5.2.2 同角三角函数的基本关系(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．
2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
1．同角三角函数的基本关系
项目 关系式 文字表述
平方 关系 sin2α＋cos2α＝________ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于________
商数 关系 ＝_______________ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的________
|微|点|助|解|
对同角三角函数的基本关系式的理解
(1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角，关系式都成立．
(2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
(3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2.
2．基本关系式的变形公式
(1)sin2α＝1－cos2α；(2)cos2α＝1－sin2α；
(3)sin α＝±；(4)cos α＝±；
(5)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(6)tan α＝
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．( )
(2)当sin α＝时，cos α＝.( )
(3)由于平方关系对任意角都成立，故sin2α＋cos2β＝1也成立．( )
(4)当α≠kπ＋，k∈Z时，cos2α＝.( )
2. 等于( )
A．sin B.cos C.－sin D.－cos
3．若sin α＝，cos α＝，则tan α＝________.
题型(一) 已知角的一个三角函数值求其他三角函数值
[例1] 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
听课记录：
[变式拓展]
若本例变为已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
|思|维|建|模|
已知角的一个三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得 cos α＝±，sin α＝±的值．
[针对训练]
1．已知sin α＝－，且α∈，则tan α＝( )
A．－ B.
C. D．－
2．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝______，cos A＝________.
题型(二) 利用同角三角函数基本关系化简、证明
[例2] (1)化简： ＋(180°＜α＜270°).
(2)求证：＝.
听课记录：
|思|维|建|模|
1．三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则
(1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等．
(2)原则：由繁到简，变异为同．
[针对训练]
3．化简＋.
4．求证：＝.
题型(三) 同角三角函数基本关系的灵活运用
[例3] (1)已知tan α＝2，求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值．
(2)已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.
①求sin αcos α的值；
②求sin α－cos α的值．
听课记录：
[变式拓展]
1．若本例(2)变为“如果角α满足sin α＋cos α＝”，那么tan α＋的值为多少？
2．若本例(2)变为“已知cos αsin α＝”，那么cos α－sin α的值为多少？
|思|维|建|模|
1．已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式值的方法
(1)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．
(2)形如或的分式，分子、分母同时除以cos α或cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．
(3)形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值．
2．sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系
(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ，
利用该公式，已知其中一个，能求另外两个，即“知一求二”．
[针对训练]
5.已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
6．(多选)已知θ∈(0，π)，cos θ＝－，则下列结论正确的是( )
A．θ∈ B．sin θ－cos θ＝
C．tan θ＝－ D.＝－
5.2.2 同角三角函数的基本关系
课前预知教材
1.1 1 tan α 正切
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.A 3.
课堂题点研究
[例1] 解:∵cos α=-<0,∴α是第二或第三象限角.
当α是第二象限角时,sin α>0,tan α<0,
∴sin α== =,tan α==-.
当α是第三象限角时,sin α<0,tan α>0,
∴sin α=-=- =-,tan α==.
[变式拓展]
解:由tan α==,得sin α=cos α. ①
又sin2α+cos2α=1, ②
由①②,得cos2α+cos2α=1,
即cos2α=.又α是第三象限角,
∴cos α=-,sin α=cos α=-.
[针对训练]
1.选C 由α∈,得cos α<0,又sin α=-,所以cos α=-=-,所以tan α==.
2.解析:因为tan A=,A为三角形的内角,所以A为第一象限角.由tan A==,得sin A=cos A.又sin2A+cos2A=1,所以cos2A+cos2A=1,即cos2A=.所以cos A=,sin A=cos A=.
答案:
[例2] 解:(1)∵180°<α<270°,∴sin α<0.
原式=+
=+
==-.
(2)证明:∵左边===右边,∴原等式成立.
[针对训练]
3.解:因为<α<π,所以cos α=
-,sin α=.
所以原式=+
=-=-=0.
4.证明:因为左边=
=,
右边=
==
==,
所以左边=右边,原等式成立.
[例3] 解:(1)2sin2α-sin αcos α+cos2α=
===.
(2)①由sin α+cos α=-,
得(sin α+cos α)2=.
所以sin2α+2sin αcos α+cos2α=,
sin αcos α=-.
②由①得sin αcos α=-<0及0<α<π,
所以sin α>0,cos α<0 sin α-cos α>0.
所以sin α-cos α=
= =.
[变式拓展]
1.解:由sin α+cos α=,得sin αcos α=.
所以tan α+=+
===2.
2.解:因为cos αsin α=,所以cos α-sin α=±
=± =±.
[针对训练]
5.选D 由==5,解得tan α=2.故sin2α-sin αcos α====.
6.选ABD 因为θ∈(0,π),cos θ=-,所以θ∈,sin θ>0,sin θ= ==.则sin θ-cos θ=-=,tan θ===-,==-.由上述解析,可知A、B、D正确,C错误.(共68张PPT)
5.2.2
同角三角函数的基本关系
课时目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1．同角三角函数的基本关系
1
1
正切
tan α
|微|点|助|解|
对同角三角函数的基本关系式的理解
(1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角，关系式都成立．
基础落实训练
√
×
×
√
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 已知角的一个三角函数值求其他三角函数值
|思|维|建|模|
已知角的一个三角函数值求其他三角函数值的方法
针对训练
√
题型(二) 利用同角三角函数基本关系化简、证明
|思|维|建|模|
1．三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则
(1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等．
(2)原则：由繁到简，变异为同．
针对训练
题型(三) 同角三角函数基本关系的灵活运用
[例3] (1)已知tan α＝2，求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值．
|思|维|建|模|
1．已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式值的方法
(1)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．
2．sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系
(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ，
利用该公式，已知其中一个，能求另外两个，即“知一求二”．
针对训练
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6．化简(1＋tan215°)cos215°＝_______.
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B级——重点培优
11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)，则cos α等于( )
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12.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α(0°<α<45°)，且小正方形与大正方形的面积之比为1∶4，则tan α＝( )
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解析：设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为a(cos α－sin α)，
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15．(14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，过P作单位圆O的切线l，l与x轴和y轴分别交于P1(x0,0)，P2(0，y0)两点．
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2课时跟踪检测(四十七) 同角三角函数的基本关系
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.已知tan α=2,则的值为 ( )
A.-4 B.
C.- D.±
2.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是 ( )
A. B.
C.1 D.
3.化简 的结果是 ( )
A.sin 2+cos 2 B.sin 2-cos 2
C.cos 2-sin 2 D.-sin 2-cos 2
4.若tan α=,则sin αcos α= ( )
A.1 B.
C. D.
5.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=,则这个三角形的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.不等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形
6.化简(1+tan215°)cos215°= .
7.已知=,则= .
8.若<α<π,sin αcos α=-,则tan α= .
9.(8分)已知tan α=,求下列各式的值:
(1)+;
(2).
10.(8分)求证:=.
B级——重点培优
11.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sin α,3),则cos α等于 ( )
A. B.-
C. D.-
12.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,直角三角形中最小的一个角为α(0°<α<45°),且小正方形与大正方形的面积之比为1∶4,则tan α= ( )
A. B.
C. D.
13.化简:= .
14.(12分)1626年,阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号:sin,tan,sec(正割),1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号:cos,cot,csc(余割),但直到1748年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用起来,其中sec θ=,csc θ=.若α∈(0,π),且+=2,求tan α的值.
15.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P,过P作单位圆O的切线l,l与x轴和y轴分别交于P1(x0,0),P2(0,y0)两点.
(1)若tan θ=,求△OP1P2的周长;
(2)若+4=9,求△OP1P2的面积.
课时跟踪检测(四十七)
1.选B 由tan α=2,得===.
2.选C 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.
3.选B
==|sin 2-cos 2|.
∵<2<π,∴sin 2>0,cos 2<0.
∴原式=sin 2-cos 2.
4.选D ∵sin αcos α==,又tan α=,∴sin αcos α==.
5.选B 由α∈(0,π),将sin α+cos α=两边平方,得2sin αcos α=-1<0.而sin α>0,∴cos α<0,故α为钝角.故选B.
6.解析:(1+tan215°)·cos215°
=·cos215°
=·cos215°=1.
答案:1
7.解析:因为=,所以====-.
答案:-
8.解析:由sin αcos α===-,整理,得(2tan α+1)(tan α+2)=0,解得tan α=-或tan α=-2.因为<α<π,所以tan α∈(-1,0).故tan α=-.
答案:-
9.解:(1)+=+=+=.
(2)===.
10.证明:
∵左边=
=
=
==
==右边,∴原等式成立.
11.选A 由三角函数定义,得tan α=.即=,得3cos α=2sin2α=2(1-cos2α),解得cos α=或cos α=-2(舍去).
12.选A 设大正方形的边长为a,则小正方形的边长为a(cos α-sin α),
故=,故1-2sin αcos α=,即sin αcos α= = = 3tan2α-8tan α+3=0,解得tan α=或tan α=.因为0°<α<45°,则013.解析:
原式=
=
=
=
=sin2α.
答案:sin2α
14.解:由+=2,得3sin α+2cos α=2.又sin2α+cos2α=1,
联立解得或
因为α∈(0,π),所以
所以tan α==-.
15.解:(1)因为直线l与圆O相切,所以OP⊥l.
在Rt△OPP1中,=cos θ,所以x0=OP1=.在Rt△OPP2中,=sin θ,所以y0=OP2=.因为tan θ==,且sin2θ+cos2θ=1,所以sin2θ=,cos2θ=,又因为θ为锐角,所以sin θ=,cos θ=,所以△OP1P2的周长为++=5.
(2)因为+4=9,所以+=+=9,所以sin2θ=,所以cos2θ=1-sin2θ=.因为θ∈,所以sin θ=,cos θ=,所以△OP1P2的面积=x0y0==××=.
