5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第 1 课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．理解周期函数概念，能熟练的求出简单三角函数的周期．
2．会根据所学图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．
(一)函数的周期
1．周期函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个____________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，____________叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．正弦函数、余弦函数的周期性
正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，________(k∈Z且k≠0)是它们的周期，最小正周期是________．
|微|点|助|解|
(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立．
(2)不是所有的函数都是周期函数．周期函数的周期不止一个，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f(x)的周期．
(3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期，如f(x)＝C(C为常数，x∈R)是周期函数但没有最小正周期．
(4)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是周期函数，最小正周期T＝.
(二)正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y＝sin x(x∈R)是________函数，图象关于________对称；
(2)余弦函数y＝cos x(x∈R)是________函数，图象关于________对称．
|微|点|助|解|
(1)判断函数的奇偶性时，一定要判断函数的定义域是否关于原点对称，当定义域不关于原点对称时，正弦型函数和余弦型函数就不具有奇偶性．
(2)正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形．函数y＝sin x，x∈R的对称轴是x＝＋kπ，k∈Z，对称中心是(kπ，0)，k∈Z；函数y＝cos x，x∈R的对称轴是x＝kπ，k∈Z，对称中心是，k∈Z.
基础落实训练
1．函数y＝f(x)＝－sin x的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
2．(多选)如图，是定义在R上的四个函数的图象，其中是周期函数的图象的是( )
3. y＝sin是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
4．若函数y＝f(x)的周期是4，且f(2)＝0，则f(22)＝________.
题型(一) 正、余弦函数的周期性
[例1] 求下列函数的周期：
(1)y＝sin(x∈R)；
(2)y＝|sin x|(x∈R)．
听课记录：
[变式拓展]
1．本例(2)中函数改为y＝|cos x|，则其周期又是什么？
2．本例(2)中函数改为y＝cos |x|，则其周期又是什么？
|思|维|建|模| 求三角函数周期的方法
定义法 即利用周期函数的定义求解
公式法 对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝
图象法 即通过观察函数图象求其周期
[针对训练]
1．下列函数是以π为最小正周期的函数是( )
A．y＝sin x B．y＝sin x＋2
C．y＝cos 2x＋2 D．y＝cos 3x－1
2．已知f(x)＝2cosx，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝________.
题型(二) 正、余弦函数的奇偶性
[例2] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝x2cos；
(3)f(x)＝.
听课记录：
|思|维|建|模|
利用定义判断函数奇偶性的3个步骤
[针对训练]
3．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(2)f(x)＝＋.
题型(三) 正、余弦函数的周期性与奇偶性的综合应用
[例3] 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于( )
A．－ B．
C．－ D．
听课记录：
[变式拓展]
1．在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则f的值为________．
2．若本例中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f＝－f(x)，f＝1，则f的值为________．
|思|维|建|模|
三角函数周期性与奇偶性综合问题的解题策略
解决函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的综合应用问题的基本途径有两种：一是熟练掌握函数y＝sin x，y＝cos x的函数图象，利用基本函数法得到相应的函数性质；二是直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析解决问题．
[针对训练]
4．已知偶函数f(x)满足对 x∈R，f(x＋π)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝1＋cos x，则f＝( )
A. B.
C．1－ D．1＋
5．(多选)函数f(x)＝sin ωx(ω>0)，对任意x有f＝f，且f＝－a，那么( )
A．f＝a B．f(x)为奇函数
C．T＝1 D．f＝4a
第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
课前预知教材
(一)1.非零常数T f(x+T)=f(x) 非零常数T 2.最小的正数 3.2kπ 2π
(二)(1)奇 原点 (2)偶 y轴
[基础落实训练]
1.A 2.ABC 3.D 4.0
课堂题点研究
[例1] 解:(1)法一 令z=2x+,∵x∈R,∴z∈R,函数y=sin z的最小正周期是2π,就是说变量z只要且至少要增加到z+2π,函数y=sin z(z∈R)的值才能重复取得,而z+2π=2x++2π=2(x+π)+,所以自变量x只要且至少要增加到x+π,函数值才能重复取得,从而函数f(x)=sin(x∈R)的周期是π.
法二 ∵f(x)=sin中ω=2,
∴T==π.
(2)法一 作出y=|sin x|的图象如图.
由图象知,y=|sin x|的周期为π.
法二 令f(x)=|sin x|,f(x+π)=
|sin(x+π)|=|-sin x|=|sin x|=f(x),
∴y=|sin x|(x∈R)的周期为π.
[变式拓展]
1.解:作出函数y=|cos x|的图象,如图所示,观察图象可知此函数的周期是π.
2.解:由诱导公式得y=cos |x|=cos x,所以其周期T=2π.
[针对训练]
1.选C y=sin x及y=sin x+2的最小正周期为2π,y=cos 2x+2的最小正周期为π,y=cos 3x-1的最小正周期为,所以选C.
2.解析:易知f(x)的最小正周期T=6,则有f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.则f(0)+f(1)+…+f(13)=2[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+f(12)+f(13)=f(12)+f(13)=f(0)+f(1)=2+1=3.
答案:3
[例2] 解:(1)显然x∈R,f(x)=cos x,
f(-x)=cos=cos x=f(x),
∴函数f(x)是偶函数.
(2)f(x)=x2cos=-x2sin x,
∵任意x∈R,都有-x∈R.
又f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x),
∴函数f(x)=x2cos是奇函数.
(3)∵1+sin x≠0,∴sin x≠-1,
∴x∈R且x≠2kπ-,k∈Z.
∵定义域不关于原点对称,
∴该函数是非奇非偶函数.
[针对训练]
3.解:(1)函数的定义域为R,
因为f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)
=|sin x|+cos x=f(x),
所以此函数是偶函数.
(2)由1-cos x≥0且cos x-1≥0,
得cos x=1,从而x=2kπ,k∈Z,
此时f(x)=0,
故该函数既是奇函数又是偶函数.
[例3] 选D f=f=f=f=f=f=sin=.
[变式拓展]
1.解析:f=f=f=f=f=-f=-sin=-.
答案:-
2.解析:∵f=-f(x),∴f(x+π)=-f=-[-f(x)]=f(x),∴T=π,
∴f=f=f=f=1.
答案:1
[针对训练]
4.选D 由题意,函数f(x)是周期为π的偶函数,所以f=f=f=f=1+cos =1+.故选D.
5.选BC 因为f(x)定义域为R,f(-x)=sin(-ωx)=-sin ωx=-f(x),所以f(x)为定义在R上的奇函数,故B正确;由f=f得f(x+1)=f=f=f(x),所以f(x)是周期为1的周期函数,故C正确;由函数的周期性知f=f=f=-a,故A、D错误.(共65张PPT)
5.4.2
正弦函数、余弦函数的性质
正、余弦函数的周期性与奇偶性
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1．理解周期函数概念，能熟练的求出简单三角函数的周期．
2．会根据所学图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)函数的周期
1．周期函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个___________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做周期函数，____________叫做这个函数的周期．
非零常数T
f(x＋T)＝f(x)
非零常数T
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．正弦函数、余弦函数的周期性
正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，______(k∈Z且k≠0)是它们的周期，最小正周期是_____.
最小的正数
2kπ
2π
|微|点|助|解|
(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立．
(2)不是所有的函数都是周期函数．周期函数的周期不止一个，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f(x)的周期．
(3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期,如f(x)＝C(C为常数，x∈R)是周期函数但没有最小正周期．
(二)正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y＝sin x(x∈R)是____函数，图象关于_____对称；
(2)余弦函数y＝cos x(x∈R)是____函数，图象关于______对称．
奇
原点
偶
y轴
|微|点|助|解|
(1)判断函数的奇偶性时，一定要判断函数的定义域是否关于原点对称，当定义域不关于原点对称时，正弦型函数和余弦型函数就不具有奇偶性．
基础落实训练
1．函数y＝f(x)＝－sin x的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：因为x∈R，f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
√
2．(多选)如图，是定义在R上的四个函数的图象，其中是周期函数的图象的是( )
√
解析：观察图象易知，只有D选项的图象不是周期函数的图象．
√
4．若函数y＝f(x)的周期是4，且f(2)＝0，则f(22)＝________.
0
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 正、余弦函数的周期性
(2)y＝|sin x|(x∈R)．
解：法一 作出y＝|sin x|的图象如图．
由图象知，y＝|sin x|的周期为π.
法二 令f(x)＝|sin x|，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)，
∴y＝|sin x|(x∈R)的周期为π.
[变式拓展]
1．本例(2)中函数改为y＝|cos x|，则其周期又是什么？
解：作出函数y＝|cos x|的图象，如图所示，观察图象可知此函数的周期是π.
2．本例(2)中函数改为y＝cos |x|，则其周期又是什么？
解：由诱导公式得y＝cos |x|＝cos x，所以其周期T＝2π.
|思|维|建|模| 求三角函数周期的方法
针对训练
1．下列函数是以π为最小正周期的函数是( )
A．y＝sin x B．y＝sin x＋2
C．y＝cos 2x＋2 D．y＝cos 3x－1
√
3
解析：易知f(x)的最小正周期T＝6，则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.则f(0)＋f(1)＋…＋f(13)＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13)＝f(12)＋f(13)＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3.
题型(二) 正、余弦函数的奇偶性
解：∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
|思|维|建|模|
利用定义判断函数奇偶性的3个步骤
针对训练
3．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；
解：函数的定义域为R，
因为f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)
＝|sin x|＋cos x＝f(x)，
所以此函数是偶函数．
解：由1－cos x≥0且cos x－1≥0，
得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，
此时f(x)＝0，
故该函数既是奇函数又是偶函数．
题型(三) 正、余弦函数的周期性与奇偶性的综合应用
√
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|思|维|建|模|
三角函数周期性与奇偶性综合问题的解题策略
解决函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的综合应用问题的基本途径有两种：一是熟练掌握函数y＝sin x，y＝cos x的函数图象，利用基本函数法得到相应的函数性质；二是直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析解决问题．
针对训练
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课时跟踪检测
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A级——达标评价
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4．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )
√
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解析：由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.
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8．写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝__________________.
sin πx(答案不唯一)
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9．(8分)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xcos(π＋x)；
解：∵f(x)＝－xcos x，
∴f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcos x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
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(2)此函数是周期函数吗？若是，请求出最小正周期．
解：由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
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B级——重点培优
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(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
解：如图．
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2课时跟踪检测(五十一) 正、余弦函数的周期性与奇偶性
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为,则ω等于 ( )
A.5 B.10
C.15 D.20
2.(多选)设函数f(x)=sin,x∈R,则关于f(x)的说法正确的是 ( )
A.最小正周期为π B.最小正周期为
C.奇函数 D.偶函数
3.(多选)下列函数中,周期为4π的是 ( )
A.y=sin B.y=cos
C.y= D.y=2cosx
4.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图象是 ( )
5.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f等于 ( )
A.1 B.
C.-1 D.-
6.函数y=cos的最小正周期是 .
7.已知f(x)为奇函数,且周期为,若f=-1,则f= .
8.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)= .
9.(8分)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xcos(π+x);
(2)f(x)=lg(sin x+).
10.(10分)已知函数y=sin x+|sin x|.
(1)画出此函数的简图;
(2)此函数是周期函数吗 若是,请求出最小正周期.
B级——重点培优
11.已知函数f(x)=sin,若存在a∈(0,π),使得f(x+a)=f(x-a)恒成立,则a的值是 ( )
A. B.
C. D.
12.已知f(x)=,若f(5)=-2,则f(-5)= .
13.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是 .
14.(12分)判断函数y=cos,x∈[-π,π]是否是周期函数.若不是,请说明理由,并指出在什么条件下该函数是周期函数.
15.(12分)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin x.
(1)求当x∈[-π,0]时,f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的简图;
(3)求当f(x)≥时x的取值范围.
课时跟踪检测(五十一)
1.选B 由题意,知T==,所以ω=10.
2.选AD f(x)=sin=-cos 2x,最小正周期T==π,所以A正确,B错误;由f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),可知函数f(x)=sin为偶函数,所以D正确,C错误.故选AD.
3.选AD 选项A中,∵ω=,∴周期T==4π.故A正确;选项B中,∵ω=2,
∴周期T==π.故B错误;选项C中,
∵y=sin的周期为4π,∴y=的周期为2π.故C错误;选项D中,∵ω=,∴周期T==4π.故D正确.故选AD.
4.选B 由f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.由f(x+2)=f(x),则f(x)的周期为2.故选B.
5.选A ∵函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,∴周期T==π.解得ω=2.即f(x)=sin.∴f=sin=sin=sin=1.
6.解析:y=cos=cos=cos=sinx,所以最小正周期为T==4.
答案:4
7.解析:∵T=,且f(x)为奇函数,
∴f=f=f=-f=-(-1)=1.
答案:1
8.解析:基本初等函数中既为周期函数又为奇函数的函数为y=sin x,所以此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意.由此可知f(x)=sin ωx且T==2 f(x)=sin πx.
答案:sin πx(答案不唯一)
9.解:(1)∵f(x)=-xcos x,∴f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcos x=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)∵f(-x)+f(x)=lg[sin(-x)+]+lg(sin x+)
=lg(sin2x+1-sin2x)=0,
即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
10.解:(1)y=sin x+|sin x|
=
图象如图所示.
(2)由图象知该函数是周期函数,且最小正周期是2π.
11.选D 因为f(x)=sin,则函数f(x)的最小正周期为T==π,若存在a∈(0,π),使得f(x+a)=f(x-a),则f(x+2a)=f(x),所以函数f(x)为周期函数,且2a为函数f(x)的周期,所以2a=kπ(k∈Z,k≠0),即a=(k∈Z,k≠0),因为a∈(0,π),所以a=.
12.解析:由f(x)=,则f(-x)==-=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以f(-5)=-f(5)=2.
答案:2
13.解析:∵T==≤2,∴k≥4π.
又k∈Z,∴正整数k的最小值为13.
答案:13
14.解:因为x=π时,x+T [-π,π],不符合周期函数的定义,所以y=cos,x∈[-π,π]不是周期函数.
要使函数为周期函数,需将定义域x∈[-π,π]改为x∈R.
因为当x∈R时,
则有y=cos
=cos=cos,
所以y=cos是以π为周期的周期函数.
15.解:(1)∵f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x).
∵当x∈时,f(x)=sin x,
∴当x∈时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.
又∵当x∈时,x+π∈,
f(x)的周期为π,
∴f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin x.
综上,当x∈[-π,0]时,f(x)=-sin x.
(2)如图.
(3)∵在[0,π]内,当f(x)=时,x=或,
∴在[0,π]内,f(x)≥时,x∈.
又f(x)的周期为π,
∴当f(x)≥时,x∈,k∈Z.
