5.2.1 三角函数的概念
第1课时 三角函数的概念 (教学方式:深化学习课梯度进阶式教学)
[课时目标] 借助单位圆理解任意角的三角函数的定义,能利用定义求三角函数值及参数值.
1.三角函数的定义
条 件 如图,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)
定 义 正弦 函数 把点P的纵坐标 叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=
余弦 函数 把点P的横坐标 叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=
正切 函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切,记作tan α,即=
三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三角函数
2.三角函数定义的推广
设点P(x,y)是角α终边上任意一点且不与原点O重合,r=OP=,则sin α= ,cos α= ,tan α= (x≠0).
|微|点|助|解|
(1)在任意角的三角函数的定义中,应该明确:α是一个任意角,其范围是使函数有意义的实数集.
(2)三角函数值是比值,是一个实数,它的大小与点P在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.
3.三角函数的定义域
三角函数 解析式 定义域
正弦函数 y=sin x
余弦函数 y=cos x
正切函数 y=tan x
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若α的终边与x轴负半轴重合,则tan α不存在. ( )
(2)若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos α=-. ( )
(3)若α为三角形的内角,则必有sin α>0. ( )
2.已知角α的终边与单位圆的交点为P,则tan α= ( )
A. B.-
C. D.-
3.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α等于 ( )
A. B.
C.- D.-
题型(一) 已知角的终边上一点求三角函数值
[例1] 已知角α的终边与单位圆的交点为，则sin α＝( )
A．－ B．± C．± D．±
[例2] 已知角α的终边上一点P的坐标是(5m,12m)，其中m≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值的策略
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
[针对训练]
1．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与 x轴的非负半轴重合．若角α终边上一点P的坐标为，则sin αtan α＝________.
2．已知α＝，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
题型(二) 已知角的终边所在直线求三角函数值
[例3] 已知角α的终边落在射线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
听课记录：
|思|维|建|模|
解决有关角的终边在直线上的三角函数值的策略
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
[针对训练]
3．(多选)已知角α的终边落在直线2x＋y＝0上，则( )
A．sin α＝，tan α＝2
B．sin α＝，tan α＝－2
C．sin α＝－，cos α＝
D．cos α＝－，tan α＝－2
题型(三) 利用三角函数定义求点的坐标或参数值
[例4] 已知角α终边经过点P(－8m，－6cos 60°)，且cos α＝－，则m的值为( )
A. B．－ C．－ D.
听课记录：
|思|维|建|模|
当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
[针对训练]
4．已知点P(－，y)为角β终边上的一点，且sin β＝，则y的值为________．
5．已知角α的终边上有一点P，OP＝25，且sin α＝－，求点P的坐标．
第1课时 三角函数的概念
课前预知教材
1.y sin α x cos α tan α(x≠0) 2. 3.R R
[基础落实训练]
1.(1)× (2)× (3)√ 2.B 3.D
课堂题点研究
[例1] 选C 由题意,得+y2=1,
∴y=±,∴sin α=y=±.故选C.
[例2] 解:令x=5m,y=12m,
则r===13|m|,
①当m>0时,r=13m,sin α===,cos α===,tan α==;
②当m<0时,r=-13m,sin α==-=-,cos α==-=-,tan α==.
[针对训练]
1.解析:由P,得P.则sin α==,tan α==-.故sin αtan α=-.
答案:-
2.解析:
在直角坐标系中,作∠AOB=(如图).易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为,所以sin=,cos=-,tan=-.
答案: - -
[例3] 解:法一 设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),联立解得或即点P坐标为或,
当点P坐标为时,sin α=,
cos α=,tan α=2.当点P坐标为时,
sin α=-,cos α=-,tan α=2.
法二 ①若α的终边在第一象限时,
设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点,
因为r=|OP|==a,
所以sin α===,cos α===,tan α=2.
②若α的终边在第三象限时,设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点,
因为r=|OP|==-a(a<0),
所以sin α===-,
cos α===-,tan α=2.
[针对训练]
3.选BCD 直线2x+y=0,
即y=-2x,经过第二、第四象限.
在第二象限取直线上的点(-1,2),
则r==3.
所以sin α=,cos α=-,tan α=-2.在第四象限取直线上的点(1,-2),则r= =3.所以sin α=-,cos α=,tan α=-2.
[例4] 选A 由点P的坐标可化为(-8m,-3),得r==.由三角函数的定义知,cos α===-.即100m2=64m2+9,解得m=±.当m=-时,点P的坐标为(4,-3),则cos α为正,不符合题意.故m=.
[针对训练]
4.解析:由三角函数的定义,得sin β===.则y>0,且=,整理,得13y2=5+y2.
解得y=.
答案:
5.解:设点P的坐标为(x,y),r=OP=25.
∵π<α<,∴x<0,y<0.
∵sin α=-,∴sin α===-,解得y=-20.
∵r=OP=25,∴=25,即=25.又x<0,解得x=-15.故点P的坐标为(-15,-20).(共65张PPT)
5.2.1
三角函数的概念
三角函数的概念
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
借助单位圆理解任意角的三角函数的定义，能利用定义求三角函数值及参数值．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1．三角函数的定义
条件
如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)
续
表
y
sin α
x
cos α
tan α(x≠0)
2．三角函数定义的推广
|微|点|助|解|
(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
(2)三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
3．三角函数的定义域
R
R
基础落实训练
×
×
√
√
3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( )
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 已知角的终边上一点求三角函数值
√
[例2] 已知角α的终边上一点P的坐标是(5m,12m)，其中m≠0，求sin α，cos α，tan α的值.
|思|维|建|模|
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值的策略
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
针对训练
题型(二) 已知角的终边所在直线求三角函数值
[例3] 已知角α的终边落在射线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值.
|思|维|建|模|
解决有关角的终边在直线上的三角函数值的策略
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
针对训练
√
√
√
题型(三) 利用三角函数定义求点的坐标或参数值
√
|思|维|建|模|
当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
针对训练
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1．若角α的终边上有一点P(0,3)，则下列式子无意义的是( )
A．tan α B．sin α
C．cos α D．都有意义
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3．平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在坐标原点O，始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(m,1)，若tan α＝－2，则m＝( )
√
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5．已知角α的终边经过点(1，－3)，若角α与θ的终边关于y轴对称，则2sin θ－cos θ＝( )
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6．若α的终边与x轴负半轴重合，则sin α＝________，cos α＝_______，tan α＝______.
解析：当α的终边与x轴负半轴重合时，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.
0
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7．已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角θ终边上，且|OA|≤3，则tan θ的值可以是______________________．(写出一个即可)
1(0，±1，±2均可)
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9．(8分)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α.
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B级——重点培优
11．已知角α的终边经过点P(2，tan α－7)，则tan α＝( )
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14．已知函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点)，则tan α＝________.
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11课时跟踪检测(四十五) 三角函数的概念
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若角α的终边上有一点P(0,3),则下列式子无意义的是 ( )
A.tan α B.sin α
C.cos α D.都有意义
2.已知sin α=,cos α=-,则角α的终边与单位圆的交点坐标是 ( )
A. B.
C. D.
3.平面直角坐标系xOy中,角α的顶点在坐标原点O,始边是x轴的非负半轴,终边经过点P(m,1),若tan α=-2,则m= ( )
A.-2 B.-
C. D.2
4.已知角α的终边上有一点P(1,-2),则sin α-cos α 的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
5.已知角α的终边经过点(1,-3),若角α与θ的终边关于y轴对称,则2sin θ-cos θ= ( )
A.- B.
C.- D.
6.若α的终边与x轴负半轴重合,则sin α= ,cos α= ,tan α= .
7.已知角θ的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,点A(1,a)(a∈Z)在角θ终边上,且|OA|≤3,则tan θ的值可以是 .(写出一个即可)
8.已知角α的终边经过点(2a+1,a-2),且cos α=-,则实数a的值是 .
9.(8分)已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α.
10.(8分)已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=x,求sin θ,tan θ.
B级——重点培优
11.已知角α的终边经过点P(2,tan α-7),则tan α= ( )
A.-7 B.7
C.- D.
12.我们学过度量角有角度制与弧度制,最近,有学者提出用“面度制”度量角,因为在半径不同的同心圆中,同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数,从而称这个常数为该角的面度数,这种度量角的制度,叫做面度制.在面度制下,若角α的面度数为,则角α的正弦值是 ( )
A.- B.
C.- D.
13.(多选)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上存在两点A(-1,a),B(b,1)且sin α=,则 ( )
A.a=- B.b=-2
C.cos α=- D.tan α=-
14.已知函数f(x)=loga(x-2)+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点A,若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点),则tan α= .
15.(10分)已知角α的终边上的点P与点A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与点A关于直线y=x对称,求++的值.
16.(10分)若角α的终边落在直线y=x上,角β的终边与单位圆交于点,且sin αcos β<0,求 cos αsin β的值.
课时跟踪检测(四十五)
1.选A 由三角函数的定义sin α=,cos α=,tan α=,可知tan α无意义.
2.选D 设交点坐标为P(x,y),则y=sin α=,x=cos α=-,∴点P.
3.选B 由题意,tan α==-2,解得m=-.
4.选D 因为sin α==-,cos α==,所以sin α-cos α=--=-.
5.选A ∵角α的终边经过点(1,-3),角α与θ的终边关于y轴对称,∴角θ的终边经过点(-1,-3),∴sin θ=-=-,cos θ=-=-,∴2sin θ-cos θ=-+=-.
6.解析:当α的终边与x轴负半轴重合时,角α的终边与单位圆的交点坐标为(-1,0),故sin α=0,cos α=-1,tan α=0.
答案:0 -1 0
7.解析:由|OA|≤3,即1+a2≤9,解得-2≤a≤2,又a∈Z,故a的值可为-2,-1,0,1,2,则tan θ==a,即tan θ的值可以是0或±1或±2.
答案:1(0,±1,±2均可)
8.解析:∵r==,cos α==-,∴9(a2+1)=5(2a+1)2.又2a+1<0,解得a=-2.
答案:-2
9.解:因为r==5|a|.
①若a>0,则r=5a,角α在第二象限,sin α===,cos α===-,
所以2sin α+cos α=-=1.
②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,
sin α==-,cos α==,
所以2sin α+cos α=-+=-1.
综上,2sin α+cos α=±1.
10.解:由题意知r=OP=.
由三角函数定义,得cos θ==.
又因为cos θ=x,所以=x.因为x≠0,所以x=±1.
当x=1时,P(1,3),
此时sin θ==,tan θ==3;当x=-1时,P(-1,3),
此时sin θ==,
tan θ==-3.
11.选A 由角α的终边经过点P(2,tan α-7),得tan α=,解得tan α=-7.
12.选D 设角α所在的扇形的半径为r,面积为S,则由题意可得==,解得α=,所以sin α=sin=,故选D.
13.选BCD 因为角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上存在两点A(-1,a),B(b,1)且sin α=,所以==,所以a2=,b2=8,由=,可知a>0,所以角α为第二象限的角,所以b<0,所以a=,b=-2,所以A错误,B正确;所以cos α==,tan α==-=-,所以C、D正确.故选BCD.
14.解析:由对数函数图象性质易知函数f(x)=loga(x-2)+1过定点A(3,1),点A在角α的终边OP上,由三角函数定义可得tan α==,所以tan α=.
答案:
15.解:由题意可知点P(a,-b),
则sin α=,
cos α=,tan α=-;
由题意可知点Q(b,a),则sin β=,cos β=,tan β=,
所以++=-1-+=0.
16.解:由角β的终边与单位圆交于点,得cos β=.又sin αcos β<0,
所以sin α<0.因为角α的终边落在直线y=x上,
所以角α只能是第三象限角.
记P 为角α的终边与单位圆的交点,设P(x,y)(x<0,y<0),
则OP=1,即x2+y2=1.又y=x,
解得x=-,y=-.即cos α=-.
因为点在单位圆上,所以+m2=1.解得m=±.即sin β=±.
所以cos αsin β=±.
