5.1.2 弧度制—— (教学方式:基本概念课逐点理清式教学)
[课时目标]
1.了解弧度制下,角的集合与实数集之间的一一对应关系.
2.明确圆周角度数和弧度数,有助于熟练掌握角度与弧度的互化.
3.掌握弧长公式和扇形面积公式,熟悉特殊角的弧度数.
逐点清(一) 弧度制的概念
[多维理解]
1.弧度的角
我们规定:长度等于 长的 所对的圆心角叫做1弧度的角.
2.弧度数与弧度数的计算
|微|点|助|解|
角度制与弧度制是两种不同的度量单位,在表示角时,二者不可混用.
角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十 进制
弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制
[微点练明]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. ( )
(2)用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关. ( )
(3)1°的角是周角的,1 rad的角是周角的. ( )
(4)1 rad的角比1°的角要大. ( )
2.下列说法正确的是 ( )
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
3.时针经过四个小时,转过了 ( )
A. rad B.- rad
C. rad D.- rad
4.二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法,是中华民族劳动人民智慧的结晶.从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒.二十四节气的对应图如图所示,从谷雨节气到大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为 ( )
A. B.π
C. D.
逐点清(二) 角度制与弧度制的互化
[多维理解]
角度化弧度 弧度化角度
360°= rad 2π rad=
180°= rad π rad=
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57.30°
度数×=弧度数 弧度数×°=度数
|微|点|助|解|
角度与弧度互化的原则和方法
(1)原则:牢记180°=π rad,
充分利用1°= rad,1 rad=°进行换算.
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=°;n°=n· rad.
[微点练明]
1.若α=-2 rad,则α的终边在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(多选)下列转化结果正确的是 ( )
A.72°化成弧度是
B.-π化成角度是-660°
C.-150°化成弧度是-π
D.化成角度是15°
3.时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为 ( )
A.π B.-π
C.π D.-π
4.将下表中的角度和弧度互化:
角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360°
弧度 π
逐点清(三) 用弧度制表示终边相同的角
[典例] 将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α<2π.判断它是第几象限角.
听课记录:
[变式拓展]
若本例条件不变,在[-4π,4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.
|思|维|建|模|
1.弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
2.用弧度表示角的注意点
(1)注意角度与弧度不能混用.
(2)各终边相同的角需加2kπ,k∈Z.
(3)求两个角的集合的交集时,注意应用数轴直观确定,可对k进行适当的赋值.
[针对训练]
1.下列各角中,终边相同的角是 ( )
A.π和240° B.-和314°
C.-π和π D.3和3°
2.α的终边与的终边关于直线y=x对称,则α的取值集合为 .
逐点清(四) 弧长公式与扇形面积公式
[多维理解]
设扇形的半径为r,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则
(1)弧长公式:l= .
(2)扇形面积公式:S=lr= .
|微|点|助|解|
1.扇形弧长、面积公式的变形运用
(1)l=|α|·r |α|=,r=.
(2)S=|α|r2 |α|=.
2.谨记两个注意点
(1)在弧度制中,弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.
(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α是弧度.
[微点练明]
1.已知弧长为π的扇形面积也为π,则该扇形的圆心角(正角)为 ( )
A. B. C. D.
2.(多选)若扇形的弧长变为原来的2倍,半径变为原来的2倍,则 ( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积变为原来的4倍
D.扇形的圆心角变为原来的2倍
3.已知某扇形的面积为3,则该扇形的周长最小值为 ( )
A.2 B.4
C.2 D.4
4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法,其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注:匝,意为周,环绕一周叫一匝),书中提到如图所示的一块“环田”:中周九十五步,外周一百二十五步,所在扇形的圆心角大小为5(单位:弧度),则该“环田”的面积为 ( )
A.600平方步 B.640平方步
C.660平方步 D.700平方步
5.1.2 弧度制
[多维理解] 1.半径 圆弧 2.正 负 0
[微点练明]
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.选A 对于A,根据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”,故A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,只有在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是相等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也可以是负角或零角,故D错误.
3.选B 因为时针顺时针旋转,转过一圈(12小时)的角度为-2π rad,所以时针经过四个小时,转过了·(-2π)rad=- rad.
4.选C 由题意,二十四节气将一个圆24等分,所以每相邻的两个节气对应的弧度数为=,则从谷雨到大雪,二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个节气,所以转过的弧所对的圆心角的弧度数为15×=.
[多维理解] 2π 360° π 180°
[微点练明]
1.选C ∵-π<-2<-,∴α是第三象限角.故选C.
2.选AD 因为72°=72×=,所以A正确.因为-π rad=-600°,所以B不正确.因为-150°=- rad,所以C不正确.因为 rad=15°,所以D正确.
3.选B 分针每分钟转6°,则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为-6°×(2×60+20)=-840°,∴-840×=-π,故选B.
4.
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
[典例] 解:-1 125°=-1 125×=-=-8π+.因为<<2π,所以是第四象限角.所以-1 125°是第四象限角.
[变式拓展]
解:依题意,与α终边相同的角为+2kπ,k∈Z.由-4π≤+2kπ≤4π,k∈Z,
知k=-2,-1,0,1.所以所求角的集合为.
[针对训练]
1.选C 对于A选项,=120°,不合题意;对于B选项,-=-36°,314°-(-36°)=350°,不合题意;对于C选项,π-=4π,符合题意;对于D选项,3≈3×57.30°=171.90°,171.90°-3°=168.90°,不合题意.
2.解析:α的终边与的终边关于直线y=x对称,所以α的终边与的终边相同,所以α的取值集合为.
答案:
[多维理解] (1)αr (2)αr2
[微点练明]
1.选D 设该扇形的圆心角为α,半径为r,则解得r=2,α=.
2.选BC 设原扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则原扇形的面积为S1=lr.扇形的弧长变为原来的2倍,半径变为原来的2倍后,其面积为S2=·2l·2r=2lr,故S2=4S1,故A错误,C正确;由α==,可知扇形的圆心角不变,故B正确,D错误.
3.选D 设扇形的弧长为l,半径为r,所以扇形的面积为·l·r=3.所以lr=6.又扇形的周长为l+2r,所以l+2r≥2=4,当且仅当即l=2r=2时,取等号.
4.选C 设中周的半径是R1,外周的半径是R2,圆心角为α=5,则解得则该“环田”的面积为S=α-α=×5×(252-192)=660平方步.(共64张PPT)
5.1.2
弧度制
—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．
2．明确圆周角度数和弧度数，有助于熟练掌握角度与弧度的互化．
3．掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 弧度制的概念
逐点清(二) 角度制与弧度制的互化
逐点清(三) 用弧度制表示终边相同的角
4
逐点清(四) 弧长公式与扇形面积公式
5
课时跟踪检测
逐点清(一) 弧度制的概念
01
多维理解
1．弧度的角
我们规定：长度等于_____长的_____所对的圆心角叫做1弧度的角.
2．弧度数与弧度数的计算
半径
圆弧
|微|点|助|解|
角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.
角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制
弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制
微点练明
√
×
√
√
2．下列说法正确的是( )
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
√
解析：对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误．
√
√
逐点清(二) 角度制与弧度制的互化
02
多维理解
2π
π
360°
180°
|微|点|助|解|
角度与弧度互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，
1．若α＝－2 rad，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
微点练明
√
√
√
√
3．时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为( )
4．将下表中的角度和弧度互化：
60°
90°
180°
270°
0
2π
逐点清(三) 用弧度制表示
终边相同的角
03
[典例] 将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.判断它是第几象限角．
[变式拓展]
若本例条件不变，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合．
|思|维|建|模|
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．用弧度表示角的注意点
(1)注意角度与弧度不能混用．
(2)各终边相同的角需加2kπ，k∈Z.
(3)求两个角的集合的交集时，注意应用数轴直观确定，可对k进行适当的赋值．
针对训练
√
逐点清(四) 弧长公式与
扇形面积公式
04
多维理解
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝____.
αr
2．谨记两个注意点
(1)在弧度制中，弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.
(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α是弧度.
微点练明
√
√
2．(多选)若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的4倍
D．扇形的圆心角变为原来的2倍
√
√
4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”
(注：匝，意为周，环绕一周叫一匝)，书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5(单位：弧度)，则该“环田”的面积为( )
A．600平方步 B．640平方步
C．660平方步 D．700平方步
√
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4．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是( )
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6．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )
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8．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角，在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为6－25，则该扇形的面积为( )
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10．写出一个与－1 130°终边相同的正角α＝
______________________________________.(用弧度数表示)
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12．填写下表
144°
－2 025°
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14．(12分)(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
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(2)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
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15．(13分)中国最早用土和石片刻制成“土圭”与“日晷”两种计时工具．铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针重合n次.
(1)建立t关于n的函数关系；
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(2)求一天内分针和时针重合的次数n.课时跟踪检测(四十四) 弧度制
(满分90分,选填小题每题5分)
1.把化成角度制是 ( )
A.36° B.30°
C.24° D.12°
2.时针经过一小时,转过了 ( )
A. rad B.- rad
C. rad D.- rad
3.用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为 ( )
A.
B.
C.
D.
4.自行车的大链轮有88齿,小链轮有20齿,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮转过的弧度数是 ( )
A. B.
C. D.
5.(多选)下列命题正确的是 ( )
A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B.5弧度的角是第四象限角
C.α是第一象限角,则-α也是第一象限角
D.-1弧度角是锐角
6.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长,则这段圆弧所对的圆心角为 ( )
A. B.
C. D.
7.(多选)已知α与β是终边相同的角,且β=-π,那么可能是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
8.密位制是度量角的一种方法,把一周角等分为6 000份,每一份叫做1密位的角,在角的密位制中,单位可省去不写,采用四个数码表示角的大小,在百位数与十位数之间画一条短线,如7密位写成“0-07”,478密位写成“4-78”.如果一个半径为4的扇形,其圆心角用密位制表示为6-25,则该扇形的面积为 ( )
A. B.2π
C. D.
9.(多选)下列命题正确的是 ( )
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为
B.终边落在y轴上的角的集合为
C.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315°
D.第三象限角的集合为
10.写出一个与-1 130°终边相同的正角α= .(用弧度数表示)
11.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的弧长为 ,面积为 .
12.填写下表
α的度数 -570° 375°
α的弧度数 -
α所在的象限
在(-4π,π)内与 α终边相同的角
13.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径为4 m的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 m2(精确到1 m2).
14.(12分)(1)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数.
(2)已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时,扇形的面积最大 最大值是多少
15.(13分)中国最早用土和石片刻制成“土圭”与“日晷”两种计时工具.铜器时代,使用青铜制的“漏壶”,东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”,元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”,一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数,从午夜零时算起,假设分针走了t min会与时针重合,一天内分针和时针重合n次.
(1)建立t关于n的函数关系;
(2)求一天内分针和时针重合的次数n.
课时跟踪检测(四十四)
1.选A 由角度制与弧度制的互化知,π rad=180°.所以 rad=°=36°.
2.选B 时针经过一小时,转过-30°,-30°=- rad.
3.选D 因为150°=150×=,所以与150°角的终边相同的角的集合为ββ=+2kπ,k∈Z.
4.选B 由题意知,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮逆时针转过周,则小链轮转过的弧度数是×2π=.
5.选BC A选项,1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角,A选项错误.B选项,因为<5<2π,所以5弧度的角是第四象限角.B选项正确.C选项,因为α是第一象限角,即2kπ<α<2kπ+,k∈Z,所以-2kπ-<-α<-2kπ,k∈Z,-2kπ<-α<-2kπ+,k∈Z.所以-α也是第一象限角.C选项正确.D选项,因为-1弧度角是负角,所以不是锐角.D选项错误.
6.选C 如图,设圆的半径为R,则正方形边长为R,
∴弧长l=R,∴圆心角α===.
7.选BD α与β是终边相同的角,且β=-,故α=-+2kπ,k∈Z.故=-+kπ,k∈Z.当k=2n,n∈Z时,=-+2nπ,n∈Z,是第四象限角;当k=2n+1,n∈Z时,=+2nπ,n∈Z,是第二象限角.综上所述,可能是第二或第四象限角.
8.选C 依题意,该扇形的圆心角为α=×2π=,故所求扇形的面积为S=αr2=××42=.
9.选AC 终边落在x轴的非负半轴的角的集合为,故A正确;由于角度制和弧度制不能混用,故B错误;所有与45°角终边相同的角可以表示为,则在-720°~0°范围内,取k=-2,-1,得α=-675°,α=-315°,故C正确;第三象限角的集合为,故D错误.
10.解析:因为-1 130°+360°×4=310°=,所以与-1 130°终边相同的正角为+2kπ,k∈N,写出一个即可为.
答案:
11.解析:因为60°=,所以扇形的弧长为l=|α|·r=×=π,面积为S=lr=×π×=π.
答案:π π
12.
α的度数 -570° 375° 144° -2 025°
α的弧度数 - -
α所在 的象限 二 一 二 二
在(-4π, π)内与α 终边相 同的角 -, , -, - -, - -, -,
13.解析:=120°,根据题意,弦=2×4sin=4(m),矢=4-4cos=2(m),因此弧田面积=×(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2≈9(m2).
答案:9
14.解:(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l cm,半径为R cm,依题意有
①代入②得R2-5R+4=0,解得R=1或R=4.
当R=1时,l=8,此时,θ=8 rad>2π rad舍去.
当R=4时,l=2,此时,θ==(rad).
综上可知,扇形圆心角的弧度数为 rad.
(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半径为r,面积为S,
则l+2r=4,所以l=4-2r,
所以S=lr=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1,所以当r=1时,S最大,且Smax=1,此时θ===2(rad).
15.解:(1)设经过t min分针就与时针重合,n为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为=(rad/min),时针旋转的角速度为=(rad/min),
所以t=2πn,即t=n.
(2)因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1 440(min),所以n≤1 440,于是n≤22,故时针与分针一天内只重合22次.
