5.3.1 诱导公式二～四—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]?
1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.?
2.熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征.?
3.会初步利用诱导公式进行求值、化简与证明.
诱导公式及终边关系
项目 终边关系 图示 公式
公式二 角π＋α与角α的终边关于________对称 sin(π＋α)＝______， cos(π＋α)＝______， tan(π＋α)＝______
公式三 角－α与角α的终边关于________轴对称 sin(－α)＝______， cos(－α)＝______， tan(－α)＝______
公式四 角π－α与角α的终边关于________轴对称 sin(π－α)＝______， cos(π－α)＝______， tan(π－α)＝______
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．( )
(2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．( )
(3)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝不成立．( )
2．cos(π＋x)等于( )
A．cos x B．－cos x
C．sin x D．－sin x
3．化简cos(3π－α)＝( )
A．cos α B．－cos α
C．sin α D．－sin α
4．计算：sin 210°＝( )
A. B．－
C. D．－
题型(一) 给角求值问题
[例1] 求下列各三角函数值．
(1)cos；(2)sin；(3)tan(－855°)．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
“负化正” 用公式一或三来转化
“大化小” 用公式一将角化为0°到360°间的角
“小化锐” 用公式二或四将大于90°的角转化为锐角
“锐求值” 得到锐角的三角函数后求值
[针对训练]
1．求下列各式的值：
(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；
(2)cos＋cos＋cos＋cos；
(3)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°.
题型(二) 给值(式)求值问题
[例2] 已知sin＝，则sin的值为( )
A. B．－ C. D．－
听课记录：
[例3] 已知cos＝，则cos＝________.
听课记录：
[变式拓展]
1．若例3中的条件不变，求cos的值．
2．若例3中的条件不变，
求cos－sin2的值．
|思|维|建|模| 解决条件求值问题的两个技巧
[针对训练]
2．若sin(π＋α)＝，α∈，则tan(π－α)等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
3．已知tan(π＋α)＝3，求的值．
题型(三) 化简求值问题
[例4] 设k为整数，化简：
.
听课记录：
|思|维|建|模| 三角函数式化简的常用方法
合理转化 ①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数
切化弦 一般需将表达式中的正切函数转化为弦函数
注意“1” 的应用 1＝sin2α＋cos2α＝tan
[针对训练]
4．(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
5．化简 的结果是________．
5.3.1 诱导公式二~四
课前预知教材
原点 -sin α -cos α tan α x -sin α cos α -tan α y sin α -cos α -tan α
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)√ (3)√
2.B 3.B 4.D
课堂题点研究
[例1] 解:(1)cos=cos=cos=cos=cos=.
(2)sin=-sin=-sin
=-sin=-.
(3)tan(-855°)=-tan 855°=-tan(2×360°+135°)=-tan 135°=-tan(180°-45°)=tan 45°=1.
[针对训练]
1.解:(1)原式=7cos(180°+90°)+3sin(180°+90°)+tan(2×360°+45°)
=-7cos 90°-3sin 90°+tan 45°
=0-3+1=-2.
(2)原式=cos+cos+cos+cos
=cos+cos-cos-cos=0.
(3)原式=cos 120°(-sin 150°)+tan 855°
=-cos(180°-60°)sin(180°-30°)+tan(135°+2×360°)
=cos 60°sin 30°+tan(180°-45°) =cos 60°·sin 30°-tan 45°=×-1=-.
[例2] 选D sin=sin2π-=-sin=-.
[例3] 解析:cos=cosπ-=-cos=-.
答案:-
[变式拓展]
1.解:cos=cos=cos=cos=.
2.解:因为cos=cosπ-=-cos=-,
sin2=sin2=1-cos2=1-=,
所以cos-sin2=--=-.
[针对训练]
2.选D 因为sin(π+α)=-sin α,根据条件得sin α=-,又α∈,所以cos α=-=-.所以tan α===.所以tan(π-α)=-tan α=-.
3.解:因为tan(π+α)=3,所以tan α=3.
故
=
===7.
[例4] 解:法一:分类讨论 当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),
则原式====-1;
当k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),同理可得原式=-1.
综上,=-1.
法二:配角法 由于kπ-α+kπ+α=2kπ,(k+1)π+α+(k-1)π-α=2kπ,
故cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α),sin(kπ-α)=-sin(kπ+α).
所以原式==-1.
[针对训练]
4.选BD 当k=2n,n∈Z时,A=+=+=2;当k=2n+1,n∈Z时,A=+=+=-2.
5.解析:
=
=
==|sin 3-cos 3|.
∵<3<π,
∴sin 3>0,cos 3<0.∴原式=sin 3-cos 3.
答案:sin 3-cos 3(共59张PPT)
诱导公式二～四
——(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
5.3.1
课时目标
1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.
2.熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征.
3.会初步利用诱导公式进行求值、化简与证明.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
诱导公式及终边关系
项目 终边关系 图示 公式
公式二 角π＋α与角α的终边关于_____对称 sin(π＋α)＝_______，
cos(π＋α)＝_______，
tan(π＋α)＝______
原点
－sin α
－cos α
tan α
公式三 角－α与角α的终边关于____轴对称 sin(－α)＝________,
cos(－α)＝________,
tan(－α)＝________
－sin α
cos α
－tan α
续表
x
公式四 角π－α与角α的终边关于___轴对称 sin(π－α)＝_______,
cos(π－α)＝________,
tan(π－α)＝________
sin α
－cos α
－tan α
续表
y
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数． ( )
(2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数. ( )
√
√
√
2．cos(π＋x)等于( )
A．cos x B．－cos x C．sin x D．－sin x
解析：由诱导公式，得cos(π＋x)＝－cos x.
3．化简cos(3π－α)＝( )
A．cos α B．－cos α
C．sin α D．－sin α
解析：cos(3π－α)＝cos[2π＋(π－α)]＝cos(π－α)＝－cos α.
√
√
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 给角求值问题
(3)tan(－855°)．
解：tan(－855°)＝－tan 855°
＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°
＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
|思|维|建|模|
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
“负化正” 用公式一或三来转化
“大化小” 用公式一将角化为0°到360°间的角
“小化锐” 用公式二或四将大于90°的角转化为锐角
“锐求值” 得到锐角的三角函数后求值
针对训练
1．求下列各式的值：
(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；
解：原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)
＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°
＝0－3＋1＝－2.
(3)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°.
解：原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855°
＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)
＝cos 60°sin 30°＋tan(180°－45°)
题型(二) 给值(式)求值问题
√
|思|维|建|模| 解决条件求值问题的两个技巧
针对训练
√
题型(三) 化简求值问题
|思|维|建|模| 三角函数式化简的常用方法
针对训练
√
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sin 3－cos 3
课时跟踪检测
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(2)sin3(2π－α)＋cos3(2π－α)．
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(2)若θ＝660°，求f(θ)的值．
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12．若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0，∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0，∴cos θ<0，∴θ为第二象限角．
√
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16课时跟踪检测(四十八) 诱导公式二~四
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.tan 240°等于 ( )
A. B.-
C. D.-
2.(多选)已知sin(π-α)=,则cos(α-2 022π)的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
3.如果cos(5π+A)=-,那么cos A= ( )
A. B.-
C.- D.
4.tan(5π+α)=m,则的值为 ( )
A. B.
C.-1 D.1
5.若sin=,则sin-cos= ( )
A.0 B.
C. D.
6.化简:·tan(π+α)= .
7.已知sin(45°+α)=,则sin(135°-α)= .
8.已知tan(π-α)=-,则的值为 .
9.(8分)已知sin(π-α)-cos(π+α)=,求下列各式的值.
(1)sin α-cos α;
(2)sin3(2π-α)+cos3(2π-α).
10.(8分)设f(θ)=.
(1)化简f(θ);
(2)若θ=660°,求f(θ)的值.
B级——重点培优
11.(多选)下列化简正确的是 ( )
A.tan(π+1)=tan 1
B.=cos α
C.=tan α
D.=1
12.若sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则θ在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
13.若cos(55°+α)=,其中α为第三象限角,则cos(125°-α)+sin(α-125°)= .
14.若f(n)=sin(n∈Z),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)= .
15.(10分)在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
16.(10分)已知=3+2,求[cos2(π-θ)+sin(π+θ)cos(π-θ)+2sin2(θ-π)]·的值.
课时跟踪检测(四十八)
1.选C tan 240°=tan(180°+60°)=tan 60°=.
2.选AB ∵sin(π-α)=,∴sin α=,cos(α-2 022π)=cos α=±=±.
3.选D 由cos(5π+A)=-,得cos(5π+A)=cos(π+A)=-cos A=-,即cos A=.故选D.
4.选A 因为tan(5π+α)=tan α=m,所以原式=====.
5.选B 依题意,令+α=t,则sin t=,-α=π-=π-t,+α=++α=+t, 所以sin-cos=sin(π-t)-cos=sin t+sin t=2sin t=.
6.解析:原式=·tan α=·tan α=-1.
答案:-1
7.解析:sin(135°-α)=sin[180°-(45°+α)]=sin(45°+α)=.
答案:
8.解析:∵tan(π-α)=-,∴tan α=.
∴==
==-.
答案:-
9.解:由sin(π-α)-cos(π+α)=,
得sin α+cos α=.
∴1+2sin αcos α=,2sin αcos α=-.
(1)∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α
=1+=,
又<α<π,∴sin α>0,cos α<0.
∴sin α-cos α>0.∴sin α-cos α=.
(2)原式=cos3α-sin3α=(cos α-sin α)·(cos2α+cos αsin α+sin2α)=(cos α-sin α)·(1+cos αsin α)
=-×=-×=-.
10.解:(1)原式=
==-cos θ.
(2)因为θ=660°,所以f(θ)=f(660°)=-cos 660°
=-cos(720°-60°)=-cos(-60°)
=-cos 60°=-.
11.选AB 由诱导公式二可得tan(π+1)=tan 1,故A正确;==cos α,故B正确;==-tan α,故C不正确;==-1,故D不正确.
12.选B ∵sin(θ+π)=-sin θ<0,∴sin θ>0,∵cos(θ-π)=cos(π-θ)=-cos θ>0,
∴cos θ<0,∴θ为第二象限角.
13.解析:因为α为第三象限角,则k·360°-180°<α0,可得55°+α为第四象限角,所以sin(55°+α)=-=-=-,所以cos(125°-α)+sin(α-125°)=cos(125°-α)-sin(125°-α)=cos(180°-55°-α)-sin(180°-55°-α)=-cos(55°+α)-sin(55°+α)=--=.
答案:
14.解析:f(1)=sin=,f(2)=sin=,f(3)=sin π=0,f(4)=sin=-,f(5)=sin=-,f(6)=sin 2π=0,f(7)=sin=sin =f(1),f(8)=f(2),…,因为f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=f(1)+f(2)+337×0=.
答案:
15.解:由题意,得sin A=sin B,cos A=cos B.由平方关系整理,得2cos2A=1,cos A=±.又因为A∈(0,π),所以A=或A=.当A=时,cos B=-<0,所以B∈.所以A,B均为钝角,不合题意,舍去.所以A=,cos B=.所以B=.所以C=.综上所述,A=,B=,C=.
16.解:由=3+2,
得(4+2)tan θ=2+2.
所以tan θ==.
故[cos2(π-θ)+sin(π+θ)·cos(π-θ)+2sin2(θ-π)]·=(cos2θ+sin θcos θ+2sin2θ)·=1+tan θ+2tan2θ=1++2×=2+.
