第 2 课时 三角函数值的符号及公式一
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．
2．通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．
(一)三角函数值的符号
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号如图所示．
|微|点|助|解|
(1)由三角函数的定义知，sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0，r>0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断三角函数值符号的关键．
(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(二)公式一
(1)终边相同的角的同一三角函数的值________．
(2)公式：sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________，tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z.
|微|点|助|解|
对诱导公式一的三点说明
(1)公式一的实质是终边相同的角，其同名三角函数值相等．因为这些角的终边是同一条射线，所以根据三角函数的定义可知，这些角的三角函数值相等．
(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；
②公式左边的角为α＋k·2π，右边为α，k∈Z不可遗漏．
(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．
基础落实训练
1．已知角α是第二象限的角，则cos α的值一定( )
A．小于零 B．大于零
C．等于零 D．不确定
2．sin 390°＝( )
A．－ B. C. D．－
3．若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知tan α＝3，则tan(α＋4π)的值为________．
题型(一) 判断三角函数值的符号
[例1] (多选)下列选项中，符号为负的是( )
A．sin(－100°) B．cos(－220°)
C．tan 10 D．cos π
听课记录：
|思|维|建|模| 判断三角函数值符号的两个步骤
定象限 确定角α所在的象限
定符号 利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断
[针对训练]
1．判断下列各式的符号．
(1)tan 191°－cos 191°；
(2)sin 2cos 3tan 4.
题型(二) 由三角函数值的符号判断角所在象限
[例2] 若sin α<0，cos α<0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[例3] 若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
听课记录：
|思|维|建|模|
对于确定角α是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据三角函数值的符号来确定角α是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角α的终边所在的象限来判断角α的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决．
[针对训练]
2．若α是第四象限角，则点P(cos α，tan α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若角α满足sin αcos α<0，cos α－sin α<0，则α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题型(三) 公式一的简单应用
[例4] 计算下列各式的值．
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋cos·tan 4π.
听课记录：
|思|维|建|模|
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
[针对训练]
4.计算下列各式的值．
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sin＋tan.
第2课时 三角函数值的符号及公式一
课前预知教材
(二)(1)相等 (2)sin α cos α tan α
[基础落实训练]
1.A 2.B 3.D 4.3
课堂题点研究
[例1] 选ABD -100°在第三象限,故sin(-100°)<0;-220°在第二象限,故cos(-220°)<0;10∈,在第三象限,故tan 10>0;cos π=-1<0.
[针对训练]
1.解:(1)∵191°是第三象限角,
∴tan 191°>0,cos 191°<0.
∴tan 191°-cos 191°>0.
(2)∵<2<π,<3<π,π<4<,
∴2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角.∴sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0.
∴sin 2cos 3tan 4<0.
[例2] 选C 因为sin α<0,所以α在第三象限或第四象限,或α终边为y轴非正半轴.因为cos α<0,所以α在第二象限或第三象限,或α终边为x轴非正半轴.所以α是第三象限角.
[例3] 选C 由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α是第二或第三象限角.由<0可知cos α,tan α异号,从而α是第三或第四象限角.综上,可知α是第三象限角.
[针对训练]
2.选D 因为α是第四象限角,所以cos α>0,tan α<0,即点P(cos α,tan α)在第四象限.
3.选B ∵sin αcos α<0,∴α是第二或第四象限角.当α是第二象限角时,cos α<0,sin α>0,满足cos α-sin α<0;当α是第四象限角时,cos α>0,sin α<0,则cos α-sin α>0,不合题意.综上所述,α是第二象限角.
[例4] 解:(1)原式=sin(-4×360°+45°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)·sin(2×360°+30°)
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°
=×+×
=+=.
(2)原式=sin+cos·tan(4π+0)=sin+cos×0=.
[针对训练]
4.解:(1)原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(2×360°+30°)=tan 45°-sin 90°+cos 30°=1-1+=.
(2)原式=sin+tan
=sin+tan=+1.(共51张PPT)
三角函数值的符号及公式一
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
2.通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)三角函数值的符号
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号如图所示．
(二)公式一
(1)终边相同的角的同一三角函数的值______．
(2)公式：sin(α＋k·2π)＝______，cos(α＋k·2π)＝_____，tan(α＋k·2π)＝______，其中k∈Z.
相等
sin α
cos α
tan α
|微|点|助|解|
对诱导公式一的三点说明
(1)公式一的实质是终边相同的角，其同名三角函数值相等.因为这些角的终边是同一条射线，所以根据三角函数的定义可知，这些角的三角函数值相等．
(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；
②公式左边的角为α＋k·2π，右边为α，k∈Z不可遗漏．
(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π
(或0°～360°)角的三角函数值．
基础落实训练
1．已知角α是第二象限的角，则cos α的值一定( )
A．小于零 B．大于零
C．等于零 D．不确定
√
√
3．若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由角α是第三象限角知，sin α＜0，因此P(2，sin α)在第四象限，故选D.
√
4．已知tan α＝3，则tan(α＋4π)的值为________．
解析：因为tan α＝3，所以tan(α＋4π)＝tan α＝3.
3
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 判断三角函数值的符号
[例1] (多选)下列选项中，符号为负的是( )
A．sin(－100°) B．cos(－220°)
C．tan 10 D．cos π
√
√
√
|思|维|建|模| 判断三角函数值符号的两个步骤
定象限 确定角α所在的象限
定符号 利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断
针对训练
1．判断下列各式的符号．
(1)tan 191°－cos 191°；
解：∵191°是第三象限角，
∴tan 191°>0，cos 191°<0.
∴tan 191°－cos 191°>0.
(2)sin 2cos 3tan 4.
题型(二) 由三角函数值的符号判断角所在象限
[例2] 若sin α<0，cos α<0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：因为sin α<0，所以α在第三象限或第四象限，或α终边为y轴非正半轴．因为cos α<0，所以α在第二象限或第三象限，或α终边为x轴非正半轴．所以α是第三象限角．
√
√
|思|维|建|模|
对于确定角α是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据三角函数值的符号来确定角α是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角α的终边所在的象限来判断角α的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决．
针对训练
2．若α是第四象限角，则点P(cos α，tan α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为α是第四象限角，所以cos α>0，tan α<0，即点P(cos α，tan α)在第四象限．
√
3．若角α满足sin αcos α<0，cos α－sin α<0，则α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵sin αcos α<0，∴α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，cos α<0，sin α>0，满足cos α－sin α<0；当α是第四象限角时，cos α>0，sin α<0，则cos α－sin α>0，不合题意．综上所述，α是第二象限角．
√
题型(三) 公式一的简单应用
|思|维|建|模| 利用诱导公式一进行化简求值的步骤
针对训练
4.计算下列各式的值．
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1．sin(－1 380°)的值为( )
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2．(多选)若sin θcos θ>0，则θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为sin θcos θ>0，所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0.所以θ的终边在第一象限或第三象限．
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3．(多选)下列函数值的符号为正的是( )
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4．计算log2(4sin 1 110°)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
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5．(多选)数学家高斯在19岁时，解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题，并认为这是他最得意的作品之一.设α是圆内接正十七边形的一个内角，则( )
A．cos α<0 B．sin 2α>0
C．cos 2α>0 D．tan 2α>0
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6．若角420°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是________．
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7．sin(－330°)cos 390°＝__________.
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9．(8分)已知角α的终边经过点P(3,4)．
(1)求tan(－6π＋α)的值；
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B级——重点培优
11．在△ABC中，若sin Acos Btan C<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
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解析：在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，∵sin A>0，∴cos B·
tan C<0.∴B，C一个为锐角，另一个为钝角.∴△ABC为钝角三角形.
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{－1,3}
解析：依题意，角x的终边不在坐标轴上，当x为第一象限角时，y＝1＋1＋1＝3，当x为第二象限角时，y＝1－1－1＝－1，当x为第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1，当x为第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1，综上函数的值域为{－1,3}．
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14．(12分)(1)已知θ是第二象限角，试判断tan(sin θ)·tan(cos θ)的符号．
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(2)若sin(cos θ)cos(sin θ)<0，求θ的终边的位置．
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13课时跟踪检测(四十六) 三角函数值的符号及公式一
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.sin(-1 380°)的值为 ( )
A.- B.
C.- D.
2.(多选)若sin θcos θ>0,则θ的终边在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(多选)下列函数值的符号为正的是 ( )
A.sin 105° B.cos 325°
C.tan D.tan
4.计算log2(4sin 1 110°)的值为 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
5.(多选)数学家高斯在19岁时,解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题,并认为这是他最得意的作品之一.设α是圆内接正十七边形的一个内角,则 ( )
A.cos α<0 B.sin 2α>0
C.cos 2α>0 D.tan 2α>0
6.若角420°的终边上有一点(4,-a),则a的值是 .
7.sin(-330°)cos 390°= .
8.已知角α的终边经过点P(3,-4t),且sin(2kπ+α)=-,其中k∈Z,则t的值为 .
9.(8分)已知角α的终边经过点P(3,4).
(1)求tan(-6π+α)的值;
(2)求·sin(α-2π)·cos(2π+α)的值.
10.(10分)设α是三角形的一个内角,在sin α,cos α,tan α,tan中,哪些有可能取负值
B级——重点培优
11.在△ABC中,若sin Acos Btan C<0,则△ABC是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
12.黑洞原指非常奇怪的天体,它体积小、密度大、吸引力强,任何物体到了它那里都别想再出来,数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串,长度不限,依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数,把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作,最后会得到一个反复出现的数字串,我们称它为“数字黑洞”,如果把这个数字串设为a,则 sin= ( )
A. B.-
C. D.-
13.函数y=++的值域是 .
14.(12分)(1)已知θ是第二象限角,试判断tan(sin θ)·tan(cos θ)的符号.
(2)若sin(cos θ)cos(sin θ)<0,求θ的终边的位置.
15.(12分)已知=-,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限;
(2)若角α的终边上一点是M,且OM=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
课时跟踪检测(四十六)
1.选D sin(-1 380°)=sin(-4×360°+60°)=sin 60°=.
2.选AC 因为sin θcos θ>0,所以sin θ<0,cos θ<0或sin θ>0,cos θ>0.所以θ的终边在第一象限或第三象限.
3.选ABD ∵105°为第二象限角,∴sin 105°>0.∵325°为第四象限角,∴cos 325°>0.∵∈,∴为第二象限角.
∴tan<0.∵∈,∴为第三象限角.∴tan>0.
4.选A 因为sin 1 110°=sin(3×360°+30°)=sin 30°=,故原式=-1.
5.选AC 正十七边形内角和为(17-2)π=15π,故α=.因为<α<π,所以cos α<0,故A正确.因为<α<π,所以<2α<2π.故 sin 2α<0,cos 2α>0,tan 2α<0,故C正确,B、D均错误.
6.解析:由题意,得tan 420°=-,即tan 60°=-,解得a=-4.
答案:-4
7.解析:由诱导公式一可得,sin(-330°)·cos 390°=sin 30°cos 30°=×=.
答案:
8.解析:因为sin(2kπ+α)=-(k∈Z),所以sin α=-.又角α的终边过点P(3,-4t),故sin α==-,即=,所以t>0,解得t=.
答案:
9.解:设x=3,y=4,则r==5,
所以sin α==,tan α==.
(1)tan(-6π+α)=tan α=.
(2)原式=·sin α·cos α=sin2α==.
10.解:当α是钝角时,cos α和tan α取负值,
当0<α<180°时,0<<90°,此时sin α和tan均为正值.
即α是三角形的一个内角时,cos α和tan α有可能取负值.
11.选C 在△ABC中,A,B,C∈(0,π),∵sin A>0,∴cos B·tan C<0.∴B,C一个为锐角,另一个为钝角.∴△ABC为钝角三角形.
12.选A 根据“数字黑洞”的定义,任取数字串2 021,经过第一步之后变为314,经过第二步之后变为123,再变为123,再变为123,所以“数字黑洞”为123.即a=123,则sin=sin=sin=.
13.解析:依题意,角x的终边不在坐标轴上,当x为第一象限角时,y=1+1+1=3,当x为第二象限角时,y=1-1-1=-1,当x为第三象限角时,y=-1-1+1=-1,当x为第四象限角时,y=-1+1-1=-1,综上函数的值域为{-1,3}.
答案:{-1,3}
14.解:(1)∵θ是第二象限角,∴0∴tan(sin θ)>0,tan(cos θ)<0,
∴tan(sin θ)tan(cos θ)<0.
(2)∵-<-1≤sin θ≤1<,
∴cos(sin θ)>0.又sin(cos θ)cos(sin θ)<0,∴sin(cos θ)<0.∵-<-1≤cos θ≤1<,∴cos θ<0,
∴θ的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上.
15.解:(1)由=-,可知sin α<0.
由lg(cos α)有意义,可知cos α>0.
∴角α是第四象限角.
(2)∵OM=1,∴+m2=1,
解得m=±.又α是第四象限角,
∴m<0,从而m=-.由正弦函数的定义可知sin α===-.
