f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0,则a,b都小于d,c大于d.综合①②可得d>c不可能成立.
11.选BD　f(x)=,定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),则=+,方程无解,A错误;f(x)=ex,定义域为R,则=+e,解得x0=ln,B正确;f(x)=lg(x2+2),定义域为R,则lg[(x0+1)2+2]=lg(+2)+lg 3,化简得到2-2x0+3=0,方程无解,C错误;f(x)=2x,定义域为R,则=+2,即=2,x0=1是方程的一个解,D正确.故选BD.
12.解析:设f(x)=3x2-5x+a,由题意知,f(1)<0,即-2+a<0,∴a<2.
答案:(-∞,2)
13.解析:g=f =f =,令t=x-[x]∈[0,1),g(x)=f(x-[x])=f(t)=2t,1≤2t<2,g(x)的值域为[1,2).
答案:　[1,2)
14.解析:作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知,当0答案:(0,1)
15.解:(1)原式=+1+1++=+2++-=5.
(2)原式=·log23·log322
=·log23·2log32=×2=×2=.
16.解:(1)∵指数函数y=在x∈(0,+∞)时,有y>1,∴>1.解得0∴实数a的取值范围为(0,1).
(2)由(1)得017.解:(1)因为函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上具有单调性,所以a+a2=12.解得a=3或a=-4.因为a>0,且a≠1,所以a=3.
(2)f(x)+f(1-x)=1,为定值.证明如下:由(1)得,f(x)=,所以f(x)+f(1-x)=+=+=+=1.
(3)由(2)得,1-f(x)=f(1-x),且f(x)>0,所以2f2(x)<1-f(1-x)=f(x).所以f(x)<.所以<.整理得3x<,解得x<.所以原不等式的解集为.
18.解:(1)2030年即间隔年份为20年,该地区的人口数量P20==≈101.351,该地区2030年的人口数量大约为101.351万.
(2)由表可知2020年的人口数量为92.076万,又由(1)知2030年的人口数量大约为101.351万,则有92.076×(1+a)10=101.351,即(1+a)10=,解得a=-1≈0.010.所以该地区2020年到2030年的年平均增长率a大约为0.010.
19.解:(1)因为f(-x)=f(x),所以-kx+log9(9-x+1)=kx+log9(9x+1),
即log9(9-x+1)-log9(9x+1)=2kx,
即log9-log9(9x+1)=2kx,
即log9=2kx,
即log9=2kx,
所以-x=2kx,对任意x∈R恒成立,所以k=-.所以f(x)=log9(9x+1)-x.
(2)函数y=f(x)的图象在直线y=x+b上方,等价于f(x)-=log9(9x+1)-x-b>0对任意的x∈R成立,
即log9(9x+1)-x>b.
即log9(9x+1)-x=log9=log9>b对任意的x∈R成立.
令y=log9u,u=1+在x∈R上单调递减,而u=1+>1,所以y>0,由此b≤0.
故b的取值范围是(-∞,0].
(3)h(x)=+2m·3x+1=9x+2m·3x+2,令t=3x,t∈[1,2],
则y=t2+2mt+2=(t+m)2+2-m2,t∈[1,2].
①当-m≤1,即m≥-1时,y=t2+2mt+2在[1,2]上单调递增,从而ymin=2m+3=0,则m=-(舍去);
②当1<-m<2,即-2从而ymin=2-m2=0,则m=-;
③-m≥2,即m≤-2时,y=t2+2mt+2在[1,2]上单调递减,从而ymin=10+4m=0,则m=-(舍去).
综上,m=-.