5.3.2 诱导公式五、六—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]?
1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征.?
2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简.
诱导公式五、六及诱导公式的定义
公式五 sin＝______ cos＝______
公式六 sin＝______ cos＝______
公式五和公式六可以概括为±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～公式六都叫做诱导公式
|微|点|助|解|
从公式五和公式六还可以推出以下结论
(1)sin＝cos＝cos.
(2)cos＝sin.
(3)诱导公式一～六可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦．
②“奇”“偶”是对k·±α(k∈Z)中的整数k来讲的．
③“象限”指k·±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos＝cos α.( )
(2)sin＝－cos α.( )
(3)若cos 10°＝a，则sin 100°＝a.( )
(4)若α为第二象限角，则sin＝－cos α.( )
2．已知sin＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________.
题型(一) 利用诱导公式化简求值
[例1] 已知cos(π＋α)＝，则sin的值为 ( )
A. B．－
C. D．－
听课记录：
[例2] 已知sin＝，则cos的值为________．
听课记录：
[变式拓展]
1．若例2中的条件变为“sin＝”，求cos的值．
2．若例2中的条件不变，求cos的值．
|思|维|建|模|
解决化简求值问题的策略
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．
[提醒] 常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有＋θ与－θ，＋θ与－θ等．
[针对训练]
1．已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A. B.
C．－ D．－
2．已知α∈，cos＝，则tan(2 024π－α)＝( )
A. B．－
C.或－ D.或－
题型(二) 三角恒等式的证明问题
[例3] 求证：
＝.
听课记录：
|思|维|建|模| 三角恒等式证明的策略
遵循的 原则 在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则
常用的 方法 定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法
[针对训练]
3．求证：＝－tan θ.
题型(三) 诱导公式的综合应用
[例4] 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β就是将角α的终边顺时针旋转得到，求5sin β－5cos β＋3tan β的值．
听课记录：
|思|维|建|模| 诱导公式综合应用要“三看”
一看角 ①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系
二看函数名称 一般是弦切互化
三看式子结构 通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式
[针对训练]
4．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
5.3.2 诱导公式五、六
课前预知教材
cos α sin α cos α -sin α
[基础落实训练]
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.C 3.1
课堂题点研究
[例1] 选C 因为cos(π+α)=-cos α=,所以sin=-cos α=.故选C.
[例2] 解析:cos=cos-=sin=.
答案:
[变式拓展]
1.解:∵+=,
∴cos=cos
=-sin=-.
2.解:cos=cos
=-sin=-.
[针对训练]
1.选B sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)=-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)(-tan 31°)=-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°==.
2.选B 由cos=,得sin α=-,又0<α<,所以π<α<,所以cos α=-=-,所以tan α=.所以tan(2 024π-α)=tan(-α)=-tan α=-,故选B.
[例3] 证明:因为右边
=
=
=
=
===左边,
所以原等式成立.
[针对训练]
3.证明:因为左边=
==-tan θ=右边,
所以原等式成立.
[例4] 解:根据题意,
得sin α==,cos α==,tan α==.
(1)sin(α+π)=-sin α=-.
(2)根据题意,得β=α-.
∴5sin β-5cos β+3tan β=5sin-5cos+3tan=5sin-5cos+
=5cos α+5sin α-
=5×+5×-3×=-.
[针对训练]
4.解:方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-,x2=2,
又α是第三象限角,所以sin α=-,
所以cos α=-,tan α==,
所以·tan2(π-α)
=·tan2α
=·tan2α
=-tan2α=-.(共56张PPT)
诱导公式五、六
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
5.3.2
课时目标
1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征.
2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
诱导公式五、六及诱导公式的定义
cos α
cos α
sin α
－sin α
|微|点|助|解|
从公式五和公式六还可以推出以下结论
基础落实训练
×
×
√
√
√
3．计算：sin211°＋sin279°＝________.
解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1.
1
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 利用诱导公式化简求值
√
|思|维|建|模|
解决化简求值问题的策略
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．
针对训练
√
√
题型(二) 三角恒等式的证明问题
|思|维|建|模| 三角恒等式证明的策略
遵循的原则 在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则
常用的方法 定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法
针对训练
题型(三) 诱导公式的综合应用
|思|维|建|模| 诱导公式综合应用要“三看”
一看角 ①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系
二看函数名称 一般是弦切互化
三看式子结构 通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式
针对训练
课时跟踪检测
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A级——达标评价
解析：cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a.
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8．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)＝________.
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B级——重点培优
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13．sin21°＋sin22°＋…＋sin289°的值为________．
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5课时跟踪检测(四十九) 诱导公式五、六
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.已知sin 25.3°=a,则cos 64.7°等于 ( )
A.a B.-a
C.a2 D.
2.若sin<0,且cos>0,则θ是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.化简: = ( )
A.sin α B.|sin α|
C.cos α D.|cos α|
4.(多选)下列式子化简结果和sin x相同的是 ( )
A.sin(π-x) B.sin(π+x)
C.cos D.cos
5.已知tan θ=2,则sincos θ-sin θ·cos= ( )
A.- B.-
C. D.
6.化简sin(π+α)cos+sincos(π+α)= .
7.若sin=,则cos= .
8.已知f(sin x)=cos 3x,则f(cos 10°)= .
9.(8分)求证:sin(α-2π)cos(2π-α)=sin2α.
10.(10分)已知cos α=-,且α为第三象限角.
(1)求sin α的值;
(2)求f(α)=的值.
B级——重点培优
11.已知cos=,且|φ|<,则tan φ等于 ( )
A.- B.-
C. D.
12.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=90°,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是 ( )
A.sin β= B.cos(π+β)=
C.tan β= D.tan β=
13.sin21°+sin22°+…+sin289°的值为 .
14.(12分)在△ABC中,sin=sin,试判断△ABC的形状.
15.(12分)是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使得等式sin(3π-α)=-cos与cos(-α)=-sin同时成立 请说明理由.
课时跟踪检测(四十九)
1.选A cos 64.7°=cos(90°-25.3°)=sin 25.3°=a.
2.选C ∵sin=cos θ<0,cos=-sin θ>0,∴sin θ<0.
∴角θ是第三象限角.
3.选B 原式===|sin α|.
4.选ACD 对于A,sin(π-x)=sin x,则A选项与sin x相同,故A选项正确;对于B,sin(π+x)=-sin x,则B选项与sin x不相同,故B选项不正确;对于C,cos=sin x,则C选项与sin x相同,故C选项正确;对于D,cos=cos=sin x,则D选项与sin x相同,故D选项正确.
5.选B 由题意,tan θ=2,得sincos θ-sin θcos=cos2θ-sin2θ====-.故选B.
6.解析:原式=(-sin α)·sin α+cos α·(-cos α)=-sin2α-cos2α=-1.
答案:-1
7.解析:因为+=,所以-α=-.所以cos=cos=sin=.
答案:
8.解析:f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-.
答案:-
9.证明:左边=·[-sin(2π-α)]cos α=[-(-sin α)]cos α=·sin α·cos α=sin2α=右边,故原式成立.
10.解:(1)因为cos α=-,且α为第三象限角,
所以sin α=-=-=-.
(2)f(α)==tan αsin α
=·sin α=×=-.
11.选B ∵cos=-sin φ=,
∴sin φ=-<0.∵|φ|<,∴-<φ<0.∴cos φ==.∴tan φ==-.
12.选AC 因为sin(π+α)=-sin α,所以sin α=,若α+β=90°,则β=90°-α,故sin β=sin(90°-α)=cos α=±,故A满足;C中tan β=,即sin β=cos β,又sin2β+cos2β=1,故sin β=±,即C满足,而B、D不满足.
13.解析:因为sin(90°-α)=cos α,sin2α+cos2α=1,所以sin2α+sin2(90°-α)=1.因此sin21°+sin289°=1,sin22°+sin288°=1,sin23°+sin287°=1,….所以sin21°+sin22°+…+sin289°=44×1+sin245°=44+=.
答案:
14.解:∵A+B+C=π,
∴A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.
∵sin=sin,
∴sin=sin.
∴sin=sin,
即cos C=cos B.
又∵B,C为△ABC的内角,∴C=B.
∴△ABC为等腰三角形.
15.解:存在.理由如下:
所需成立的两个等式可化为sin α=sin β,cos α=cos β,
两式两边分别平方相加,得sin2α+3cos2α=2.由sin2α+cos2α=1,得2cos2α=1.所以cos2α=.又因为α∈,
所以α=或α=-.
当α=时,由cos α=cos β,得cos β=.
又β∈(0,π),所以β=.当α=-时,
由sin α=sin β,得sin β=-.
而β∈(0,π),所以无解.综上,当α=,β=时,两个等式同时成立.
