5.1.1 任意角—— (教学方式:基本概念课逐点理清式教学)
[课时目标]
1.了解任意角的概念,能区分正角、负角与零角.了解象限角的概念,理解并掌握终边相同的角的概念.
2.能写出终边相同的角所组成的集合.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
逐点清(一) 任意角
[多维理解]
1.角的定义
角的 概念 角可以看成一条 绕着它的端点 所成的
角的 表示 ①始边:射线的起始位置OA. ②终边:射线的终止位置OB. ③顶点:射线的端点O. ④记法:图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”
2.角的分类
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 做任何旋转形成的角
3.角的运算
设α,β是任意两个角, 为角α的相反角.
(1)α+β:把角α的 旋转角β.
(2)α-β:α-β= .
[微点练明]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)小于90°的角都是锐角. ( )
(2)终边与始边重合的角为零角. ( )
(3)大于90°的角都是钝角. ( )
(4)相等的角终边相同. ( )
2.如图是清代的时辰醒钟,此醒钟直径12.5厘米,厚7.5厘米,由清朝宫廷钟表处制造,以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示,其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似.则丑时与午时的夹角是 ( )
A.120° B.135°
C.150° D.165°
3.经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是 ( )
A.60°,720° B.-60°,-720°
C.-30°,-360° D.-60°,720°
4.如图,射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处,再按顺时针方向旋转820°至OC处,则β= .
逐点清(二) 象限角
[多维理解]
把角放在直角坐标系中,使角的顶点与 重合,角的始边与 轴的非负半轴重合.那么,角的
在第几象限,就说这个角是第几 .如果角的终边在 ,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
|微|点|助|解|
(1)锐角是第一象限角,钝角是第二象限角,直角的终边在坐标轴上,它不属于任何一个象限;正确区分锐角、0°~90°的角、小于90°的角、第一象限角.锐角是0°<α<90°的角;0°~90°的角是0°≤α<90°的角;小于90°的角是α<90°的角(包括零角、负角).
(2)每一个象限都有正角和负角.
[微点练明]
1.(多选)下列各角是第二象限角的是 ( )
A.160° B.480°
C.-960° D.1 530°
2.90°是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第二象限角 D.不属于任何象限
3.下列叙述正确的是 ( )
A.三角形的内角是第一或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
逐点清(三) 终边相同的角
[多维理解]
1.终边相同角的概念
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S= ,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
|微|点|助|解|
(1)角α为任意角,“k∈Z”不能省略.
k有三层含义:①特殊性:对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角.②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向转动的圈数.k取正整数时,逆时针转动;k取负整数时,顺时针转动;k=0时,没有转动.
(2)k·360°与α中间要用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α).
(3)当角的始边相同时:相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等;终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍;终边不同则表示的角一定不同.
2.象限角与轴线角的集合表示
(1)象限角
象限角 集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°+90°<α第三象限角 {α|k·360°+180°<α第四象限角 {α|k·360°+270°<α(2)轴线角
角的终边的位置 集合表示
终边落在x轴的非负半轴上 {α|α=k·360°,k∈Z }
终边落在x轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+180°,k∈Z }
终边落在y轴的非负半轴上 {α|α=k·360°+90°,k∈Z }
终边落在y轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+270°,k∈Z }
终边落在y轴上 {α|α=k·180°+90°,k∈Z }
终边落在x轴上 {α|α=k·180°,k∈Z }
终边落在坐标轴上 {α|α=k·90°,k∈Z }
[微点练明]
1.将-885°化为α+k·360°(0≤α<360°,k∈Z)的形式是 ( )
A.-165°+(-2)·360°
B.195°+(-3)·360°
C.195°+(-2)·360°
D.-195°+(-3)·360°
2.(多选)在-360°~360°范围内,与-410°角终边相同的角是 ( )
A.-50° B.-40° C.310° D.320°
3.若角α,β的终边相同,则α-β的终边落在 ( )
A.x轴的非负半轴上 B.x轴的非正半轴上
C.x轴上 D.y轴的非负半轴上
4.已知-990°<α<-630°,且α与120°角的终边相同,则α= .
逐点清(四) 终边相同角的应用
[例1] 如图,终边落在阴影部分的角的集合是 ( )
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z }
[例2] 已知角α是第三象限角,则角是 ( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角听课记录:
|思|维|建|模|
1.关于角nα或象限的确定
(1)由α的范围,表示出nα,的范围,由n的取值确定象限.
(2)特别地,求所在象限时,可以把每个象限等分为n份,在每一份中按顺序标记一、二、三、四,找到原象限数字即可.
2.表示区域角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应的角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角集合.
[针对训练]
1.已知α∈,则角α的终边落在的阴影部分是 ( )
2.若α是第二象限角,那么和2α都不是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.终边落在直线y=x上的角α的集合为 ( )
A.
B.
C.
D.
5.1.1 任意角
[多维理解] 1.射线 旋转 图形 2.逆时针 顺时针 没有 3.-α 终边 α+(-β)
[微点练明]
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.选C 一日十二个时辰,则一个时辰所对应的圆心角为=30°,丑时与午时相差5个时辰,故丑时与午时的夹角为30°×5=150°.
3.选B 钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.
4.解析:因为∠AOC=60°+(-820°)=-760°,所以β=-(760°-720°)=-40°.
答案:-40°
[多维理解]
原点 x 终边 象限角 坐标轴上
[微点练明]
1.选ABC 160°很显然是第二象限角;480°=120°+360°是第二象限角;-960°=-3×360°+120°是第二象限角;1 530°=4×360°+90°不是第二象限角.
2.选D 因为90°角的终边落在y轴的非负半轴上,所以90°角不属于任何象限.
3.选B 直角不属于任何一个象限,故A不正确;钝角是大于90°小于180°的角,是第二象限角,故B正确;由于120°是第二象限角,390°是第一象限角,120°<390°,故C不正确;由于零角和负角也小于180°,故D不正确.
[多维理解] 1.{β|β=α+k·360°,k∈Z}
[微点练明]
1.选B ∵-885°+1 080°=195°,∴-885°=195°+(-1 080°)=195°+(-3)·360°.
2.选AC 因为-50°=-410°+360°,310°=-410°+2×360°,所以与-410°角终边相同的角是-50°和310°.
3.选A 因为角α,β的终边相同,故α-β=k·360°,k∈Z.所以α-β的终边落在x轴的非负半轴上.
4.解析:因为α与120°角终边相同,所以α=k·360°+120°,k∈Z.又-990°答案:-960°
[例1] 选C 阴影部分的角从-45°到90°+30°=120°,再加上360°的整数倍,即k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z.
[例2] 选D 因为α是第三象限角,所以k·360°+180°<α[针对训练]
1.选B 令k=0,得45°≤α≤90°.则B选项中的阴影部分区域符合题意.
2.选B 由α是第二象限角可知是第一或第三象限角,2α是第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上的角,所以和2α都不是第二象限角.
3.选B 易得y=x的倾斜角为60°.当终边在第一象限时,α=60°+k·360°,k∈Z;当终边在第三象限时,α=240°+k·360°,k∈Z.所以角α的集合为.(共66张PPT)
5.1.1
任意角
—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1．了解任意角的概念，能区分正角、负角与零角．了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念．
2．能写出终边相同的角所组成的集合．利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 任意角
逐点清(二) 象限角
逐点清(三) 终边相同的角
4
逐点清(四) 终边相同角的应用
5
课时跟踪检测
逐点清(一) 任意角
01
多维理解
1．角的定义
角的概念 角可以看成一条_____绕着它的端点_____所成的_____
角的表示 ①始边：射线的起始位置OA.
②终边：射线的终止位置OB.
③顶点：射线的端点O.
④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”
射线
旋转
图形
2．角的分类
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角
零角 一条射线______做任何旋转形成的角
逆时针
顺时针
没有
3．角的运算
设α，β是任意两个角，_____为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的______旋转角β.
(2)α－β：α－β＝__________．
－α
终边
α＋(－β)
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)小于90°的角都是锐角． ( )
(2)终边与始边重合的角为零角． ( )
(3)大于90°的角都是钝角． ( )
(4)相等的角终边相同． ( )
微点练明
×
×
×
×
√
2.如图是清代的时辰醒钟，此醒钟直径12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宫廷钟表处制造，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．则丑时与午时的夹角是( )
A．120° B．135°
C．150° D．165°
√
3．经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
4.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
－40°
解析：因为∠AOC＝60°＋(－820°)＝
－760°，所以β＝－(760°－720°)＝－40°.
逐点清(二) 象限角
02
把角放在直角坐标系中，使角的顶点与______重合，角的始边与______轴的非负半轴重合．那么，角的______在第几象限，就说这个角是第几_________．如果角的终边在__________，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
多维理解
原点
终边
象限角
坐标轴上
x
|微|点|助|解|
(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限；正确区分锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．锐角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、负角)．
(2)每一个象限都有正角和负角．
1．(多选)下列各角是第二象限角的是( )
A．160° B．480° C．－960° D．1 530°
解析：160°很显然是第二象限角；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．
微点练明
√
√
√
2．90°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．不属于任何象限
解析：因为90°角的终边落在y轴的非负半轴上，所以90°角不属于任何象限．
√
3．下列叙述正确的是( )
A．三角形的内角是第一或第二象限角
B．钝角是第二象限角
C．第二象限角比第一象限角大
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
√
解析：直角不属于任何一个象限，故A不正确；
钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；
由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；
由于零角和负角也小于180°，故D不正确．
逐点清(三) 终边相同的角
03
多维理解
1．终边相同角的概念
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝___________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
|微|点|助|解|
(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略．
k有三层含义：①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角．②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)．③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k＝0时，没有转动．
(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．
(3)当角的始边相同时：相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；终边不同则表示的角一定不同．
2．象限角与轴线角的集合表示
(1)象限角
象限角 集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α(2)轴线角
角的终边的位置 集合表示
终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
微点练明
1．将－885°化为α＋k·360°(0≤α<360°，k∈Z)的形式是( )
A．－165°＋(－2)·360°
B．195°＋(－3)·360°
C．195°＋(－2)·360°
D．－195°＋(－3)·360°
解析：∵－885°＋1 080°＝195°，∴－885°＝195°＋
(－1 080°)＝195°＋(－3)·360°.
√
2．(多选)在－360°～360°范围内，与－410°角终边相同的角是( )
A．－50° B．－40°
C．310° D．320°
解析：因为－50°＝－410°＋360°，310°＝－410°＋2×360°，所以与－410°角终边相同的角是－50°和310°.
√
√
√
3．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上
C．x轴上 D．y轴的非负半轴上
解析：因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．
4．已知－990°＜α＜－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝__________.
解析：因为α与120°角终边相同，
所以α＝k·360°＋120°，k∈Z.
又－990°＜k·360°＋120°＜－630°，
即－1 110°＜k·360°＜－750°，
故取k＝－3，则α＝－3×360°＋120°＝－960°.
－960°
逐点清(四) 终边相同角的应用
04
[例1] 如图，终边落在阴影部分的角的集合是
( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
√
解析：阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，即k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z.
√
2．表示区域角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应的角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
针对训练
√
解析：令k＝0，得45°≤α≤90°.则B选项中的阴影部分区域符合题意．
√
√
课时跟踪检测
05
1
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2
√
1．下列说法正确的是( )
A．最大的角是180° B．最大的角是360°
C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小
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√
2．将－880°化为α＋k×360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是
( )
A．160°＋(－3)×360° B．200°＋(－2)×360°
C．160°＋(－2)×360° D．200°＋(－3)×360°
解析：－880°＝200°＋(－3)×360°.
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2
√
3．“α是锐角”是“α是第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为“α是锐角”能推出“α是第一象限角”，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件．
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4.已知角α在直角坐标系中，如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为( )
A．－480° B．－240°
C．150° D．480°
解析：由角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为480°，∴α＝480°.
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5．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
解析：因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同．
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√
6．在0°≤α＜360°中，与－510°角的终边相同的角为( )
A．150° B．210°
C．30° D．330°
解析：与－510°角终边相同的角可表示为β＝－510°＋k·360°，k∈Z.当k＝2时，β＝210°.
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7．(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边可能落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．故α的终边在第一或第三象限．
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8．若α为第二象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是
( )
A．第二象限 B．第一或第二象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
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解析：因为α为第二象限角，则2n·180°＋90°<α<2n·180°＋180°，n∈Z，因此(2n＋k)·180°＋90°＋180°，n，k∈Z，而2n为偶数，当k为奇数时，2n＋k为奇数，则k·180°＋α(k∈Z)为第四象限角，当k为偶数时，2n＋k为偶数，则k·180°＋α(k∈Z)为第二象限角，所以k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是第二或第四象限．
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√
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
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10．如果角α与角x＋45°具有相同的终边，角β与角x－45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是( )
A．α＋β＝0°
B．α－β＝90°
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)
√
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解析：利用终边相同的角的关系，得α＝n·360°＋x＋45°(n∈Z)，β＝m·360°＋x－45°(m∈Z)．则α＋β＝(m＋n)·360°＋2x(n∈Z，m∈Z)，与x有关，故A、C错误．因为α－β＝(n－m)·360°＋90°(n∈Z，m∈Z)，又m，n是整数，所以n－m也是整数，用k(k∈Z)表示，所以α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)．故B错误，D正确．
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11．若α＝2 024°，则与α有相同终边的最小正角β＝________.
解析：因为2 024°＝360°×5＋224°，所以与2 024°终边相同的最小正角是224°.
224°
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12．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为_______________．
120°，300°
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13.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，
那么角α的集合是__________________________________________.
{α|k·360°＋45°<α16
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解析：观察题图可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α16
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14．(10分)若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，求角α的值．
解：∵角5α与α具有相同的始边与终边，
∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，
∴α＝k·90°，k∈Z，
又180°<α<360°，∴180°解得2又k∈Z，∴k＝3.∴当k＝3时，α＝270°.
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15．(12分)已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；
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(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
解：令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
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16．(13分)如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针方向匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．
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解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z.
由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，
又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，
∴2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，
即45°<α<β<90°，
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16课时跟踪检测(四十三) 任意角
(满分100分,选填小题每题5分)
1.下列说法正确的是 ( )
A.最大的角是180° B.最大的角是360°
C.角不可以是负的 D.角可以是任意大小
2.将-880°化为α+k×360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是 ( )
A.160°+(-3)×360° B.200°+(-2)×360°
C.160°+(-2)×360° D.200°+(-3)×360°
3.“α是锐角”是“α是第一象限角”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知角α在直角坐标系中,如图所示,其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°,则α的值为 ( )
A.-480° B.-240°
C.150° D.480°
5.下面各组角中,终边相同的是 ( )
A.390°,690° B.-330°,750°
C.480°,-420° D.3 000°,-840°
6.在0°≤α<360°中,与-510°角的终边相同的角为 ( )
A.150° B.210°
C.30° D.330°
7.(多选)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边可能落在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.若α为第二象限角,则k·180°+α(k∈Z)的终边所在的象限是 ( )
A.第二象限 B.第一或第二象限
C.第一或第三象限 D.第二或第四象限
9.(多选)如图,若角α的终边落在阴影部分,则角的终边可能在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.如果角α与角x+45°具有相同的终边,角β与角x-45°具有相同的终边,那么α与β之间的关系是 ( )
A.α+β=0°
B.α-β=90°
C.α+β=k·360°(k∈Z)
D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)
11.若α=2 024°,则与α有相同终边的最小正角β= .
12.在0°~360°范围内,与角-60°的终边在同一条直线上的角为 .
13.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是 .
14.(10分)若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边与终边,求角α的值.
15.(12分)已知α=-1 910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限的角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
16.(13分)如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针方向匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.
课时跟踪检测(四十三)
1.D
2.选D -880°=200°+(-3)×360°.
3.选A 因为“α是锐角”能推出“α是第一象限角”,但是反之不成立,例如400°是第一象限角,但不是锐角,所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件.
4.选D 由角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转,可知α为正角.又旋转量为480°,∴α=480°.
5.选B 因为-330°=-360°+30°,750°=720°+30°,所以-330°与750°终边相同.
6.选B 与-510°角终边相同的角可表示为β=-510°+k·360°,k∈Z.当k=2时,β=210°.
7.选AC 当k=2m+1(m∈Z)时,α=2m·180°+225°=m·360°+225°,故α为第三象限角;当k=2m(m∈Z)时,α=m·360°+45°,故α为第一象限角.故α的终边在第一或第三象限.
8.选D 因为α为第二象限角,则2n·180°+90°<α<2n·180°+180°,n∈Z,因此(2n+k)·180°+90°9.选AC 依题意,得k·360°+40°≤α≤k·360°+100°,k∈Z,所以k·180°+20°≤≤k·180°+50°,k∈Z,当k为偶数时,的终边在第一象限;当k为奇数时,的终边在第三象限.
10.选D 利用终边相同的角的关系,得α=n·360°+x+45°(n∈Z),β=m·360°+x-45°(m∈Z).则α+β=(m+n)·360°+2x(n∈Z,m∈Z),与x有关,故A、C错误.因为α-β=(n-m)·360°+90°(n∈Z,m∈Z),又m,n是整数,所以n-m也是整数,用k(k∈Z)表示,所以α-β=k·360°+90°(k∈Z).故B错误,D正确.
11.解析:因为2 024°=360°×5+224°,所以与2 024°终边相同的最小正角是224°.
答案:224°
12.解析:与角-60°的终边在同一条直线上的角可表示为β=-60°+k·180°,k∈Z.∵所求角在0°~360°范围内,∴0°≤-60°+k·180°<360°,解得≤k<,k∈Z.∴k=1或2.当k=1时,β=120°;当k=2时,β=300°.
答案:120°,300°
13.解析:观察题图可知,角α的集合是{α|k·360°+45°<α答案:{α|k·360°+45°<α14.解:∵角5α与α具有相同的始边与终边,∴5α=k·360°+α,k∈Z,得4α=k·360°,k∈Z,∴α=k·90°,k∈Z,又180°<α<360°,∴180°15.解:(1)设α=β+k·360°(k∈Z),
则β=-1 910°-k·360°(k∈Z).
令-1 910°-k·360°≥0°,解得k≤-,
k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,
于是α=250°-6×360°,它是第三象限的角.
(2)令θ=250°+k·360°(k∈Z),
取k=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.
250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.
故θ=-110°或θ=-470°.
16.解:根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z.
由0°<α<β<180°,知0°<2α<2β<360°,
又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,
∴2α,2β都是钝角,即90°<2α<2β<180°,
即45°<α<β<90°,
∴45°<α=·180°<90°,45°<β=·180°<90°,∴∵α<β,∴m∴α=,β=.
